Sinx 0 на окружности решение

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Отбор корней по окружности

sinx=0

Эта ассоциация позволяет легко запомнить, где синус равен 0, и быстро решить уравнение sin x=0.

Как обычно, частные случаи синуса рассматриваем на единичной окружности.

Используем ассоциацию косинус-колобок. Оба начинаются с ко-, в названии cos x буква o тоже косвенно на колобка указывает. Колобок движется по горизонтали. На координатной плоскости движение по горизонтали происходит вдоль оси x.

Поэтому cos x — это x, соответственно, sin x — это y.

Таким образом, чтобы найти, где синус равен 0, нужно выяснить, в каких точках y=0.

Раз y=0, то движения вверх-вниз не происходит.

На единичной окружности условию sin x=0 удовлетворяют две точки: 0 и π.

Sinx 0 на окружности решение

Чтобы из одной точки попасть в другую, надо пройти половину окружности, то есть π.

Поскольку таких точек, в которых синус равен 0, бесконечное множество, прибавляем не π, а πn, где n — целое число (то есть n принадлежит Z): x=0+πn.

Следовательно, решение уравнения sin x=0, есть множество точек

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Sinx 0 на окружности решение

Объяснение и обоснование

  1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Sinx 0 на окружности решение

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Sinx 0 на окружности решение

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Sinx 0 на окружности решение

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Sinx 0 на окружности решение

Примеры решения задач

Sinx 0 на окружности решение

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Sinx 0 на окружности решение

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке Sinx 0 на окружности решениефункция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

Sinx 0 на окружности решение

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Sinx 0 на окружности решение

Примеры решения задач

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

Вопросы для контроля

  1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
  2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
  3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
  4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Видео:Решить тригонометрические неравенства sinxСкачать

Решить тригонометрические неравенства sinx

Тригонометрические уравнения с модулем

Разделы: Математика

Раскрытие модуля по определению

Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0, и число -а, если а 2 x-sinx=0

sinx=0 или sinx= Sinx 0 на окружности решение(оба уравнения удовлетворяют условию sinx≥0)

Sinx 0 на окружности решение

Решаем уравнение второй системы, и выбирая те, которые удовлетворяют условию sinx 2

cosx=0 или x+1,5=1 или x-1,5 = -1

Sinx 0 на окружности решениех= -0,5 х = -2,5

Условию cosx≥0 не удовлетворяет х = -2,5 (3 четверть)

Ответ: Sinx 0 на окружности решение

№5. Найти все решения уравнения Sinx 0 на окружности решениена отрезке [0;4].

Решение. Перепишем уравнение в виде Sinx 0 на окружности решение

Раскрывая знак модуля, получаем системы:

Sinx 0 на окружности решение

Решая первую систему, получим Sinx 0 на окружности решениеSinx 0 на окружности решение

Из серии Sinx 0 на окружности решениев нужном промежутке [0;4] лежат точки 0 и Sinx 0 на окружности решение; , а из серии Sinx 0 на окружности решение

Решая вторую систему, получим систему Sinx 0 на окружности решение, которая не имеет решений.

Ответ: Sinx 0 на окружности решение

№6 Решить уравнение.

Sinx 0 на окружности решение

Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, тогда 2х-4≥0, 2(х-2)≥0 , х-2≥0. Если х-2≥0. то при раскрытия правого модуля по определению рассматривается только один случай: Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

х=2 Sinx 0 на окружности решение

Выберем те корни, которые удовлетворяют условию: х-2≥0; х≥2

Sinx 0 на окружности решение

№7. Решить уравнение.

Sinx 0 на окружности решение

Решение. ОДЗ: Sinx 0 на окружности решение

Раскрывая знак модуля, получаем системы: Sinx 0 на окружности решение

Решая первую систему, получим cos2x=0, и из решений Sinx 0 на окружности решениенадо выбрать те, при которых sinx>0. На круге видно, что это точки вида Sinx 0 на окружности решение

Решая вторую систему, получим уравнение соs2x=2,не имеющее решений.

Ответ:Sinx 0 на окружности решение

№8. Решить уравнение.

Sinx 0 на окружности решение

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:

Sinx 0 на окружности решение

Sinx 0 на окружности решение

Ответ: Sinx 0 на окружности решение

№9. Решить уравнение.

Sinx 0 на окружности решение

Решение. Выражение под первым модулем всегда неотрицательно, и его можно сразу отбросить. Второй модуль раскрываем по определению.

Sinx 0 на окружности решение

Решить уравнение первой система аналитически невозможно, исследуем поведение левой и правой частей на данных промежутках. Функция f(x) =-x 2 +15x-45=(-x 2 +15x-44)-1≤-1

при Sinx 0 на окружности решениепричем, f(х)= -1 в точках 4 и 11.Левая часть cosSinx 0 на окружности решение Sinx 0 на окружности решениепри любых х, причем, в точках 4 и 11 не равна -1, значит, система решений не имеет.

При решении уравнения второй системы получается:

Sinx 0 на окружности решениеВ промежутке Sinx 0 на окружности решениетолько одно целое нечетное число 3, т.е Sinx 0 на окружности решение

Другие способы раскрытия модулей.

Уравнения вида Sinx 0 на окружности решениеможно решать и следующим способом:

Sinx 0 на окружности решение

№10. Решить уравнение.

Sinx 0 на окружности решение

Решение. Левая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и правая часть, тогда cosx 21.02.2008

📸 Видео

Уравнение sinx=aСкачать

Уравнение sinx=a

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функции

Физика 10 класс (Урок№18 - Основное уравнение МКТ.)Скачать

Физика 10 класс (Урок№18 - Основное уравнение МКТ.)

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

sinx=0 *BAD MATH*Скачать

sinx=0 *BAD MATH*

Как решать тригонометрические неравенства?Скачать

Как решать тригонометрические неравенства?

Отбор Корней (sinx = cosx, [0, 2pi])Скачать

Отбор Корней (sinx = cosx, [0, 2pi])

Разбор 36 вариантов Ященко. Вариант 24Скачать

Разбор 36 вариантов Ященко. Вариант 24

Русские vs американцы. Как решаем мы, а как они | МатематикаСкачать

Русские vs американцы. Как решаем мы, а как они | Математика

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профиль

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Как решать тригонометрическое уравнение 3cos^2x-sinx-1=0 Замена sinx=t Уравнение с косинусом и синусСкачать

Как решать тригонометрическое уравнение 3cos^2x-sinx-1=0 Замена sinx=t Уравнение с косинусом и синус

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по Математике
Поделиться или сохранить к себе: