Пересечение биссектрис в треугольнике соотношение (3 видео)

Биссектриса треугольника делится в отношении

Выясним, в каком отношении точка пересечения биссектрис треугольника делит каждую биссектрису.

Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Дано:

AK, BF, CM — биссектрисы ΔABC,

Из треугольника CBF по свойству биссектрисы треугольника

Разделив обе части равенства на AC, получим

Два другие соотношения доказываются аналогично.

Что и требовалось доказать.

Так как согласно неравенству треугольника длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, то каждое из этих отношений больше единицы.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении17:10, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 22.

AK, BF, CM — биссектрисы ΔABC,

AK∩BF=O, BO:OF=17:10, AC=22

(на экзамене в открытой части необходимо привести доказательство).

Содержание

Свойства биссектрис треугольника
Точка пересечения биссектрис — свойства, теорема и соотношения
Общие сведения
Классификация треугольников
Дополнительные элементы
Теорема о биссектрисах
Свойства и соотношения
🎦 Видео

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Свойства биссектрис треугольника

Свойство 1

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в треугольник окружности.

Свойство 2

Если CD — биссектриса угла C ? ABC, то

Свойство 3

Точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла С в отношении a + b c , считая от вершины:

Свойство 4

Биссектриса угла C вычисляется по формулам:

Видео:Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Точка пересечения биссектрис — свойства, теорема и соотношения

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Общие сведения

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и отрезков, соединяющих их. Точки имеют другое название — вершины. Обозначается треугольник символом Δ, после которого идут 3 латинских буквы. Например, ΔMNO. Допускается использовать и русские литеры, но злоупотреблять этим не стоит.

В высших учебных заведениях преподаватели требуют от студентов международное обозначение. Кроме того, большинство программных продуктов и онлайн-сервисов воспринимают только латинские символы.

Существует определенная классификация Δ, на основании которой доказываются теоремы, выводятся формулы, свойства и решаются задачи. В последнем случае следует правильно производить идентификацию, чтобы избежать ошибок при расчетах.

Классификация треугольников

Необходимо отметить, что Δ различаются между собой по некоторым критериям.

Они бывают нескольких типов:

Произвольные.
Прямоугольные.
Равнобедренные.
Равносторонние.
Тупоугольные.
Остроугольные.

В первом случае стороны фигуры не равны между собой. Чтобы идентифицировать прямоугольный треугольник, необходимо рассмотреть его углы. Если один из них является прямым (равен 90 градусам), такая фигура называется прямоугольной. В третьем виде основным критерием считается наличие двух, равных между собой сторон.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Математики его называют «правильным». Он обладает важным свойством — вокруг него можно описать окружность. Пятый тип определяет наличие тупого угла, градусная мера которого больше 90. Если фигура является остроугольной, это значит, что все 3 его угла меньше 90, т. е. являются острыми.

Один треугольник может относиться к нескольким типам. Например, прямоугольный Δ может быть равнобедренным на основании свойства геометрии: если Δ является равнобедренным, то углы (∠), образованные боковыми сторонами с основанием, равны между собой. В этом случае их градусные меры эквивалентны 45, поскольку сумма ∠ любого Δ составляет 180. Следовательно, 180 — 90 = 2k, где неизвестная величина «к» соответствует углу при основании.

Решая уравнение, можно получить искомое значение угла: k = 45. Исходя из вычислений, треугольник является прямоугольным и равнобедренным.

Дополнительные элементы

У любого Δ существуют определенные дополнительные элементы, необходимые при построении чертежей или схематических рисунков, доказательства теорем и решения задач по геометрии.

К ним относятся:

Биссектриса — отрезок (прямая), проходящий через вершину Δ и делящий угол на 2 равные части. Медиана — единственный отрезок для каждой вершины, соединяющий ее с серединой стороны, на которую он опущен.

Высотой является перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

В равнобедренном и равностороннем треугольниках биссектриса является медианой и высотой. В последнем случае их можно провести всего 3.

Однако в произвольном Δ — по 3, т. е. 3 высоты, 3 медианы и 3 биссектрисы.

Видео:Биссектрисы треугольника.Скачать

Теорема о биссектрисах

Теорема о биссектрисах треугольника звучит таким образом: в любом Δ биссектрисы пересекаются только в одной точке — инцентре фигуры. Для доказательства нужно построить произвольный ΔКLМ, а затем следовать по такому алгоритму:

Провести биссектрисы LN (к стороне КМ) и КU (к LM).
На рисунке видно, что LN и KU пересекаются в одной точке (W).
Доказывать теорему следует от противного — пусть биссектрисы не пересекаются.
Если прямые не пересекаются, значит, они параллельны, т. е. LN || KU. Следовательно, KL — секущая.
Сумма градусных мер односторонних углов эквивалентна 180, т. е. (∠К/2) + (∠L/2) = 180 (свойство параллельных прямых и секущей).
Из соотношения в 5 пункте следует, что сумма ∠К + ∠L = 360.
Сумма углов Δ эквивалентна 180. Однако при сложении значений двух ∠ величина их суммы больше 180. Следовательно, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Необходимо доказать, что третья биссектриса (МV), проведенная из вершины М, проходит через точку W. Это делается таким образом:

Из W следует опустить перпендикуляры на стороны Δ: WG, WF и WE.
Нужно рассмотреть 2 ΔGBW и ΔBFW, которые являются прямоугольными, поскольку WG и WF — перпендикуляры, а BW — общая сторона. Углы ∠GBW и ∠WВF равны, т. к. их образует биссектриса LN (общий угол будет делиться на 2 равные части). Следовательно, ΔGBW и ΔBFW равны.
Из равенства ΔGBW и ΔBFW получается отношение WG и WF.
Аналогично доказывается равенство сторон WG и WЕ.

Далее следует рассмотреть ∠М. Следовательно, что координата точки W равноудалена от вершины М. На основании признака биссектрисы, W лежит на МV, поскольку W — точка пересечения биссектрис треугольника КLМ. Утверждение доказано.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Свойства и соотношения

На основании теоремы о биссектрисах Δ были получены некоторые важные свойства, которые рекомендуется применять при решении задач и доказательства других утверждений:

Центр вписанной окружности соответствует точке их пересечения.
Точка при пересечении делит биссектрису по такому соотношению: отношение суммарного значения прилежащих к противолежащей стороне.
Угол между биссектрисами двух смежных углов является прямым.
В равнобедренном Δ равны только 2 биссектрисы, а в равностороннем — 3. Кроме того, она является медианой и высотой.

При решении задач нужно находить их длину (L).

Для удобства необходимо обозначить стороны таким образом: КМ = d, КL = e и LМ = f, чтобы воспользоваться следующими формулами через известные параметры треугольника:

Все стороны: Lm = [2 * (d * e * p * (p — f))^(½)] / (d + e), Lк = [2 * (d * f * p * (p — e))^(½)] / (d + f) и Ll = [2 * (d * f * p * (p — e))^(½)] / (d + f). Параметр «р» — полупериметр, т. е. р = (d + e + f) / 2.
Стороны и угол: Lm = (2 * d * e * cos (∠M)) / (d + e), Lk = (2 * d * f * cos (∠K)) / (d + f) и Ll = (2 * f * e * cos (∠L)) / (f + e).

Соотношения позволяют найти не только длины Lk, Lm и Ll, но и другие параметры треугольников. Следует отметить, что углы во второй группе формул соответствуют биссектрисам, исходящим из них.

Таким образом, для решения задач на нахождение длины биссектрис необходимо знать теорию, доказательство теоремы, свойства, а также основные соотношения.