Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.
На нем есть (16) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи , можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).
На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь ).
Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
- Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?
- — косинус равен абсциссе точки на числовой окружности — синус равен ординате точки на числовой окружности.
- Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
- А теперь подробно о тригонометрическом круге:
- Алгебра
- Синус и косинус угла на единичной окружности
- 🎥 Видео
Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?
Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную — осью синусов, так как:
— косинус равен абсциссе точки на числовой окружности
— синус равен ординате точки на числовой окружности.
Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).
Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен (1), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.
Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.
Шаг 4. Значение «(1)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, (-1) находятся на одном уровне с (-1) на оси синусов и косинусов.
Шаг 5. Дальше стоит понять, что (±frac<sqrt>) находится ближе к (0), чем (±sqrt).
Шаг 6. (±sqrt) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.
Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.
Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (36sqrt, tg,frac sin,frac).
Решение:
Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.
Вот что мы видим на этом рисунке:
Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать
А теперь подробно о тригонометрическом круге:
Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.
Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.
Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .
Всё это легко увидеть на нашем рисунке.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :
Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).
Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:
где — целое число. То же самое можно записать в радианах:
Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Алгебра
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Видео:Отбор корней по окружностиСкачать
Синус и косинус угла на единичной окружности
Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:
С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что
ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4
Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:
АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3
Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:
tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)
Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты хА и уА:
Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:
Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле
Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда
АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα
С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате уА. Получается, что уА = АВ = sinα, или
Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:
Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате хА, мы получим следующее:
хА = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα
то есть координата хА равна cos α:
Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.
Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:
Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть
🎥 Видео
Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать
Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать
Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Знаки синуса, косинуса, тангенса ЛекцияСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать
🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать
Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать
Синус на числовой окружности. Алгебра 10 класс.Скачать
Как решать тригонометрические неравенства?Скачать
10 класс, 22 урок, Простейшие тригонометрические уравнения неравенстваСкачать