Формула площади гаусса для четырехугольника

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

Видео:Алгоритмы. Нахождение площади многоугольника по формуле ГауссаСкачать

Алгоритмы. Нахождение площади многоугольника по формуле Гаусса

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

Формула площади гаусса для четырехугольника

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Аналитический способ определения площадей. Формула землемера, геодезиста, Гаусса.Алгоритм шнурованияСкачать

Аналитический способ определения площадей. Формула землемера, геодезиста, Гаусса.Алгоритм шнурования

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Формула площади гаусса для четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Формула площади гаусса для четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:5 класс, 18 урок, Площадь. Формула площади прямоугольникаСкачать

5 класс, 18 урок, Площадь. Формула площади прямоугольника

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Применение формулы Гаусса для нахождения площадей фигур или еще один лайфхак по ЕГЭ!Скачать

Применение формулы Гаусса для нахождения площадей фигур или еще один лайфхак по ЕГЭ!

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскизформула
1диагональ и угол между нимиФормула площади гаусса для четырехугольника
2стороны и углы между этими сторонамиФормула площади гаусса для четырехугольника
3стороны
(по Формуле Брахмагупты)
Формула площади гаусса для четырехугольника
4стороны и радиус вписанной окружностиФормула площади гаусса для четырехугольника
5стороны и углы между нимиФормула площади гаусса для четырехугольника

Видео:БРУТАЛЬНАЯ формула площади!Скачать

БРУТАЛЬНАЯ формула площади!

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Видео:OpenCV день 8 Находим пересечения линий, площадь по формуле ГауссаСкачать

OpenCV день 8 Находим пересечения линий, площадь по формуле Гаусса

Вычисление площади участка тахеометром Leica FlexLine TS06/09

Для вычисления площади простого многоугольника с любым количеством вершин, представленных в виде списка координат, при последовательном обходе которых, не образуются пересекающиеся линии, применяется формула Гаусса, иначе называемая «формулой землемера», «формулой геодезиста», «формулой шнурования», «алгоритмом шнурования», а также «методом треугольников».
Суть метода заключается в построении треугольников, состоящих из сторон многоугольника и лучей проведённых из начала координат к вершинам многоугольника, и сложении площадей треугольников, включающих внутреннюю часть многоугольника с вычитанием площадей треугольников, расположенных снаружи.

Видео:Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырехугольника.Скачать

Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырехугольника.

Формула Гаусса

Площадь, вычисленная по приведенной формуле, будет иметь отрицательное значение при обходе фигуры по часовой стрелке и положительное при обходе против часовой стрелки.

S — площадь многоугольника,
n — количество сторон многоугольника,
(xi, yi), i = 1, 2, …, n — координаты вершин многоугольника.

Примеры

1. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости. Для примера возьмём треугольник с координатами . Возьмём первую координату x первой вершины и умножим её на координату y второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определён по следующей формуле:

где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3.

Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5:

S для четырехугольника — переменные до x4 и y4:

2. Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):

Площадь этого многоугольника:

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Подпрограмма «Площадь и объем» на электронном тахеометре Leica серии TS02/06/09

Подпрограмма позволяет вычислять площади участков, ограниченных максимум 50-ю точками, соединенных отрезками прямой. Эти точки должны быть измерены, взяты из памяти либо заданы с клавиатуры — с расположением их по часовой стрелке. Вычисленная площадь проектируется на горизонтальную плоскость (2D) или на наклонную опорную плоскость, заданную своими тремя точками (3D). Кроме того, можно вычислить объем, заключенный между плоскостью с постоянной высотной отметкой и заданным полигоном (2D/3D).

P0 — Точка установки инструмента
P1 — Начальная точка
P2 — Проектная точка
P3 — Точка визирования
P4 — Точка визирования
a — Суммарная длина всех сегментов границы полигона от начальной точки до текущей измеренной точки.
b — Вычисленная площадь полигона, замыкающегося на начальную точку P1 и спроектированная на горизонтальную плоскость.

Видео:Метод прямоугольников для нахождения определенного интегралаСкачать

Метод прямоугольников для нахождения определенного интеграла

Вызов подпрограммы

1. Выберите Программы в Главном меню.
2. Откройте окно Площадь и объем из меню Программы.

На дисплее всегда будет показываться площадь, спроектированная на горизонтальную плоскость.

Назад — Отбраковка измерений или отмена выбора предыдущей точки.
РЕЗ-ТЫ — Вывод на дисплей и запись дополнительных результатов (периметр, объем).
ОБЪЕМ — Вычисление объема до плоскости с постоянной высотной отметкой. Отметка должна быть введена с клавиатуры или измерена.
Опр. 3D — Здесь можно задать наклонную опорную плоскость, выбрав в памяти или измерив три ее точки.
2D-площади будут вычисляться и выводиться на дисплей, как только три точки будут взяты из памяти или измерены. 3D-площади вычисляются после определения наклонной отсчетной плоскости по трем точкам.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Графическая визуализация

P0 — Точка установки инструмента
P1 — Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P2 — Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P3 — Точка для задания наклонной отсчетной плоскости
P4 — Точка визирования
a — Постоянная высотная отметка
b — Периметр (3D), т.е. общая длина сегментов границы полигона от начальной до текущей точки c Площадь (3D), спроектированная на наклонную отсчетную плоскость
d — Объем (3D) = a х c e Периметр (2D), т.е. общая длина сегментов границы полигона от начальной до текущей точки площади 2D
f — Площадь (2D), спроектированная на горизонтальную плоскость
g — Объем (2D) = f x a
Следующий шаг Нажмите на Рез-т для вычисления площади и объема и перехода в окно Площадь и Объем — Рез-ты.

Видео:Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?

Результаты измерений

Значения периметра и объема постоянно обновляются по мере добавления новых точек.
Следующий шаг
• Нажмите на Нов.у-д для определения нового участка,
• либо на Дп.т-ка для добавления новой точки границы текущего полигона.
• либо на ESC для выхода из программы.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Площади четырехугольников

Формула площади гаусса для четырехугольникаФормулы для площадей четырехугольников
Формула площади гаусса для четырехугольникаВывод формул для площадей четырехугольников
Формула площади гаусса для четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Формула площади гаусса для четырехугольника

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Формула площади гаусса для четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади гаусса для четырехугольника

a и b – основания,
h – высота

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника,
Формула площади гаусса для четырехугольника

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникФормула площади гаусса для четырехугольникаS = ab
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
ПараллелограммФормула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
КвадратФормула площади гаусса для четырехугольникаS = a 2
Формула площади гаусса для четырехугольникаS = 4r 2
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
РомбФормула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
ТрапецияФормула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольникаS = m h
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
ДельтоидФормула площади гаусса для четырехугольникаS = ab sin φ
Формула площади гаусса для четырехугольникаФормула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольникФормула площади гаусса для четырехугольника
Вписанный четырёхугольникФормула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника,
Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Параллелограмм
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Квадрат
Формула площади гаусса для четырехугольникаS = a 2

где
a – сторона квадрата

Формула площади гаусса для четырехугольникаS = 4r 2

Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Ромб
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Трапеция
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Дельтоид
Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольникаФормула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула площади гаусса для четырехугольника
Формула площади гаусса для четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Формула площади гаусса для четырехугольника
Вписанный четырёхугольник
Формула площади гаусса для четырехугольника
Прямоугольник
Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммФормула площади гаусса для четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратФормула площади гаусса для четырехугольника

где
a – сторона квадрата

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбФормула площади гаусса для четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияФормула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Формула площади гаусса для четырехугольника

ДельтоидФормула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Произвольный выпуклый четырёхугольникФормула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникФормула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Урок 223. Теорема ГауссаСкачать

Урок 223. Теорема Гаусса

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Формула площади гаусса для четырехугольника

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Формула площади гаусса для четырехугольника

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Формула площади гаусса для четырехугольника,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Формула площади гаусса для четырехугольника,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Формула площади гаусса для четырехугольника

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Формула площади гаусса для четырехугольника
(рис.6).

Формула площади гаусса для четырехугольника

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника

Формула площади гаусса для четырехугольника,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Формула площади гаусса для четырехугольника

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

📹 Видео

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивых

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольникаСкачать

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольника

2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shorts

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: