Построить вектор равный сумме следующих векторов

Вектор равный сумме трех векторов
Содержание
  1. Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
  2. Определения скалярного произведения векторов через угол между ними
  3. Сложение векторов — решение примеров
  4. Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
  5. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
  6. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
  7. Покоординатное сложение векторов.
  8. Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
  9. Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
  10. Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
  11. Сложение и вычитание векторов
  12. Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
  13. Разность векторов. Вычитание векторов
  14. Умножение вектора на число
  15. Сложение и вычитание векторов
  16. Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
  17. Разность векторов. Вычитание векторов
  18. Умножение вектора на число
  19. Сумма и разность векторов
  20. Сумма векторов
  21. Формула сложения векторов
  22. Свойства сложения векторов
  23. Разность векторов
  24. Формула вычитания векторов
  25. Примеры задач
  26. 📺 Видео

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Построить разность векторов.Скачать

Построить разность векторов.

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторовназывается вектор Построить вектор равный сумме следующих векторов, начало которого совпадает с началом вектора Построить вектор равный сумме следующих векторов, а конец — с концом вектора Построить вектор равный сумме следующих векторов, при условии, что начало вектора Построить вектор равный сумме следующих векторовприложено к концу вектора Построить вектор равный сумме следующих векторов) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторов— векторы, Построить вектор равный сумме следующих векторов— угол между ними, а Построить вектор равный сумме следующих векторов— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Построить вектор равный сумме следующих векторов,

где Построить вектор равный сумме следующих векторов— угол, смежный с углом Построить вектор равный сумме следующих векторов. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Построить вектор равный сумме следующих векторов.

В случае вычитания векторов (Построить вектор равный сумме следующих векторов) происходит сложение вектора Построить вектор равный сумме следующих векторовс вектором Построить вектор равный сумме следующих векторов, противоположным вектору Построить вектор равный сумме следующих векторов, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторови между Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторовявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторовобразуют угол Построить вектор равный сумме следующих векторов. Их длины: Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Построить вектор равный сумме следующих векторов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Построить вектор равный сумме следующих векторов.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Построить вектор равный сумме следующих векторов.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторовобразуют угол Построить вектор равный сумме следующих векторов. Их длины: Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторов. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Построить вектор равный сумме следующих векторов. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Построить вектор равный сумме следующих векторов.

Пример 3. Даны длины векторов Построить вектор равный сумме следующих векторови длина их суммы Построить вектор равный сумме следующих векторов. Найти длину их разности Построить вектор равный сумме следующих векторов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Пример 4. Даны длины векторов Построить вектор равный сумме следующих векторови длина их разности Построить вектор равный сумме следующих векторов. Найти длину их суммы Построить вектор равный сумме следующих векторов.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторов:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Пример 5. Векторы Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих вектороввзаимно перпендикулярны, а их длины Построить вектор равный сумме следующих векторов. Найти длину их суммы Построить вектор равный сумме следующих векторови и длину их разности Построить вектор равный сумме следующих векторов.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Построить вектор равный сумме следующих векторови Построить вектор равный сумме следующих векторов, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Построить вектор равный сумме следующих векторов,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Построить вектор равный сумме следующих векторов,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Построить вектор равный сумме следующих векторов?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

Построить вектор равный сумме следующих векторов

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
  • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
  • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Построить вектор равный сумме следующих векторовРезультирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

  • Fрез. = [ F1 2 + F2 2 -2 F1 F2 cos(180 о -α) ] 1/2 (1)
    • где
      • F = числовое значение вектора
      • α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

  • β = arcsin[ F2 *sin(180 o -α) / FR ] (2)
    • где
      • α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

Сложение и вычитание векторов

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( + , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Разность векторов. Вычитание векторов

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( — , — , — > right) )

Видео:Построение проекции вектора на осьСкачать

Построение проекции вектора на ось

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrow right|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Обозначение: ( overrightarrow =koverrightarrow ) .

Видео:Как построить проекцию вектора?Скачать

Как построить проекцию вектора?

Сложение и вычитание векторов

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Разность векторов. Вычитание векторов

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <ax + bx; ay + by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> «> a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> » data-order=» a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> «> a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Видео:Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Построить вектор равный сумме следующих векторов

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <ax — bx; ay — by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> «> a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> » data-order=» a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> «> a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn>

Видео:СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

📺 Видео

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?Скачать

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?
Поделиться или сохранить к себе: