Формула площади для любого четырехугольника

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Видео:✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис Трушин

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Формула площади для любого четырехугольника

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

Формула площади для любого четырехугольника

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Формула площади для любого четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Формула площади для любого четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Формула площади для любого четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскизформула
1диагональ и угол между нимиФормула площади для любого четырехугольника
2стороны и углы между этими сторонамиФормула площади для любого четырехугольника
3стороны
(по Формуле Брахмагупты)
Формула площади для любого четырехугольника
4стороны и радиус вписанной окружностиФормула площади для любого четырехугольника
5стороны и углы между нимиФормула площади для любого четырехугольника

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Видео:Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

Калькулятор расчета площади четырехугольника

В публикации представлены онлайн-калькуляторы и формулы для расчета площади выпуклого четырехугольника по разным исходным данным: через диагонали и угол между ними, по всем сторонам (если вокруг можно описать окружность), по полупериметру и радиусу вписанной окружности.

Видео:Геометрия Как найти площадь четырехугольника, если нет формулыСкачать

Геометрия Как найти площадь четырехугольника, если нет формулы

Расчет площади

Инструкция по использованию: введите известные значения, затем нажмите кнопку “Рассчитать”. В результате будет вычислена площадь фигуры с учетом указанных данных.

1. Через диагонали и угол между ними

Формула расчета

Формула площади для любого четырехугольника

2. По всем сторонам (формула Брахмагупты)

Примечание: Если вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула расчета

Формула площади для любого четырехугольника

p – полупериметр четырехугольника, равняется:

Видео:ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!Скачать

ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!

Площади четырехугольников

Формула площади для любого четырехугольникаФормулы для площадей четырехугольников
Формула площади для любого четырехугольникаВывод формул для площадей четырехугольников
Формула площади для любого четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать

Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумаге

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

Формула площади для любого четырехугольника

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Формула площади для любого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади для любого четырехугольника

a и b – основания,
h – высота

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади для любого четырехугольника

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади для любого четырехугольника,
Формула площади для любого четырехугольника

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникФормула площади для любого четырехугольникаS = ab
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
ПараллелограммФормула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
КвадратФормула площади для любого четырехугольникаS = a 2
Формула площади для любого четырехугольникаS = 4r 2
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
РомбФормула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
ТрапецияФормула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольникаS = m h
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
ДельтоидФормула площади для любого четырехугольникаS = ab sin φ
Формула площади для любого четырехугольникаФормула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольникФормула площади для любого четырехугольника
Вписанный четырёхугольникФормула площади для любого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Формула площади для любого четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади для любого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади для любого четырехугольника,
Формула площади для любого четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Параллелограмм
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Квадрат
Формула площади для любого четырехугольникаS = a 2

где
a – сторона квадрата

Формула площади для любого четырехугольникаS = 4r 2

Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Ромб
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Трапеция
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Дельтоид
Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольникаФормула площади для любого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула площади для любого четырехугольника
Формула площади для любого четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Формула площади для любого четырехугольника
Вписанный четырёхугольник
Формула площади для любого четырехугольника
Прямоугольник
Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула площади для любого четырехугольника

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммФормула площади для любого четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратФормула площади для любого четырехугольника

где
a – сторона квадрата

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбФормула площади для любого четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула площади для любого четырехугольника

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияФормула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Формула площади для любого четырехугольника

ДельтоидФормула площади для любого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула площади для любого четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Произвольный выпуклый четырёхугольникФормула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникФормула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 ЗА 40 МИНУТСкачать

ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ ИЗ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 ЗА 40 МИНУТ

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Формула площади для любого четырехугольника

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Формула площади для любого четырехугольника

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Формула площади для любого четырехугольника,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Формула площади для любого четырехугольника,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Формула площади для любого четырехугольника

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Формула площади для любого четырехугольника
(рис.6).

Формула площади для любого четырехугольника

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника

Формула площади для любого четырехугольника,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Формула площади для любого четырехугольника

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

🎦 Видео

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)Скачать

ОГЭ по математике. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле (вар. 5)

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Формула площадь четырехугольникаСкачать

Формула площадь четырехугольника

🔴 Площадь четырёхугольника можно вычислить ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Площадь четырёхугольника можно вычислить ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырехугольника.Скачать

Формула Брахмагупты. Площадь вписанного четырехугольника.

Формула площади четырёхугольникаСкачать

Формула площади четырёхугольника

Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?
Поделиться или сохранить к себе: