Средний геометрический радиус окружностей

Окружность и круг
Содержание
  1. теория по математике 📈 планиметрия
  2. Определения
  3. Свойство хорд
  4. Длина окружности
  5. Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент
  6. Свойства касательной
  7. Радиус и диаметр окружности
  8. Радиус — что это такое и как найти радиус окружности
  9. Через длину стороны
  10. Найти радиус круга, зная окружность
  11. Радиус и диаметр
  12. Вычисление радиуса
  13. Если известен диаметр
  14. Если известна длина окружности круга
  15. Если известна площадь круга
  16. Способ расчета радиуса круга:
  17. Через сторону описанного квадрата
  18. Как посчитать радиус зная длину окружности
  19. Формула
  20. Свойства радиуса
  21. По площади сектора и центральному углу
  22. Площадь сегмента
  23. Формулы для площади круга и его частей
  24. Центральный угол, вписанный угол и их свойства
  25. Связанные определения
  26. Примеры задач
  27. Длина дуги
  28. Уравнение окружности
  29. Углы между двумя хордами
  30. Через площадь и полупериметр описанного треугольника
  31. Основные свойства касательных к окружности
  32. Обобщения
  33. Через диагональ вписанного прямоугольника
  34. Площадь круга, онлайн расчет
  35. Вместо заключения

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Средний геометрический радиус окружностейОпределения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Средний геометрический радиус окружностей

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Средний геометрический радиус окружностей

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Средний геометрический радиус окружностей

Видео:Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Средний геометрический радиус окружностей

Свойства касательной

Средний геометрический радиус окружностей

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Средний геометрический радиус окружностей

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

S=πR 2 , где π=3,14.

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Средний геометрический радиус окружностей

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

S= π R 2 360 . . × α , где α – угол между радиусами.

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Радиус и диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

Средний геометрический радиус окружностей

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Через длину стороны

Средний геометрический радиус окружностей

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Видео:Найти центр кругаСкачать

Найти центр круга

Найти радиус круга, зная окружность

Средний геометрический радиус окружностейСредний геометрический радиус окружностей
Окружность круга PРезультат

Средний геометрический радиус окружностей

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Средний геометрический радиус окружностей

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Средний геометрический радиус окружностей

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Средний геометрический радиус окружностей

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

Средний геометрический радиус окружностей

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Способ расчета радиуса круга:

Средний геометрический радиус окружностей

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга: Средний геометрический радиус окружностей
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Средний геометрический радиус окружностей

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга: Средний геометрический радиус окружностей
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

Средний геометрический радиус окружностей

  • r — искомый радиус окружности.
  • a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C / , где π ≈ 3.14

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

  1. Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
  2. У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

Средний геометрический радиус окружностей

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

По площади сектора и центральному углу

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

  • Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

Видео:Что такое круг окружность радиусСкачать

Что такое круг окружность радиус

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Средний геометрический радиус окружностей

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Формулы для площади круга и его частей

Средний геометрический радиус окружностей,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в радианах

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в градусах

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в радианах

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаСредний геометрический радиус окружностей
Площадь сектораСредний геометрический радиус окружностей
Площадь сегментаСредний геометрический радиус окружностей
Площадь круга
Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в радианах

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента Средний геометрический радиус окружностей

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в радианах

Средний геометрический радиус окружностей,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Видео:Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Связанные определения

  • Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
  • Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):
Средний геометрический радиус окружностей

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:
Средний геометрический радиус окружностей

Видео:Деление окружности на 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 12 равных частей

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Средний геометрический радиус окружностей

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

Средний геометрический радиус окружностей

из которой вытекает равенство:

Средний геометрический радиус окружностей

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

Средний геометрический радиус окружностей

из которой вытекает равенство:

Средний геометрический радиус окружностей

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

<x = a + r cos t
y = b + r sin t

Видео:Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Средний геометрический радиус окружностей

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.
Средний геометрический радиус окружностей

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Видео:Центр кругаСкачать

Центр круга

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

  • r — искомый радиус окружности.
  • S — площадь треугольника.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

Средний геометрический радиус окружностей

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

Средний геометрический радиус окружностей

  • R — искомый радиус окружности.
  • d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
  • a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Средний геометрический радиус окружностей

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

Поделиться или сохранить к себе: