Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых

Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).

Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.

Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.

Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Признаки параллельности прямых

Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются
  • накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
  • односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
  • соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(Рис.8).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Докажем, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяозначает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны. Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(Рис.11).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Так как углы 2 и 3 вертикальные, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Тогда из Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяследует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны. Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Из Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяследует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, но не принадлежит прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Говорят, что прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпересекаются в точке М.
Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Это можно записать так: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— знак принадлежности точки прямой, «Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяперпендикулярны (рис. 12), то пишут Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb.
  2. Если Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 90°, то а Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяАВ и b Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb.
  3. Если Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяОFА = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2). Из равенства этих треугольников следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяЗ = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4 и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются5 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются6.
  6. Так как Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются5 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются6 следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются6 = 90°. Получаем, что а Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяFF1 и b Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяFF1, а аДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются
2) Заметим, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяAOF = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяl + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180° и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180° следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяF и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3. Кроме того, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAF. Действительно, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4 и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяFAC равны как соответственные углы, a Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяFAC = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180° (рис. 97, а).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3= 180°.

4) Из равенств Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются= Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 = 180° следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAF + Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Так как Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = 90°, то и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = 90°, а, значит, сДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяb.

Что и требовалось доказать.

Видео:№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые mСкачать

№51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпараллельны, то есть Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, лучи АВ и КМ.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(рис. 161).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, перпендикулярную прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи строят другую перпендикулярную прямую Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, затем — третью прямую Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи т. д. Поскольку прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяперпендикулярны одной прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, то из указанной теоремы следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, параллельной прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсятретьей прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются5,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются8,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются6,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются7,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются5,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются8 — соответственные углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются6,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются5 — внутренние односторонние углы;
  • Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются7,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— данные прямые, АВ — секущая, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 (рис. 166).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи продлим его до пересечения с прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 по условию, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBMK =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяANM =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBKM = 90°. Тогда прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 (рис. 167).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи секущей Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяl +Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180° (рис. 168).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи секущей Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяAOB = Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAO=Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAK = 26°, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAC = 2 •Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяADK +Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1=Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2. Так как Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются||Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Реальная геометрия

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпроходит через точку М и параллельна прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются||Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(рис. 187).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются||Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Доказательство:

Предположим, что прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, параллельные третьей прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются||Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются4. Доказать, что Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Так как Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, которая параллельна прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, которые параллельны прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, АВ — секущая,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказать: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2.

Доказательство:

Предположим, чтоДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, параллельные прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— секущая,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 — соответственные (рис. 196).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказать:Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— секущая,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 иДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказать:Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяl +Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 +Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 = 180°. По свойству параллельных прямыхДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяl =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3 как накрест лежащие. Следовательно,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяl +Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, т. е.Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 = 90°. Согласно следствию Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, т. е.Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 = 90°.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяАОВ =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяABD =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяADB =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяпараллельны, то пишут: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(рис. 211).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются3. Значит,Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются1 =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются2.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи АВДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, то расстояние между прямыми Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, А Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, С Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, АВДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, CDДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяCAD =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяравны (см. рис. 285). Прямая Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, проходящая через точку А параллельно прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, которая параллельна прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсябудет перпендикуляром и к прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAD +Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, параллельную прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Тогда Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются|| Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяравноудалены от прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяна расстояние Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, то есть расстояние от точки М до прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяравно Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Но через точку К проходит единственная прямая Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, параллельная Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Значит, точка М принадлежит прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются.

Таким образом, все точки прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяравноудалены от прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются. Прямая Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяДве прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются— параллельны.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяи Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаютсяесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.

Следствие.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.

Две прямые на плоскости параллельны если они не пересекаются

Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.

Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.

🔍 Видео

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

10 класс, 10 урок, Параллельные плоскости

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрияСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 10 класс стереометрия

Плоскость. Пересекающиеся прямые. 6 класс.Скачать

Плоскость. Пересекающиеся прямые. 6 класс.

Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые | МатематикаСкачать

Параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые | Математика

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | УмскулСкачать

Параллельность прямых, плоскостей, прямой и плоскости | Математика ЕГЭ для 10 класса | Умскул
Поделиться или сохранить к себе: