Как найти абсолютную величину вектора

Планиметрия. Страница 8

Как найти абсолютную величину вектора

  • Главная
  • Репетиторы
  • Статьи и материалы
  • Контакты

Как найти абсолютную величину вектора

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

1.Вектор и его абсолютная величина

Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор

. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:

. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора

имеют одинаковое направление. А вектора

Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

Как найти абсолютную величину вектора

Рис.3 Сложение векторов.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

3.Умножение вектора на число

Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:

Как найти абсолютную величину вектора

Для любых двух векторов

число λ можно вынести за скобку λ (

Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что

Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:

Как найти абсолютную величину вектора

Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)

Так как координаты вектора

(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов

Как найти абсолютную величину вектора

6.Пример 1

Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора

параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.

Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор

переходит в вектор

. А это значит, что эти вектора равны.

Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору

Как найти абсолютную величину вектора

Рис.6 Задача. Четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Пример 2

Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов

Доказательство:

Найдем координаты векторов

Таким образом, координаты векторов следующие:

А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и xAB = xCD, yAB = yCD, то вектора

Как найти абсолютную величину вектора

Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).

Пример 3

В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что

Доказательство:

, равный и параллельный вектору

от точки С. И отложим вектор

, равный и параллельный вектору

от точки В (Рис.8).

Тодга получим параллелограмм, в котором вектор

, так же как вектор

. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то

Отсюда можно сделать вывод: так как

Как найти абсолютную величину вектора

Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.

Пример 4

(-3;-2). Найдите вектор

и его абсолютную величину.

Решение:

, то найдем его координаты:

Теперь найдем его абсолютную величину:

| 2 = (-1) 2 + (-4) 2 = 17

| = Как найти абсолютную величину вектора

(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы

Рис.9 Задача. Даны векторы

Пример 5

Найдите угол между векторами

Решение:

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:

Как найти абсолютную величину вектора

Следовательно, cos α = 2 / 2 Как найти абсолютную величину вектора= 1 / Как найти абсолютную величину вектора

Таким образом, угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>

Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

§11.2. Операции с векторами и их свойства

Суммой векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) и b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) называется вектор c ⟶ ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) ,
a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) + b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) = c ⟶ ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) .

Для любых векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) , b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) справедливы равенства

a ⟶ + b ⟶ = b ⟶ + a ⟶ , a ⟶ + ( b ⟶ + c ⟶ ) = ( a ⟶ + b ⟶ ) + c ⟶ .

Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство A B ⟶ + B C ⟶ = A C ⟶ .

Вектор A B ⟶ имеет координаты x 2 — x 1 , y 2 — y 1 , вектор B C ⟶ имеет координаты x 3 — x 2 , y 3 — y 2 . Следовательно, вектор A B ⟶ + B C ⟶ имеет координаты x 3 — x 1 , y 3 — y 1 Вектор A C ⟶ имеет такие же координаты. По теореме 11.5 A B ⟶ + B C ⟶ = A C ⟶ . Теорема доказана.

Как найти абсолютную величину вектораРис. 11.2.1. Правило треугольника Как найти абсолютную величину вектораРис. 11.2.2. Построение суммы векторов по правилу треугольника

Замечание. Теорема 11.6 даёт следующий способ построения суммы произвольных векторов a ⟶ и b ⟶ . Надо от конца вектора a ⟶ отложить вектор b ′ ⟶ , равный вектору b ⟶ . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a ⟶ , а конец – с концом вектора b ′ ⟶ , будет суммой векторов a ⟶ и b ⟶ .

Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Как найти абсолютную величину вектораРис. 11.2.3. Правило параллелограмма

Разностью векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) и b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) называется такой вектор c ⟶ ( c 1 ; c 2 ) , который в сумме с вектором b ⟶ дает вектор a ⟶ : b ⟶ + c ⟶ = a ⟶ , откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.

Произведением вектора a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) на число λ называется вектор b ⟶ ( λ a 1 ; λ a 2 ) , т. е. λ a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) = b ⟶ ( λ a 1 ; λ a 2 ) .

  • Для любого вектора a ⟶ и чисел λ и μ ( λ + μ ) a ⟶ = λ a ⟶ + μ a ⟶ ;
  • Для любых двух векторов a ⟶ и b ⟶ и числа λ λ ( a ⟶ + b ⟶ ) = λ a ⟶ + λ b ⟶ .

Абсолютная величина вектора λ a ⟶ равна |λ || a|. Направление вектора λ a ⟶ при a ⟶ ≠ 0 совпадает с направлением вектора a ⟶ , если и противоположно направлению вектора a ⟶ , если λ

Построим векторы O A ⟶ и O B ⟶ , равные a ⟶ и λ a ⟶ соответственно (O – начало координат). Пусть a 1 и a 2 – координаты вектора a ⟶ . Тогда координатами точки A будут числа a 1 и a 2 , координатами точки B – числа λ a 1 и λ a 1 .
Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a ⟶ и λ a ⟶ одинаково направлены. Если λ a ⟶ и λ a ⟶ противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора λ a ⟶ равна | λ a ⟶ | = ( λ a 1 ) 2 + ( λ a 2 ) 2 = | λ | a 1 2 + a 2 2 = | λ | | a ⟶ | . Теорема доказана.

Как найти абсолютную величину вектораРис. 11.2.4.

Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов a ⟶ и b ⟶ существует такое число λ, что b ⟶ = λ a ⟶ .

Пусть a ⟶ и b ⟶ одинаково направлены. Векторы b ⟶ и ( | b ⟶ | | a ⟶ | ) a ⟶ одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину | b ⟶ | . Значит, они равны: b ⟶ = ( | b ⟶ | | a ⟶ | ) a ⟶ = λ a ⟶ , λ = | b ⟶ | | a ⟶ | . Если векторы a ⟶ и b ⟶ противоположно направлены, аналогично заключаем, что
b ⟶ = — ( | b ⟶ | | a ⟶ | ) a ⟶ = λ a ⟶ ,
λ = — | b ⟶ | | a ⟶ | . Теорема доказана.

Пусть a ⟶ и b ⟶ – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор c ⟶ можно единственным образом представить в виде c ⟶ = λ a ⟶ + μ b ⟶ .

Пусть A и B – начало и конец вектора c ⟶ . Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам a ⟶ и b ⟶ . Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем A B ⟶ = A C ⟶ + C B ⟶ . Так как векторы a ⟶ и A C ⟶ коллинеарны, то A C ⟶ = λ a ⟶ ; так как векторы C B ⟶ и b ⟶ коллинеарны, то C B ⟶ = μ b ⟶ . Таким образом, c ⟶ = λ a ⟶ + μ b ⟶ .

Как найти абсолютную величину вектораРис. 11.2.5. К теореме 11.9

Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что c ⟶ = λ a ⟶ + μ b ⟶ существуют числа λ 1 и μ 1 такие, что c ⟶ = λ 1 a ⟶ + μ 1 b ⟶ и при этом верно хотя бы одно из соотношений λ ≠ λ 1 , μ ≠ μ 1 . Пусть для определенности λ ≠ λ 1 . Тогда из равенства λ a ⟶ + μ b ⟶ = λ 1 a ⟶ + μ 1 b ⟶ имеем a ⟶ = μ — μ 1 λ 1 — λ b ⟶ . На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы a ⟶ и b ⟶ коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) и b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) называется число a 1 b 1 + a 2 b 2 . Скалярное произведение векторов a ⟶ и b ⟶ обозначется a ⟶ b ⟶ .

Для любых векторов a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) , b ⟶ ( b 1 ; b 2 ) и c ⟶ ( c 1 ; c 2 ) верно:

  • a ⟶ b ⟶ = b ⟶ a ⟶ ;
  • ( λ a ⟶ ) b ⟶ = λ a ⟶ b ⟶ ;
  • ( a ⟶ + b ⟶ ) c ⟶ = a ⟶ c ⟶ + b ⟶ c ⟶ .

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Пусть a ⟶ и b ⟶ – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем: ( a ⟶ + b ⟶ ) 2 = ( a ⟶ + b ⟶ ) ( a ⟶ + b ⟶ ) = ( a ⟶ + b ⟶ ) a ⟶ + ( a ⟶ + b ⟶ ) b ⟶ = ( a ⟶ a ⟶ ) + ( b ⟶ a ⟶ ) + ( a ⟶ b ⟶ ) + ( b ⟶ b ⟶ ) = ( a ⟶ ) 2 + 2 a ⟶ b ⟶ + ( b ⟶ ) 2 . или | a ⟶ + b ⟶ | 2 = | a ⟶ | 2 + | b ⟶ | 2 + 2 a ⟶ b ⟶ . Скалярное произведение a ⟶ b ⟶ , таким образом, выражается через длины векторов a ⟶ , b ⟶ и a ⟶ + b ⟶ , т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора a ⟶ , а сам вектор a ⟶ лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора a ⟶ будут числа | a ⟶ | и 0, а вектора b ⟶ – b → cos φ и b → sin φ . По определению a ⟶ b ⟶ = | a ⟶ | ċ | b ⟶ | cos φ + 0 ċ | b ⟶ | sin φ = | a ⟶ | ċ | b ⟶ | cos φ .

Как найти абсолютную величину вектораРис. 11.2.6. Скалярное произведение двух векторов

Единичные векторы l 1 ⟶ ( 1 ; 0 ) и l 2 ⟶ ( 0 ; 1 ) , имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Любой ненулевой вектор a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде a ⟶ = a 1 l 1 ⟶ + a 2 l 2 ⟶ .

Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 a ⟶ = λ l 1 ⟶ + μ l 2 ⟶ . Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор l 1 ⟶ ( 1 ; 0 ) . Имеем a ⟶ l 1 ⟶ = λ l 1 ⟶ l 1 ⟶ + μ l 2 ⟶ l 1 ⟶ . С учетом того, что l 1 ⟶ и l 2 ⟶ ортогональны, имеем a 1 ċ l + a 2 ċ 0 = λ ( l ċ l + 0 ċ 0 ) ; λ = a 1 . Аналогично, умножая равенство на l 2 ⟶ , получим a ⟶ l 2 ⟶ = μ l 2 ⟶ l 2 ⟶ или a 1 ċ 0 + a 2 ċ l = μ ( 0 ċ 0 + l ċ l ) ; μ = a 2 . Таким образом, для любого вектора a ⟶ ( a 1 ; a 2 ) получается разложение a ⟶ = λ l 1 ⟶ + μ l 2 ⟶ . Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.

Видео:Абсолютная величина вектораСкачать

Абсолютная величина вектора

Как определить абсолютную величину вектора?

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Как найти величину вектора?

Величина вектора равна длине гипотенузы этого треугольника, и для ее вычисления можно воспользоваться теоремой Пифагора. Чтобы вычислить величину вектора, запишите теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: A2 + B2 = C2.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Что такое абсолютная величина вектора?

Абсолютная величина вектора — то же, что его модуль. Если вектор изобразить в виде направленного отрезка, то модуль — это длина отрезка. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Видео:Откуда берется МАССА у частиц?Скачать

Откуда берется МАССА у частиц?

Что такое абсолютная величина вектора направление вектора?

Направление вектора определяется указанием его начала и конца. . Векторы и одинаково направлены, а векторы и противоположно направлены. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Видео:Координаты вектора и действия с нимиСкачать

Координаты вектора и действия с ними

Что такое сложение векторов?

Суммой двух векторов u и v называется третий вектор w, проведенный из начала u к концу v, если начало вектора v совпадает с концом вектора u. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Видео:Что такое спин и почему он так важен для физики?Скачать

Что такое спин и почему он так важен для физики?

Какие векторы коллинеарны?

linearis — линейный) — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Видео:Координаты вектора.Скачать

Координаты вектора.

Как узнать что векторы перпендикулярны?

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Даны два вектора ⃗a(xa;ya) a → ( x a ; y a ) и ⃗b(xb;yb) b → ( x b ; y b ) . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

Видео:Абсолютная величина или модуль числа | ПОСМОТРИ ПЕРВЫМ!Скачать

Абсолютная величина или модуль числа | ПОСМОТРИ ПЕРВЫМ!

Какая величина является векторной величиной?

Векторная величина или вектор — это всякая величина, обладающая направлением. Скалярная величина или скаляр — это всякая величина, не обладающая направлением. Пример 1.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Что такое вектор?

Вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом.

📹 Видео

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Небесная механика - Владимир СурдинСкачать

Небесная механика - Владимир Сурдин

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

10.20 - Геометрия 7-9 класс ПогореловСкачать

10.20 - Геометрия 7-9 класс Погорелов

8 класс, 40 урок, Понятие вектораСкачать

8 класс, 40 урок, Понятие вектора

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.Скачать

Урок 8. Векторные величины. Действия над векторами.
Поделиться или сохранить к себе:
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 8
Как найти абсолютную величину вектора
Как найти абсолютную величину вектора
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Как найти абсолютную величину вектора
Как найти абсолютную величину вектора

Рис.1 Обозначение векторов.

Видео:Тема 7.2. Координаты вектора. Абсолютная величина.Скачать

Тема 7.2. Координаты вектора. Абсолютная величина.

Координаты вектора

Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора

с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут:

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.

Как найти абсолютную величину вектора

Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.

Как найти абсолютную величину вектора

Рис.2 Координаты вектора.

Видео:Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.Скачать

Абсолютная величина вектора. Равенство векторов.

2.Сложение векторов

Пусть заданы два вектора со своими координатами

(b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами

В векторной форме можно записать так:

Как найти абсолютную величину вектора

Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор

параллельным переносом так, чтобы конец вектора

совпадал с началом вектора

. Тогда начало вектора

и конец вектора

и будет сумма векторов

По методу параллелограмма, если два вектора

имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор

Разностью двух векторов

называется такой вектор

, который нужно прибавить к вектору

, чтобы получить вектор

Как найти абсолютную величину вектора

Как найти абсолютную величину вектора

Рис.5 Скалярное произведение векторов.

Отсюда вытекает следующий вывод:

если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Как найти абсолютную величину вектора