Если в четырехугольнике один угол прямой является ли он прямоугольником

Изучение геометрии начинается с рассмотрения простых фигур на плоскости, которые легко представить, используя абстрактное воображение. Одна из таких фигур — это четырехугольник с прямыми углами. В 3 классе общеобразовательных школ начинают знакомиться с ней и подробно исследуют ее свойства в старших классах. Рассмотрим главные характеристики этой фигуры в статье, а также приведем примеры ее использования в быту.

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Как называется с прямыми углами четырехугольник?

Слово «четырехугольник» говорит о том, что рассматриваемая фигура состоит из четырех углов. На плоскости она будет замкнута только в том случае, если имеет четыре прямые стороны. Если противоположные стороны попарно друг другу параллельны, то такая фигура называется параллелограммом. Его четыре угла попарно равны, однако они могут принимать произвольные значения от 0 o до 180 o . Если все его углы будут равны 90 o , то они называются прямыми. Четырехугольник с углами прямыми — это прямоугольник, и одновременно он является параллелограммом.

Прямоугольник характеризуется всего двумя параметрами: длинами его соседних сторон. Далее в статье будем обозначать их a и b. Если эти длины равны друг другу, то прямоугольник вырождается в квадрат.

Видео:№409. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.Скачать

Формула для площади

Прямоугольник — это совершенная фигура, под которую человек в ходе своей жизнедеятельности старается подогнать окружающие объекты, например кирпич, форму двора перед домом, монитор компьютера и так далее. Поэтому часто возникает задача расчета площади прямоугольника.

Рассчитать площадь рассматриваемой фигуры не представляет никакой сложности. Поскольку прямоугольник — это параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение двух длин: высоты, опущенной на некоторую сторону, и этой стороны. Высота параллелограмма находится как произведение синуса одного из его углов на сторону. Поскольку мы рассматриваем конкретный вид параллелограмма — прямоугольник, то синус прямого угла равен единице, это означает, что искомая формула для площади принимает следующий вид:

Площадь четырехугольника с прямым углом равна произведению длин двух его непараллельных сторон.

Ниже будет показано, как найти площадь прямоугольника, если известны другие его элементы, например длина диагонали.

Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

Диагонали прямоугольника

На рисунке ниже изображен произвольный четырехугольник с прямыми углами и его две диагонали.

Видно, что диагонали разделяют на две части противоположные прямые углы фигуры. Будем обозначать точку пересечения диагоналей символом C. Она имеет важное значение, поскольку является центром симметрии фигуры. Длины обеих диагоналей равны.

Диагонали делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника, для которых легко вычислить длины сторон и площадь. Каждые два треугольника, основания которых лежат на сторонах равной длины прямоугольника, являются одинаковыми.

Если провести одну диагональ, то она разделит прямоугольник на два совершенно одинаковых прямоугольных треугольника. Этот факт позволяет использовать тиорему Пифагора, чтобы рассчитать длину диагонали, зная катеты треугольника. Ниже рисунок показывает, как можно найти квадрат диагонали c прямоугольника. Здесь диагональ является гипотенузой, а стороны прямоугольника соответствуют катетам треугольника.

Тогда значение длины c будет равно:

Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Симметрия прямоугольника

Как было отмечено, центр его симметрии — это точка C, образованная пересекающимися диагоналями. Рассматривая фигуру на плоскости, можно сказать, что ось, через эту точку проходящая и параллельная двум сторонам прямоугольника, является осью симметрии второго порядка, то есть поворот вокруг нее на 180 o переведет прямоугольник сам в себя. Поскольку рассматриваемый четырехугольник имеет две пары параллельных сторон, то очевидно, что он обладает двумя указанными осями симметрии.

Ось симметрии делит фигуру на два одинаковых прямоугольника со сторонами:

Видео:№399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.Скачать

Некоторые геометрические свойства прямоугольника

Поскольку рассматриваемая фигура обладает некоторой симметрией, имеет прямые углы и попарно параллельные стороны, то для нее можно выделить ряд важных свойств, используемых на практике. Перечислим их:

1. Всякая прямая, которая проходит через центр C фигуры, пересекает ее в двух точках, находящихся на одинаковом расстоянии от точки C. Максимальное расстояние от C до стороны диагонали прямоугольника равно половине длины его диагонали, минимальное же расстояние равно половине длины его меньшей стороны.
2. Если поделить одну сторону прямоугольника точкой пополам, то, соединяя эту точку с вершинами противоположной параллельной стороны, получаем равнобедренный треугольник с площадью, равной половине площади прямоугольника.
3. Если точку, описанную выше, смещать из центра стороны к одному или другому ее концу, то равнобедренность отмеченного треугольника будет нарушаться, однако его площадь будет оставаться неизменной.
4. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Первое свойство является очевидным, поскольку любая прямая, проходящая через C, будет пересекать параллельные стороны фигуры. Докажем остальные свойства.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Доказательство свойств 2, 3 и 4

Рассмотрим сначала свойства 2 и 3. На рисунке ниже показан прямоугольник, на сторонах которого построены три треугольника:

Согласно формуле нахождения площади треугольника, для них можно записать:

Видно, что все высоты h_i рассматриваемых треугольников равны длине стороны h прямоугольника. Это означает, что и их площади равны:

Теперь запишем формулу для площади S прямоугольника и поделим S на площадь одного из изображенных треугольников, получим:

Таким образом, прямоугольник имеет площадь в два раза больше, чем любой из изображенных треугольников, то есть мы доказали второе и третье свойства.

Что касается возможности вписывания с прямыми углами четырехугольника в окружность, то здесь следует рассуждать так: проведем диагонали фигуры, они пересекутся в точке C. Поскольку эта точка находится на одинаковом расстоянии от четырех вершин прямоугольника, то она может служить центром окружности. Если радиус окружности равен половине длины диагонали, то линия окружности пройдет через все четыре вершины прямоугольника, то есть он окажется вписанным в нее.

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Является ли четырехугольник, у которого один угол прямой, прямоугольником?

Ответ на вопрос будет положительным только в том случае, если рассматриваемый четырехугольник будет параллелограммом. В этом случае, если один угол равен 90 o , то два других смежных угла тоже будут прямыми, а значит, четвертый угол тоже будет равен 90 o . Мы нашли в четырехугольнике прямые углы все, значит он — прямоугольник.

В случае, если четырехугольник с одним прямым углом не будет иметь попарно параллельные стороны, то прямоугольником он не будет являться.

Видео:Прямоугольник. Что такое прямоугольник?Скачать

Где используется прямоугольник и его свойства?

При изготовлении тетрадных листов используют прямоугольную форму, причем отношение длин большей стороны к меньшей равно √2. Такая форма фигуры приводит к тому, что если ее поделить пополам симметричной осью, параллельной большей стороне, то у образованных двух новых прямоугольников отношение сторон также будет равно √2. Такое деление можно продолжать до бесконечности, при этом форма образующихся прямоугольников будет сохраняться.

Прямоугольная форма используется при производстве телевизионных экранов. До эры жидкокристаллических (ЖК) мониторов использовались электронно-лучевые экраны, отношение сторон которых было равно 4:3. С появлением ЖК-мониторов высокого разрешения, стали применять новый стандарт: 16:9.

Мозаика, которой украшают стены зданий, также имеет форму четырехугольника с прямыми углами.

Видео:Прямоугольник. 8 класс.Скачать

Расчет площади фигуры по известной диагонали

Завершим статью рассмотрением вопроса вычисления площади четырехугольника, вершины прямых углов которого соединены диагональю. Рассчитаем площадь современного ЖК-монитора, если известно, что длина его диагонали с = 35 см.

Решить эту задачу можно потому, что монитор имеет стандартизированное отношение сторон, равное 16:9. Обозначая за x неизвестный коэффициент, получаем длины сторон монитора:

Теперь применяем формулу для определения диагонали, получаем:

35 2 = x 2 *(16 2 +9 2 ) =>

Тогда стороны монитора и площадь его равны:

Отметим еще раз, что определить по значению диагонали площадь можно только в том случае, если известно отношение сторон прямоугольника.

Видео:ПрямоугольникиСкачать

Прямоугольник

Частным видом параллелограмма является прямоугольник.

ABCD — прямоугольник.

Особое свойство прямоугольника

Доказательство

Дано: ABCD — прямоугольник

Доказать: AC = DB

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB: ABCD — прямоугольник, А и B — прямые, ABD иACB — прямоугольные. AD = CB (по свойству параллелограмма). AB — общий катет, ABD =ACB (по двум катетам). А в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, значит, AC = DB, что и требовалось доказать.

Теорема

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, AC = DB

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Рассмотрим ABD иACB:

AC = DB (по условию), AD = BC (по свойству параллелограмма), AB — общая, ABD =ACB (по трем сторонам). А в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, A = B. А в параллелограмме противоположные углы равны, значит A = C и В = D, A = В = C = D (1). A + В + C + D = 360 0 (2)(т.к. параллелограмм выпуклый четырёхугольник). Следовательно, из (2), учитывая (1), получаем, что A = В = C = D = 90 0 , ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Теорема

Доказательство

Дано: ABCD — параллелограмм, A = 90 0

Доказать: ABCD — прямоугольник

Доказательство:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 0 , т.е. A + В = 180 0 , В = 180 0 — A = 180 0 — 90 0 = 90 0

Противолежащие углы параллелограмма равны, A = C = 90 0 и В = D = 90 0

Итак: ABCD — параллелограмм (по условию), и все его углы прямые (по доказанному выше), ABCD — прямоугольник (по определению), что и требовалось доказать.

Две теоремы, доказанные выше, называют признаками прямоугольника.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия Признак прямоугольника Доказательство. Если одни из углов параллелограмма прямой, то этотСкачать

Какой четырёхугольник называется прямоугольником

В школьной программе на уроках геометрии приходится иметь дело с разнообразными видами четырёхугольников: ромбами, параллелограммами, прямоугольниками, трапециями, квадратами. Самыми первыми фигурами для изучения становятся прямоугольник и квадрат.

Итак, что же такое прямоугольник? Определение для 2 класса общеобразовательной школы будет выглядеть так: это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Несложно представить себе, как выглядит прямоугольник: это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, попарно параллельными друг другу.

• Признаки и свойства прямоугольника
• Формулы для вычисления длины сторон
• Периметр и площадь
• Диагонали прямоугольника
• Определение и свойства квадрата
• Примеры вопросов и задач

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Признаки и свойства прямоугольника

Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака, по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:

• фигура является четырёхугольником, три угла которого равны 90°,
• представленный четырёхугольник — это параллелограмм с равными диагоналями,
• параллелограмм, который имеет по крайней мере один прямой угол.

Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.

Поскольку прямоугольник — это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.

Формулы для вычисления длины сторон

В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую — шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной — AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).

Это интересно: в геометрии луч это что такое, основное понятие.

Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a — длина прямоугольника, b — его ширина, d — диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S — площадь фигуры, P — периметр, α угол между диагональю и длиной, β острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:

• С использованием диагонали и известной стороны: a = √(d ² b ²), b = √(d ² a ²).
• По площади фигуры и одной из её сторон: a = S / b, b = S / a.
• При помощи периметра и известной стороны: a = (P — 2 b) / 2, b = (P — 2 a) / 2.
• Через диагональ и угол между ней и длиной: a = d sinα, b = d cosα.
• Через диагональ и угол β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Это интересно: как сравнить два отрезка способы с примерами.

Периметр и площадь

Периметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:

• Через обе стороны: P = 2 (a + b).
• Через площадь и одну из сторон: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.

Площадь — это пространство, ограниченное периметром. Три основных способа для расчёта площади:

• Через длины обеих сторон: S = a*b.
• При помощи периметра и какой-либо одной известной стороны: S = (Pa — 2 a ²) / 2, S = (Pb — 2 b ²) / 2.
• По диагонали и углу β: S = 0,5 d ² sinβ.

Диагонали прямоугольника

В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника. Перечислим основные из них:

1. Диагонали равны друг другу и делятся на два равных отрезка в точке их пересечения.
2. Диагональ определяется как корень суммы обеих сторон, возведённых в квадрат (следует из теоремы Пифагора).
3. Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника с прямым углом.
4. Точка пересечения совпадает с центром описанной окружности, а сами диагонали — с её диаметром.

Это интересно: как обозначается площадь, примеры для вычисления.

Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:

• С использованием длины и ширины фигуры: d = √(a ² + b ²).
• С использованием радиуса окружности, описанной вокруг четырёхугольника: d = 2 R.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Определение и свойства квадрата

Квадрат — это частный случай ромба, параллелограмма или прямоугольника. Его отличие от этих фигур заключается в том, что все его углы прямые, и все четыре стороны равны. Квадрат — это правильный четырёхугольник.

Четырёхугольник называют квадратом в следующих случаях:

1. Если это прямоугольник, у которого длина a и ширина b равны.
2. Если это ромб с равными длинами диагоналей и с четырьмя прямыми углами.

К свойствам квадрата относятся все ранее рассмотренные свойства, относящиеся к прямоугольнику, а также следующие:

1. Диагонали перпендикулярны относительно друг друга (свойство ромба).
2. Точка пересечения совпадает с центром вписанной окружности.
3. Обе диагонали делят четырёхугольник на четыре одинаковых прямоугольных и равнобедренных треугольника.

Приведём часто используемые формулы для вычисления периметра, площади и элементов квадрата:

• Диагональ d = a √2.
• Периметр P = 4 a.
• Площадь S = a ².
• Радиус описанной окружности вдвое меньше диагонали: R = 0,5 a √2.
• Радиус вписанной окружности определяется как половинная длина стороны: r = a / 2.

Видео:Математика 2 класс (Урок№33 - Угол. Виды углов: прямой, острый, тупой.)Скачать

Примеры вопросов и задач

Разберём некоторые вопросы, с которыми можно столкнуться при изучении курса математики в школе, и решим несколько простых задач.

Задача 1. Как изменится площадь прямоугольника, если увеличить длину его сторон в три раза?

Решение: Обозначим площадь исходной фигуры S0, а площадь четырёхугольника с утроенной длиной сторон — S1. По формуле, рассмотренной ранее, получаем: S0 = ab. Теперь увеличим длину и ширину в 3 раза и запишем: S1= 3 a • 3 b = 9 ab. Сравнивая S0 и S1, становится очевидно, что вторая площадь больше первой в 9 раз.

Вопрос 1. Четырёхугольник с прямыми углами — это квадрат?

Решение: Из определения следует, что фигура с прямыми углами является квадратом лишь тогда, когда длины всех его сторон равны. В остальных случаях фигура является прямоугольником.

Задача 2. Диагонали прямоугольника образуют угол 60 градусов. Ширина прямоугольника — 8. Рассчитать, чему равна диагональ.

Решение: Вспомним, что диагонали точкой пересечения разделяются пополам. Таким образом, имеем дело с равнобедренным треугольником с углом при вершине, равным 60°. Так как треугольник равнобедренный, то находящиеся при основании углы тоже будут одинаковы. Путём несложных вычислений получаем, что каждый из них равен 60°. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Ширина, известная нам, является основанием треугольника, следовательно, половина диагонали тоже равна 8, а длина целой диагонали в два раза больше и равна 16.

Вопрос 2. У прямоугольника все стороны равны или нет?

Решение: Достаточно вспомнить, что все стороны должны быть равны у квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Во всех остальных случаях достаточное условие — это наличие минимум 3 прямых углов. Равенство сторон не является обязательным признаком.

Задача 3. Площадь квадрата известна и равна 289. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.

Решение: По формулам для квадрата проведём следующие расчёты:

• Определим, чему равны основные элементы квадрата: a = √ S = √289 = 17, d = a √2 =1 7√2.
• Подсчитаем, чему равен радиус описанной вокруг четырёхугольника окружности: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Найдём радиус вписанной окружности: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

🔥 Видео

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Геометрия Признак прямоугольника Доказательство. Если диагонали параллелограмма равны, то этотСкачать

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

ЧетырехугольникиСкачать

8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать