Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Признаки параллелограмма
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАВС и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАDС: АС — общая, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то1 =Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то3 (т.к. по условию АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВС, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то1 и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАВС =Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАВ = DC и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то2 = Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то4. Но Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то2 и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАВЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то.

3. Итак, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВС и АВЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые точетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАВС и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАВС =Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то1 = Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то2, при этом Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то1 и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые топо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВС, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые топо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

1. Рассмотрим Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАОD и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАОD и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВОС (как вертикальные углы), Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАОD =Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоАD = ВC и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то1 = Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то2.

2. Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то1 и Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то1 = Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то2, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые топо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоВС, Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые топо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоОпределение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоНа рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

  1. Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
  2. Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
  3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  4. Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
  5. Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые тоСвойства квадрата

  1. Диагонали квадрата равны (BD=AC).
  2. Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
  3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
  4. Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
  5. Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объектыяблонитеплицасарайжилой дом
Цифры3517

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазинаРасход краскиМасса краски в одной банкеСтоимость одной банки краскиСтоимость доставки заказа
10,25 кг/кв.м6 кг3000 руб.500 руб.
20,4 кг/кв.м5 кг1900 руб.800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Если в четырехугольнике две стороны равны а два угла прямые то

Докажите, что следующие определения равносильны:

1. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

2. Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые.

3. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого один из углов прямой.

4. Параллелограмм является прямоугольником тогда и только тогда, когда его диагонали равны.

Решение . 1. Действительно, если в параллелограмме, то есть в четырёхугольнике с попарно параллельными и равными сторонами, смежные стороны пересекутся под прямым углом, такой параллелограмм будет считаться прямоугольником.

2. Действительно, если в четырёхугольнике смежные стороны пересекаются под прямым углом, то такой четырёхугольник — прямоугольник.

3. Действительно, если хотя бы один угол параллелограмма будет прямым, то и противолежащий ему тоже будет равен 90°, так как в параллелограмме противоположные углы равны. А поскольку в параллелограмме сумма двух соседних углов равна 180°, то все углы параллелограмма обращаются в прямые, а сам параллелограмм обращается в прямоугольник.

4. Действительно, если диагонали параллелограмма не будут равны, то углы тоже не будут равными и прямыми, а значит, такой параллелограмм прямоугольником считаться не будет.

🎬 Видео

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

10 класс, 8 урок, Углы с сонаправленными сторонамиСкачать

10 класс, 8 урок, Углы с сонаправленными сторонами

Задача про А и ВСкачать

Задача про А и В

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 классСкачать

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. Видеоурок по геометрии 10 класс

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы
Поделиться или сохранить к себе: