Укажите номер верного утверждения.
1) Если в параллелограмме две стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
2) Если в четырёхугольнике две диагонали равны и перпендикулярны, то такой четырёхугольник — квадрат.
3) Если в ромбе диагонали равны, то такой ромб является квадратом.
4) Углы при меньшем основании трапеции тупые.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если в параллелограмме две стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом» — неверно, поскольку у любого параллелограмма противоположные стороны равны, однако он не обязан быть ромбом. Правильно утверждение: параллелограмм является ромбом, только если смежные стороны равны.
2) «Если в четырёхугольнике две диагонали равны и перпендикулярны, то такой четырёхугольник — квадрат» — неверно, поскольку существуют четырёхугольники с равными взаимно перпендикулярными диагоналями, но не являющиеся квадратами. Правильное утверждение: Если в четырёхугольнике две диагонали равны и перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник — квадрат.
3) «Если в ромбе диагонали равны, то такой ромб является квадратом» — верно.
4) «Углы при меньшем основании трапеции тупые» — неверно, например, у прямоугольной трапеции только один угол при меньшем основании тупой.
Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать
Если в четырехугольнике две диагонали равны и перпендикулярны то он квадрат
Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?
1) Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны и перпендикулярны, то это квадрат.
2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
3) Смежные углы всегда равны.
1) Нет, чтобы такой четырехугольник был квадратом, необходимо еще, чтобы точка пересечения диагоналей делила их пополам.
2) Да, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов.
3) Нет, смежные углы в сумме составляют 180 градусов, но могут быть различными.
Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать
Квадрат, его свойства и признаки.
Видео:№410. Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимноСкачать
«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Квадрат, его свойства и признаки.
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Для квадрата можно ввести несколько определений. Самое ёмкое мы уже привели. Но можно определить квадрат следующим образом:
Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны, а углы прямые.
Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
Поскольку квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то он обладает теми же свойствами, что и все перечисленные четырёхугольники.
У квадрата диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У квадрата диагонали взаимно перпендикулярны.
У квадрата диагонали являются биссектрисами его углов.
У квадрата диагонали равны.
У квадрата стороны являются высотами.
Каждая диагональ квадрата делит его на равные прямоугольные треугольники.
Теперь определим признаки квадрата.
ТЕОРЕМА ( I признак). Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Так как – прямоугольник, то у него противолежащие стороны равны.
– квадрат (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( II признак). Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом. 
по свойству диагоналей прямоугольника, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( III признак). Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку квадрата, прямоугольник является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( IV признак). Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
по III признаку равенства треугольников. Значит, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. . Эти углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых и , следовательно, их сумма равна , т.е. , а, значит, и . Так как в ромбе противолежащие углы равны, то и все остальные углы также равны по . Значит, такой ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( V признак). Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Так как , то по II признаку ромба, параллелограмм является ромбом.
Так как , то по IV признаку квадрата, ромб является квадратом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( VI признак). Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом. 
1. Так как , то четырёхугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
2. Так как , то параллелограмм является квадратом (по V признаку квадрата), ч.т.д.
ТЕОРЕМА ( VII признак). Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом. 
1. Так как , то четырёхугольник является ромбом (по V признаку ромба).
2. Так как , то ромб, который по определению является параллелограммом, является прямоугольником (по III признаку прямоугольника), значит, все углы в этом четырёхугольнике прямые.
3. Итак, прямоугольник , у которого все стороны равны, является квадратом (по определению), ч.т.д.
Если в прямоугольнике две его смежные стороны равны, то он является квадратом.
Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, то этот прямоугольник является квадратом.
Если в прямоугольнике одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то такой прямоугольник является квадратом.
Если в ромбе диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны и равны, то такой параллелограмм является квадратом.
Если в четырёхугольнике диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является квадратом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны и среди внутренних углов есть один прямой угол, то такой четырёхугольник является квадратом.
Периметр квадрата равен см. Найдите сторону квадрата .
На рисунке четырёхугольник – квадрат, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник также является квадратом. 
На рисунке четырёхугольник – прямоугольник, . Докажите, что выпуклый четырёхугольник является квадратом. 
В треугольнике . На сторонах и взяты точки и , а на стороне – точки и так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
В треугольнике . На сторонах отмечены точки соответственно так, что четырёхугольник является квадратом, . Найдите .
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно, . Отрезки и пересекаются в точке . Найдите .
На сторонах квадрата отмечены соответственно точки . Сравните отрезки и .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Докажите, что сумма расстояний от точек и до прямой равна .
На катетах и прямоугольного треугольника построены квадраты и . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что .
Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ равна . Найдите длину диагонали.
В четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. 
Дан квадрат . Докажите, что – квадрат.
Дан квадрат . Докажите, что – ромб.
Дан квадрат . На стороне взята точка такая, что . Докажите, что точки – вершины равнобедренного треугольника.
Дан квадрат . Точки – середины его сторон соответственно. Докажите, что .
Дан квадрат . Точки и делят его стороны и так, что . Докажите, что .
Квадраты и имеют общую вершину . Докажите, что медиана треугольника перпендикулярна отрезку . 
Внутри квадрата взята точка так, что . Докажите, что треугольник равносторонний.
На рисунке – квадрат, точка принадлежит , точка принадлежит , точка принадлежит , прямые и пересекаются в точке . Докажите, что . 
В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен см, вписан квадрат, имеющий с ним один общий угол. Найдите периметр квадрата.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Определите сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 30 дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них втрое больше другой и что диагональ квадрата равна дм.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Определите стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна см.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно см. Найдите периметр этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата.
Точка расположена во внутренней области квадрата так, что расстояния от неё до сторон и пропорциональны соответственно числам и , а расстояние от до прямой равно м. Найдите периметр этого квадрата.
Точка лежит на стороне квадрата . Высоты треугольников и , проведённые из точки , равны соответственно и . Найдите произведение длин диагоналей этого квадрата. 
На сторонах и квадрата отмечены точки и соответственно так, что . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий угол . Найдите периметр квадрата, если катет треугольника равен см. 
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол . 
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат , имеющий с ним общий прямой угол. Найдите катет треугольника, если периметр квадрата равен см.
Внутри квадрата отмечена такая точка , что треугольник равносторонний. Найдите угол . 
Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Определите вид образованного ими четырёхугольника и вычислите его периметр, если диагональ квадрата равна см.
Через точку – точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, параллельная стороне и пересекающая стороны и в точках и соответственно. Найдите периметр квадрата, если известно, что .
Найдите периметр квадрата по данным на рисунке. 
📺 Видео
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Параллелограмм и вся его семейкаСкачать
Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать
Геометрия Признак ромба Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм ромбСкачать
Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать
8 класс, 8 урок, Ромб и квадратСкачать
8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать
ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать
Ромб, признаки. 8 класс.Скачать
Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Если диагонали параллелограмма равны, то это квадрат. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать
№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
