Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Длина катета прямоугольного треугольника равна 8 см. Окружность с диаметром пересекает гипотенузуСкачать

Длина катета  прямоугольного треугольника  равна 8 см. Окружность с диаметром  пересекает гипотенузу

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

2. Через длины сторон треугольника:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности
Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Видео:Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностиЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

3. Теорема Пифагора:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности, где Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности– катеты, Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности– гипотенуза. Видеодоказательство

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

4. Площадь Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностипрямоугольного треугольника с катетами Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

5. Высота Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностипрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностии гипотенузу Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностиследующим образом:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

7. Радиус Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностиописанной окружности есть половина гипотенузы Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностивписанной окружности выражается через катеты Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностии гипотенузу Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружностиследующим образом:

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:16 фактов про ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК | ГеометрияСкачать

16 фактов про ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК | Геометрия

Решение №2522 Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС.

Точка Н является основанием высоты ВН, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите РК, если ВН = 12.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вар)

Высота прямоугольного треугольника является диаметром окружности

По условию ВН = 12 и является диаметром окружности.
Рассмотрим ΔРВК, он прямоугольный (∠РВК = 90°), вписанный в окружность, тогда его гипотенуза РК , является диаметром окружности.
Диаметры окружности равны:

ВН = РК = 12

Ответ: 12.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

🔍 Видео

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)Скачать

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

ОГЭ 2021. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ 2021. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 классСкачать

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ . §15 геометрия 8 класс

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружностьСкачать

На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружность

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формулаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. Как найти? Полезная формула

Геометрия. Задача. Треугольник. Окружность.Скачать

Геометрия.  Задача.  Треугольник.  Окружность.

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольникаСкачать

Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: