Найти элементы прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Найти элементы прямоугольного треугольника

Содержание
  1. Как найти стороны прямоугольного треугольника
  2. Онлайн калькулятор
  3. Найти гипотенузу (c)
  4. Найти гипотенузу по двум катетам
  5. Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
  6. Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
  7. Найти гипотенузу по двум углам
  8. Найти катет
  9. Найти катет по гипотенузе и катету
  10. Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
  11. Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
  12. Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
  13. Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
  14. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
  15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  16. Теорема Пифагора
  17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
  18. Решение прямоугольных треугольников
  19. Пример №1
  20. Пример №2
  21. Пример №3
  22. Пример №4
  23. Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника
  24. Пример №5
  25. Пример №6
  26. Пример №7
  27. Пример №8
  28. Пример №9
  29. Пример №10
  30. Пример №11
  31. Перпендикуляр и наклонная, их свойства
  32. Пример №12
  33. Пример №13
  34. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
  35. Пример №14
  36. Пример №15
  37. Пример №16
  38. Пример №17
  39. Вычисление прямоугольных треугольников
  40. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
  41. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу
  42. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам
  43. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
  44. Определение прямоугольных треугольников
  45. Синус, косинус и тангенс
  46. Пример №18
  47. Тригонометрические тождества
  48. Пример №19
  49. Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения
  50. Значения тригонометрических функций углов 30 45 60
  51. Решение прямоугольных треугольников
  52. Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника
  53. Пример №20
  54. Примеры решения прямоугольных треугольников
  55. Пример №21
  56. Пример №22
  57. Пример №23
  58. Пример №24
  59. Пример №25
  60. Пример №26
  61. Историческая справка
  62. Приложения
  63. Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
  64. Теорема (формула площади прямоугольника)
  65. Золотое сечение
  66. Пример №27
  67. Пример №28
  68. Пример №29
  69. Вычисление значений sin a, cos а и tg а
  70. Пример №31
  71. Как решать прямоугольные треугольники
  72. Пример №32
  73. Пример №33
  74. Пример №34
  75. Пример №35
  76. Пример №36
  77. Пример №37
  78. 🎦 Видео
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Найти элементы прямоугольного треугольникаЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Найти элементы прямоугольного треугольника

3. Теорема Пифагора:

Найти элементы прямоугольного треугольника, где Найти элементы прямоугольного треугольника– катеты, Найти элементы прямоугольного треугольника– гипотенуза. Видеодоказательство

Найти элементы прямоугольного треугольника

4. Площадь Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника с катетами Найти элементы прямоугольного треугольника:

Найти элементы прямоугольного треугольника

5. Высота Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Найти элементы прямоугольного треугольникаи гипотенузу Найти элементы прямоугольного треугольникаследующим образом:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Найти элементы прямоугольного треугольника

7. Радиус Найти элементы прямоугольного треугольникаописанной окружности есть половина гипотенузы Найти элементы прямоугольного треугольника:

Найти элементы прямоугольного треугольника

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Найти элементы прямоугольного треугольникавписанной окружности выражается через катеты Найти элементы прямоугольного треугольникаи гипотенузу Найти элементы прямоугольного треугольникаследующим образом:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Онлайн калькулятор

Найти элементы прямоугольного треугольника

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть.  7 класс.

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Найти элементы прямоугольного треугольника

Докажем, что Найти элементы прямоугольного треугольника

  • Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникаОтсюда Найти элементы прямоугольного треугольника
  • Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникаОтсюда Найти элементы прямоугольного треугольника
  • Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникаОтсюда Найти элементы прямоугольного треугольника

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Найти элементы прямоугольного треугольникато доказанные соотношения принимают вид:
Найти элементы прямоугольного треугольника
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Найти элементы прямоугольного треугольникав котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Найти элементы прямоугольного треугольникаЕсли обозначить Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Найти элементы прямоугольного треугольникакак вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Найти элементы прямоугольного треугольника

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Найти элементы прямоугольного треугольникаДокажем, что Найти элементы прямоугольного треугольника
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Найти элементы прямоугольного треугольникаСложив почленно эти равенства, получим:
Найти элементы прямоугольного треугольника

Далее имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Найти элементы прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Из равенства Найти элементы прямоугольного треугольникатакже следует, что Найти элементы прямоугольного треугольникаотсюда Найти элементы прямоугольного треугольникато есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Найти элементы прямоугольного треугольника

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Найти элементы прямоугольного треугольникаНапомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Найти элементы прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Найти элементы прямоугольного треугольникав котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника
По определению Найти элементы прямоугольного треугольникаотсюда Найти элементы прямоугольного треугольникаВидим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникаЭту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Найти элементы прямоугольного треугольника

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Найти элементы прямоугольного треугольника

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Найти элементы прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольника— тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Найти элементы прямоугольного треугольникаСледовательно, получаем такие формулы: Найти элементы прямоугольного треугольника

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Найти элементы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора Найти элементы прямоугольного треугольникаОбе части этого равенства делим на Найти элементы прямоугольного треугольникаИмеем: Найти элементы прямоугольного треугольникаУчитывая, что Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаполучим: Найти элементы прямоугольного треугольника

Принято записывать: Найти элементы прямоугольного треугольника

Отсюда имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольникаПоскольку Найти элементы прямоугольного треугольникато получаем такие формулы:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Мы уже знаем, что Найти элементы прямоугольного треугольникаНайдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 183).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Найти элементы прямоугольного треугольника

Имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника
Отсюда находим: Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку 60° = 90° — 30°, то получаем:
Найти элементы прямоугольного треугольника

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Найти элементы прямоугольного треугольникакатеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольника

Отсюда Найти элементы прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаОтсюда Найти элементы прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Найти элементы прямоугольного треугольника

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаОтсюда Найти элементы прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаОтсюда Найти элементы прямоугольного треугольника
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Найти элементы прямоугольного треугольникаполучаем: Найти элементы прямоугольного треугольника
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Найти элементы прямоугольного треугольника— углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Найти элементы прямоугольного треугольника= 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Найти элементы прямоугольного треугольника
Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника

Вычисляем угол Найти элементы прямоугольного треугольникас помощью микрокалькулятора: Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда Найти элементы прямоугольного треугольника
Найти элементы прямоугольного треугольника
Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Найти элементы прямоугольного треугольникаНайдите стороны АВ и АС, если Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Из треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаполучаем:
Найти элементы прямоугольного треугольника

Из треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаполучаем:Найти элементы прямоугольного треугольника
Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Найти элементы прямоугольного треугольникаНайдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Найти элементы прямоугольного треугольника

Проведем высоту BD.

Из треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаполучаем: Найти элементы прямоугольного треугольника

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникато вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Найти элементы прямоугольного треугольника

Из треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаполучаем: Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника— основное тригонометрическое тождество

Найти элементы прямоугольного треугольника

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольника-данный прямоугольный треугольник, у которого Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 172). Докажем, что

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

1) Проведем высоту Найти элементы прямоугольного треугольника
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Найти элементы прямоугольного треугольникаполучим:

Найти элементы прямоугольного треугольника

4) Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Если в треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначить Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольникатогда Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольникатогда Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаНайти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим квадрат Найти элементы прямоугольного треугольникау которого Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 174). Тогда

Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ. Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Найти элементы прямоугольного треугольникасо стороной Найти элементы прямоугольного треугольника— его медиана (рис. 175).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Так как Найти элементы прямоугольного треугольника— медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда

Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольника— данная трапеция, Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 176).

Найти элементы прямоугольного треугольника

1) Проведем высоты Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника

2) Найти элементы прямоугольного треугольника(по катету и гипотенузе), поэтому

Найти элементы прямоугольного треугольника

3) Из Найти элементы прямоугольного треугольникапо теореме Пифагора имеем:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольникасм и Найти элементы прямоугольного треугольникасм- катеты треугольника, тогда Найти элементы прямоугольного треугольникасм — его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Найти элементы прямоугольного треугольникаполучим уравнение: Найти элементы прямоугольного треугольникаоткуда Найти элементы прямоугольного треугольника(см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникасправедливо равенство Найти элементы прямоугольного треугольникато угол Найти элементы прямоугольного треугольникаэтого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаДокажем, что Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 177).

Рассмотрим Найти элементы прямоугольного треугольникау которого Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольникаТогда по теореме Пифагора Найти элементы прямоугольного треугольникаа следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Но Найти элементы прямоугольного треугольникапо условию, поэтому Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Таким образом, Найти элементы прямоугольного треугольника(по трем сторонам), откуда Найти элементы прямоугольного треугольника

Так как Найти элементы прямоугольного треугольникато треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, — пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Найти элементы прямоугольного треугольникато треугольник является прямоугольным.

2) Так как Найти элементы прямоугольного треугольникато треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Считается, что Пифагор — первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольникаперпендикуляр, проведенный из точки Найти элементы прямоугольного треугольникак прямой Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 185). Точку Найти элементы прямоугольного треугольниканазывают основанием перпендикуляра Найти элементы прямоугольного треугольникаПусть Найти элементы прямоугольного треугольника— произвольная точка прямой Найти элементы прямоугольного треугольникаотличающаяся от Найти элементы прямоугольного треугольникаОтрезок Найти элементы прямоугольного треугольниканазывают наклонной, проведенной из точки Найти элементы прямоугольного треугольникак прямой Найти элементы прямоугольного треугольникаа точку Найти элементы прямоугольного треугольникаоснованием наклонной. Отрезок Найти элементы прямоугольного треугольниканазывают проекцией наклонной Найти элементы прямоугольного треугольникана прямую Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольника-катет, Найти элементы прямоугольного треугольника— гипотенуза (рис. 185). Поэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Найти элементы прямоугольного треугольникак прямой Найти элементы прямоугольного треугольникапроведены наклонные Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникаи перпендикуляр Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 186). Тогда Найти элементы прямоугольного треугольника(по катету и гипотенузе), поэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Найти элементы прямоугольного треугольника(по двум катетам), поэтому Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника— наклонные, Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 187). Тогда Найти элементы прямоугольного треугольника(из Найти элементы прямоугольного треугольника), Найти элементы прямоугольного треугольника(из Найти элементы прямоугольного треугольника). Но Найти элементы прямоугольного треугольникапоэтому Найти элементы прямоугольного треугольникаследовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Свойство справедливо и в случае, когда точки Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникалежат на прямой по одну сторону от точки Найти элементы прямоугольного треугольника

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника— наклонные, Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 187).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Тогда Найти элементы прямоугольного треугольника(из Найти элементы прямоугольного треугольника),

Найти элементы прямоугольного треугольника(из Найти элементы прямоугольного треугольника). Но Найти элементы прямоугольного треугольникапоэтому Найти элементы прямоугольного треугольникаследовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции — 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

1) Из Найти элементы прямоугольного треугольника(см).

2) Из Найти элементы прямоугольного треугольникапо свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Найти элементы прямоугольного треугольника

Поэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Найти элементы прямоугольного треугольникапрямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Найти элементы прямоугольного треугольникаПо свойству 4: Найти элементы прямоугольного треугольникаОбозначим Найти элементы прямоугольного треугольникасм. Тогда Найти элементы прямоугольного треугольникасм.

Из Найти элементы прямоугольного треугольникапоэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

Из Найти элементы прямоугольного треугольникапоэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Найти элементы прямоугольного треугольникаоткуда Найти элементы прямоугольного треугольникаСледовательно, Найти элементы прямоугольного треугольникасм, Найти элементы прямоугольного треугольника(см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найти элементы прямоугольного треугольникас прямым углом Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 190). Для острого угла Найти элементы прямоугольного треугольникакатет Найти элементы прямоугольного треугольникаявляется противолежащим катетом, а катет Найти элементы прямоугольного треугольника— прилежащим катетом. Для острого угла Найти элементы прямоугольного треугольникакатет Найти элементы прямоугольного треугольникаявляется противолежащим, а катет Найти элементы прямоугольного треугольника— прилежащим.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначают так: Найти элементы прямоугольного треугольникаСледовательно,

Найти элементы прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначают так: Найти элементы прямоугольного треугольникаСледовательно,

Найти элементы прямоугольного треугольника

Так как катеты Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникаменьше гипотенузы Найти элементы прямоугольного треугольникато синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначают так: Найти элементы прямоугольного треугольникаСледовательно,

Найти элементы прямоугольного треугольника

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникау которых Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 191). Тогда Найти элементы прямоугольного треугольника(по острому углу). Поэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Из этого следует, что Найти элементы прямоугольного треугольникаи поэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

Аналогично Найти элементы прямоугольного треугольникапоэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

поэтому Найти элементы прямоугольного треугольника

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Найти элементы прямоугольного треугольника

3. Катет, противолежащий углу Найти элементы прямоугольного треугольникаравен произведению второго катета на тангенс этого угла: Найти элементы прямоугольного треугольника
4. Катет, прилежащий к углу Найти элементы прямоугольного треугольникаравен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Найти элементы прямоугольного треугольника

Значения Найти элементы прямоугольного треугольникаможно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника(на некоторых калькуляторах Найти элементы прямоугольного треугольникаПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаНайдите Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 190). Найти элементы прямоугольного треугольника(см).

Пример №15

В треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольникаНайдите Найти элементы прямоугольного треугольника(с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Найти элементы прямоугольного треугольникаСледовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ. Найти элементы прямоугольного треугольника2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Найти элементы прямоугольного треугольникаили Найти элементы прямоугольного треугольниканаходить угол Найти элементы прямоугольного треугольникаДля вычислений используем клавиши калькулятора Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №16

В треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольника

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Найти элементы прямоугольного треугольникав градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ. Найти элементы прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Найти элементы прямоугольного треугольникау которого Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника(рис. 192).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Найти элементы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Найти элементы прямоугольного треугольникау которого Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 193). Тогда Найти элементы прямоугольного треугольникаПо теореме Пифагора:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникато есть Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Найти элементы прямоугольного треугольника— данный треугольник, Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 194).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Проведем к основанию Найти элементы прямоугольного треугольникавысоту Найти элементы прямоугольного треугольникаявляющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Найти элементы прямоугольного треугольника

Из Найти элементы прямоугольного треугольника

отсюда Найти элементы прямоугольного треугольника(см).

Ответ. Найти элементы прямоугольного треугольникасм.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначение Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника(теорема Пифагора);

Найти элементы прямоугольного треугольника

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Найти элементы прямоугольного треугольникаи острый угол Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Найти элементы прямоугольного треугольникаи острый угол Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Найти элементы прямоугольного треугольникаи гипотенуза Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример:

Найдите высоту дерева Найти элементы прямоугольного треугольникаоснование Найти элементы прямоугольного треугольникакоторого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Найти элементы прямоугольного треугольника— основание дерева, точки Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникаи измеряем отрезок Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

1) В Найти элементы прямоугольного треугольника

2) В Найти элементы прямоугольного треугольника

3) Так как Найти элементы прямоугольного треугольникаимеем:

Найти элементы прямоугольного треугольника

откуда Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ. Найти элементы прямоугольного треугольника

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Найти элементы прямоугольного треугольникагипотенузой Найти элементы прямоугольного треугольникаи острым углом Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 168).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Найти элементы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Найти элементы прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Тангенсом острого угла Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Найти элементы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Найти элементы прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Найти элементы прямоугольного треугольникакоторый равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Найти элементы прямоугольного треугольникаимеют равные острые углы Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 169).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Эти треугольники подобны, отсюда Найти элементы прямоугольного треугольникаили по основному свойству пропорции, Найти элементы прямоугольного треугольника

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Найти элементы прямоугольного треугольникасоответственно. Имеем:

Найти элементы прямоугольного треугольника

т.е. синус угла Найти элементы прямоугольного треугольникане зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Найти элементы прямоугольного треугольникаравны, то Найти элементы прямоугольного треугольникаИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника(рис. 170).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Найти элементы прямоугольного треугольника— наименьший угол треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаПо определению Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Найти элементы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Найти элементы прямоугольного треугольника

Следствие

Для любого острого углаНайти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Найти элементы прямоугольного треугольникат.е. Найти элементы прямоугольного треугольника

Аналогично доказывается, что Найти элементы прямоугольного треугольника

Отсюда следует, что Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найти элементы прямоугольного треугольникас гипотенузой Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 172).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Если Найти элементы прямоугольного треугольникаВыразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Следствие

Для любого острого угла Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Найти элементы прямоугольного треугольникаАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Найти элементы прямоугольного треугольникаДля этого в равностороннем треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникасо стороной Найти элементы прямоугольного треугольникапроведем высоту Найти элементы прямоугольного треугольникакоторая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Найти элементы прямоугольного треугольника

В треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникаи по теореме Пифагора Найти элементы прямоугольного треугольникаИмеем:

Найти элементы прямоугольного треугольника
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Найти элементы прямоугольного треугольникарассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Найти элементы прямоугольного треугольникас катетами Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 174).

Найти элементы прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора Найти элементы прямоугольного треугольникаИмеем:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Представим значения тригонометрических функций углов Найти элементы прямоугольного треугольникав виде таблицы.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Найти элементы прямоугольного треугольникагипотенузой Найти элементы прямоугольного треугольникаи острыми углами Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 175).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Зная градусную меру угла Найти элементы прямоугольного треугольникаи длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Найти элементы прямоугольного треугольника(соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Найти элементы прямоугольного треугольникаНайдем катет Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Найти элементы прямоугольного треугольникаи острому углу Найти элементы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольника

т.е. Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольника

т.е. Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Найти элементы прямоугольного треугольникаи острому углу Найти элементы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Найти элементы прямоугольного треугольникаи катету Найти элементы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникаоткуда Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Найти элементы прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникаоткуда Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти элементы прямоугольного треугольника

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Найти элементы прямоугольного треугольникаи измерим угол Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку в прямоугольном треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Найти элементы прямоугольного треугольникавысоту Найти элементы прямоугольного треугольникаприбора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 177), в которой Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Проведем высоты Найти элементы прямоугольного треугольникаПоскольку Найти элементы прямоугольного треугольника(докажите это самостоятельно), то Найти элементы прямоугольного треугольникаВ треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольника

т.е. Найти элементы прямоугольного треугольника

Ответ: Найти элементы прямоугольного треугольника

Синусом острого угла Найти элементы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла Найти элементы прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Тангенсом острого угла Найти элементы прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Котангенсом острого угла Найти элементы прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к противолежащему:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Тригонометрические тождества

Найти элементы прямоугольного треугольника

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Найти элементы прямоугольного треугольникарассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Найти элементы прямоугольного треугольникаДействительно, если радиус окружности равен единице, то Найти элементы прямоугольного треугольникаизмеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Найти элементы прямоугольного треугольника

и косеканс Найти элементы прямоугольного треугольника

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Найти элементы прямоугольного треугольникаможно разделить на Найти элементы прямоугольного треугольникаравных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Найти элементы прямоугольного треугольникапричем на отрезке Найти элементы прямоугольного треугольникабудут лежать Найти элементы прямоугольного треугольникаточек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Найти элементы прямоугольного треугольникапо теореме Фалеса получим деление отрезков Найти элементы прямоугольного треугольникасоответственно на Найти элементы прямоугольного треугольникаравных отрезков. Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольникачто и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Найти элементы прямоугольного треугольниканевозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Найти элементы прямоугольного треугольника

Рассмотрим случай, когда Найти элементы прямоугольного треугольника(другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Найти элементы прямоугольного треугольникаотрезок Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 181).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Разобьем отрезок Найти элементы прямоугольного треугольникана такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Найти элементы прямоугольного треугольникапопала на отрезок Найти элементы прямоугольного треугольникаПроведем через точки деления прямые, параллельные Найти элементы прямоугольного треугольникаПусть прямая, проходящая через точку Найти элементы прямоугольного треугольникапересекает луч Найти элементы прямоугольного треугольникав точке Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда по доказанному Найти элементы прямоугольного треугольникаУчитывая, что в этой пропорции Найти элементы прямоугольного треугольникаимеем: Найти элементы прямоугольного треугольника

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Найти элементы прямоугольного треугольникаСледовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Найти элементы прямоугольного треугольникаРазделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Откуда Найти элементы прямоугольного треугольникаТаким образом, доказано, что Найти элементы прямоугольного треугольникат.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Найти элементы прямоугольного треугольникакоторый делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Найти элементы прямоугольного треугольникакв. ед.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Найти элементы прямоугольного треугольника— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Найти элементы прямоугольного треугольникаимеют общую сторону Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 183,
Найти элементы прямоугольного треугольника

Разобьем сторону Найти элементы прямоугольного треугольникаравных частей. Пусть на отрезке Найти элементы прямоугольного треугольникалежит Найти элементы прямоугольного треугольникаточек деления, причем точка деления Найти элементы прямоугольного треугольникаимеет номер Найти элементы прямоугольного треугольникаа точка Найти элементы прямоугольного треугольника—номер Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда Найти элементы прямоугольного треугольникаоткуда — Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Найти элементы прямоугольного треугольникаОни разделят прямоугольник Найти элементы прямоугольного треугольникаравных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Найти элементы прямоугольного треугольникасодержится внутри прямоугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаа прямоугольник Найти элементы прямоугольного треугольникасодержит прямоугольник Найти элементы прямоугольного треугольника

Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника

Сравнивая выражения для Найти элементы прямоугольного треугольникаубеждаемся, что оба эти отношения расположены между Найти элементы прямоугольного треугольникат.е. отличаются не больше чем на Найти элементы прямоугольного треугольниканатуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. Найти элементы прямоугольного треугольникатакое натуральное число Найти элементы прямоугольного треугольникачто Найти элементы прямоугольного треугольникаПолученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Найти элементы прямоугольного треугольникасо сторонами Найти элементы прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникасо сторонами Найти элементы прямоугольного треугольникаи 1 и квадрат Найти элементы прямоугольного треугольникасо стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Найти элементы прямоугольного треугольника

Поскольку Найти элементы прямоугольного треугольникакв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Найти элементы прямоугольного треугольника

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Найти элементы прямоугольного треугольникаточкой Найти элементы прямоугольного треугольникапри котором Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 184). Пусть длина отрезка Найти элементы прямоугольного треугольникаравна Найти элементы прямоугольного треугольникаа длина отрезка Найти элементы прямоугольного треугольникаравна Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда

Найти элементы прямоугольного треугольникаОтсюда Найти элементы прямоугольного треугольникаПоскольку Найти элементы прямоугольного треугольникато геометрический смысл имеет только значение Найти элементы прямоугольного треугольникаЗначит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Найти элементы прямоугольного треугольникаКроме того, часто рассматривают и отношение Найти элементы прямоугольного треугольникаЗаметим, что Найти элементы прямоугольного треугольника— первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Найти элементы прямоугольного треугольника

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Найти элементы прямоугольного треугольника(или Найти элементы прямоугольного треугольника

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Найти элементы прямоугольного треугольникас помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Найти элементы прямоугольного треугольникаи провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Найти элементы прямоугольного треугольника

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Найти элементы прямоугольного треугольникаПоскольку по построению Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольникапо определению золотого сечения. Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольникаУбедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Найти элементы прямоугольного треугольникаРассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникабиссектриса. Тогда Найти элементы прямоугольного треугольникапо двум углам. Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольникат. е. треугольник Найти элементы прямоугольного треугольника— золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Найти элементы прямоугольного треугольникато такой треугольник подобен треугольнику Найти элементы прямоугольного треугольникат. е. имеет углы Найти элементы прямоугольного треугольника

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Найти элементы прямоугольного треугольникаДля доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Найти элементы прямоугольного треугольникаследовательно, треугольники Найти элементы прямоугольного треугольникаявляются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 188, в). Полученный прямоугольник Найти элементы прямоугольного треугольника— золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Найти элементы прямоугольного треугольника
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Найти элементы прямоугольного треугольникатогда Найти элементы прямоугольного треугольникаНеограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Найти элементы прямоугольного треугольника

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Найти элементы прямоугольного треугольникаприближенно может быть выражено дробями Найти элементы прямоугольного треугольникатак называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Найти элементы прямоугольного треугольникав правом — от Найти элементы прямоугольного треугольникаМежду этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника(или косинусы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника

2-й — тангенсы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника(или котангенсы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника

3-й — котангенсы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника(или тангенсы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника

4-й — косинусы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника(или синусы углов от Найти элементы прямоугольного треугольника

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Найти элементы прямоугольного треугольникаПоскольку Найти элементы прямоугольного треугольниканайдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Найти элементы прямоугольного треугольникав ней соответствует число 0,423. Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

2) Определим Найти элементы прямоугольного треугольникаПоскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать: Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Найти элементы прямоугольного треугольникаи Найти элементы прямоугольного треугольника. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Найти элементы прямоугольного треугольника. Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, то из формулы Найти элементы прямоугольного треугольникаполучим следующие формулы:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см — прямоугольный, поскольку Найти элементы прямоугольного треугольника. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет Найти элементы прямоугольного треугольникагипотенуза AD= 10 см.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Пусть ВС — перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 415), тогда Найти элементы прямоугольного треугольникаили АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Найти элементы прямоугольного треугольникаПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Найти элементы прямоугольного треугольника. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а — противолежащий углу а, катет b — прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • — отношение Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • — отношение Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • — отношение Найти элементы прямоугольного треугольникаобозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Найти элементы прямоугольного треугольника

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Найти элементы прямоугольного треугольника

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Найти элементы прямоугольного треугольника

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Найти элементы прямоугольного треугольника-два прямоугольных треугольника, в которых Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 442). Тогда Найти элементы прямоугольного треугольникапо двум углам (Найти элементы прямоугольного треугольника). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Найти элементы прямоугольного треугольника

Из этих равенств следует:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы — равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Найти элементы прямоугольного треугольника.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB — 90° — а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникаСравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° — а), cos а = sin (90° — а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° — а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Найти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC — равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Найти элементы прямоугольного треугольника

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Найти элементы прямоугольного треугольникакак катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Найти элементы прямоугольного треугольника

ТогдаНайти элементы прямоугольного треугольника

Найти элементы прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Найти элементы прямоугольного треугольника

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Найти элементы прямоугольного треугольника

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус — увеличивается. Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Найти элементы прямоугольного треугольникаКак вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Найти элементы прямоугольного треугольника0,8796 нашли Найти элементы прямоугольного треугольника28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Найти элементы прямоугольного треугольника28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом — от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов — «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние — больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Найти элементы прямоугольного треугольника0,559, cos67° Найти элементы прямоугольного треугольника0,391, sin85° Найти элементы прямоугольного треугольника0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Найти элементы прямоугольного треугольника0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом — значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Найти элементы прямоугольного треугольника0,344. Если tg Найти элементы прямоугольного треугольника0,869, то Найти элементы прямоугольного треугольника41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник — это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Найти элементы прямоугольного треугольника.

Тогда Найти элементы прямоугольного треугольника(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Найти элементы прямоугольного треугольника. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Найти элементы прямоугольного треугольника

Почленно вычитаем полученные равенства: Найти элементы прямоугольного треугольника

Отсюда Найти элементы прямоугольного треугольника

Следовательно, Найти элементы прямоугольного треугольника

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Найти элементы прямоугольного треугольника

Пусть результаты измерения следующие: Найти элементы прямоугольного треугольника

Тогда Найти элементы прямоугольного треугольника

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

Провешиваем прямую Найти элементы прямоугольного треугольникаи отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Найти элементы прямоугольного треугольника

Тогда АВ = Найти элементы прямоугольного треугольника

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Найти элементы прямоугольного треугольника, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольникаТогда Найти элементы прямоугольного треугольника

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Найти элементы прямоугольного треугольника(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Найти элементы прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника ABD:

Найти элементы прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника Найти элементы прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника BDC:Найти элементы прямоугольного треугольникаНайти элементы прямоугольного треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.

Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18Скачать

Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18

Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольника

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике

Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс
Поделиться или сохранить к себе: