Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Через точку не лежащую вне окружности можно провестиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Через точку не лежащую вне окружности можно провестиСвойства хорд и дуг окружности
Через точку не лежащую вне окружности можно провестиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Через точку не лежащую вне окружности можно провестиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Через точку не лежащую вне окружности можно провестиТеорема о бабочке

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Через точку не лежащую вне окружности можно провести
  7. Теория и практика окружности
  8. Аналогично в каждом отрезке присутствует точка, вне окружности (О).
  9. Задача №1. Дано на рисунке:
  10. Достаточно вспомнить свойства центральных и вписанных углов.
  11. Ответ: 39°
  12. Задача №2. Дано на рисунке:
  13. Найти нужно меньшую дугу BD
  14. Ответ: 100°
  15. Найти меньшую дугу ВС
  16. Ответ: 114°
  17. Задача №4. Дано на рисунке:
  18. Найти отрезок МК
  19. Ответ: МК = 15.
  20. Задача №5. Дано на рисунке:
  21. Попробуй найти подобные треугольники
  22. Ответ: 6
  23. Задача №5. Дано на рисунке:
  24. Без свойства секущей и касательной здесь будет тяжело
  25. Ответ: 12√7.
  26. Я могу долго тебе показывать, как решать задачи, но без твоих усилий ничего не выйдет.
  27. О треугольниках О четырехуголниках
  28. 📽️ Видео

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямой

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
КругЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
РадиусЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
ХордаЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
ДиаметрЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
КасательнаяЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
СекущаяЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
Окружность
Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЧерез точку не лежащую вне окружности можно провестиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЧерез точку не лежащую вне окружности можно провестиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЧерез точку не лежащую вне окружности можно провестиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЧерез точку не лежащую вне окружности можно провестиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЧерез точку не лежащую вне окружности можно провестиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:через точку А, лежащую вне окружности проведены две прямые. Одна прямая касается.. ФИПИСкачать

через точку А, лежащую вне окружности проведены две прямые. Одна прямая касается.. ФИПИ

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЧерез точку не лежащую вне окружности можно провести

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Пересекающиеся хорды
Через точку не лежащую вне окружности можно провести
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Через точку не лежащую вне окружности можно провести
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Через точку не лежащую вне окружности можно провести
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Через точку не лежащую вне окружности можно провести
Пересекающиеся хорды
Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Видео:Через любую точку, лежащую вне окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Через любую точку, лежащую вне окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Тогда справедливо равенство

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Какое из следующих утверждений верно?

1) В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.

2) Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1) «В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов» — неверно, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) «Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой» — неверно, так как сумма смежных углов равна 180°, следовательно, если один из углов прямой, то смежный ему будет тоже прямой.

3) «Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности» — верно по свойству окружности.

Видео:Построение перпендикуляра к прямойСкачать

Построение перпендикуляра к прямой

Теория и практика окружности

Через точку не лежащую вне окружности можно провестиСвойство касательных.

Свойства касательных и секущих.

Площадь, сектор, длина окружности.

Задачи на окружности.

По статистике окружности никто не любит, но при этом леденец любим, солнце любим, давай и окружность полюбим!

Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). На рисунке центр − точка О.

В окружности может быть проведено 3 типа отрезка:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Отрезок, проходящий через две точки окружности, но не через центр, называют хордой (AB).

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (самая большая хорда в окружности − диаметр (D)).

Радиус − отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности. Диаметр в два раза больше радиуса (R).

А также две прямые снаружи от окружности:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Касательная имеет одну общую точку с окружностью. Сразу стоит сказать о том, что радиус, проведенный в точку касания, будет иметь с касательной угол 90°.

Секущая пересекает окружность в двух точках, внутри окружности получается хорда или, в частном случае, диаметр.

Теперь чуть-чуть об углах и дугах:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Он в два раза меньше дуги, на которую опирается.

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, равен дуге на которую опирается.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой (β=β=α/2) и равны половине дуги, на которую опираются.

Градусная мера дуги – величина в °, соответствует центральному углу. Длина дуги равна α.

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

А вот такой угол НЕвписанный, такой угол «никто и звать никак».

Можно сделать вывод, что вписанный угол, который опирается на половину дуги окружности, будет прямым, а также будет опираться на диаметр:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершина которых находится по разные стороны от хорды, составляет в сумме 180°.

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Запишем основные свойства углов в окружности:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Нашел что-то общее?

Если угол находится вне окружности, без разницы, чем он получен (касательной или секущей), то найти его можно через половину разности дуг.

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Если угол находится внутри окружности, то находим его через полусумму дуг.

Если есть одна дуга, которая находится на требуемом угле, то угол равен половине этой дуги.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку О, выполняет равенство:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку O, выполняется равенство:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Согласен, что они похожи, особенно если не смотреть на картинки.
Как не перепутать такие равенства? В каждом отрезке должна присутствовать точка, вне окружности (О).

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Аналогично в каждом отрезке присутствует точка, вне окружности (О).

Если теперь провести две касательные из точки O, то получим такие равные отрезки:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Касательные равны, как, сообственно, и радиусы!

Площадь и длина окружности находятся по формуле:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

По своему определению число π показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра, отсюда такая формула: L = πD

Если хочешь вывести площадь круга, можешь проинтегрировать длину окружности относительно R или вывести зависимость, как сделал Архимед!

Задача №1. Дано на рисунке:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Достаточно вспомнить свойства центральных и вписанных углов.

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Ответ: 39°

Задача №2. Дано на рисунке:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Найти нужно меньшую дугу BD

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Ответ: 100°

Задача №3. Дано на рисунке:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Найти меньшую дугу ВС

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Ответ: 114°

Задача №4. Дано на рисунке:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Найти отрезок МК

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Ответ: МК = 15.

Задача №5. Дано на рисунке:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Попробуй найти подобные треугольники

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Ответ: 6

Задача №5. Дано на рисунке:

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Без свойства секущей и касательной здесь будет тяжело

Через точку не лежащую вне окружности можно провести

Ответ: 12√7.

Я могу долго тебе показывать, как решать задачи, но без твоих усилий ничего не выйдет.

О треугольниках
О четырехуголниках

p.s. Не бойся ошибаться и задавать вопросы!

Если нашел опечатку, или что-то непонятно − напиши.

📽️ Видео

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.

Геометрия 7 класс (Урок№11 - Перпендикуляр к прямой.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№11 - Перпендикуляр к прямой.)

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т4. Перпендикуляр к прямой.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т4. Перпендикуляр к прямой.

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности с центром в точке O, проведены две прямые, однаСкачать

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности с центром в точке O, проведены две прямые, одна

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Построение прямой, параллельной данной

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекаетСкачать

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекает

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика
Поделиться или сохранить к себе: