Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Параллелограмм: свойства и признаки

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

О чем эта статья:

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Признаки параллелограмма

1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАВС и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАDС: АС — общая, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет1 =Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет3 (т.к. по условию АDЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВС, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет1 и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАВС =Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАВ = DC и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет2 = Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет4. Но Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет2 и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАВЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет.

3. Итак, АDЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВС и АВЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетчетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

2. Рассмотрим Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАВС и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАВС =Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет1 = Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет2, при этом Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет1 и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВС, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

1. Рассмотрим Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАОD и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАОD и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВОС (как вертикальные углы), Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАОD =Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетАD = ВC и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет1 = Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет2.

2. Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет1 и Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет1 = Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет2, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетпо признаку параллельности двух прямых АDЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВС.

3. Итак, АD = ВC, АDЕсли в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетВС, Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нетпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Если в четырёхугольнике каждые две противолежащие стороны равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

На рисунке изображён четырёхугольник ABCD, у кото­рого АВ = CD и ВС = AD . Докажем, что четырёх­угольник ABCD — параллелограмм

Проведём диагональ АС. Треугольники ABC и ACD равны по первому признаку равенства тре­угольников. Отсюда

∠1 = ∠3 и ∠ 2 = ∠4 . Углы 1 и 3 являются накрест лежащими при прямых ВС и AD и секущей AC . Следовательно, BC ΙΙ AD . Аналогично из равенства ∠ 2= ∠4 следует, что AB ΙΙ CD .

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD каждые две противолежащие стороны параллельны , поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм

Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет

Докажите теорему:

Если в четырёхугольнике каждые две противолежащие стороны равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Доказательство.

На рисунке изображён четырёхугольник ABCD, у кото­рого АВ =______и ВС =______Докажем, что четырёх­угольник ABCD —__________________________________

Проведём диагональ АС. Треугольники ABC и_________ равны по ___________________ признаку равенства тре­угольников. Отсюда

∠1 = ∠ ______и ∠ 2 =______ Углы 1 и ______ являются ___________________ __при прямых ВС и __ _и секущей_____. Следовательно, _____Если в четырехугольнике два угла прямые то этот четырехугольник параллелограмм да или нет______. Аналогично из равенства ∠ 2= _____ следует, что ____________.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD каждые две противолежащие стороны ____________________________, поэтому этот четырёхугольник — параллелограмм

🔥 Видео

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равныСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике противолежащие стороны равны

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятсяСкачать

Геометрия Признак параллелограмма: Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Доказательство первого признака параллелограмма

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачи

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 класс

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.

Геометрия. 8 класс. Урок 1 ПараллелограммСкачать

Геометрия. 8 класс. Урок 1 Параллелограмм

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 УмскулСкачать

Все типы 24 задание 2 часть ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ 2023 Умскул

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АтанасянСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 8 класс РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Атанасян

Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.

8 класс. Геометрия. Признаки параллелограммаСкачать

8 класс. Геометрия. Признаки параллелограмма

Геометрия. 8 класс. Признаки параллелограммаСкачать

Геометрия. 8 класс. Признаки параллелограмма
Поделиться или сохранить к себе: