Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
Основные понятия:
Центр окружности – это точка, равноудаленная от точек окружности.
Радиус – это расстояние от точек окружности до ее центра (равен половине диаметра, рис.1).
Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (рис.1).
Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности (рис.1).
Касательная – это прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. Проходит через точку окружности перпендикулярно диаметру, проведенному в эту точку (рис.1).
Секущая – это прямая, проходящая через две различные точки окружности (рис.1).
Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен единице.
Дуга окружности – это часть окружности, разделенная двумя несовпадающими точками окружности.
1 радиан – это угол, образуемый дугой окружности, равной длине радиуса (рис.4).
1 радиан = 180˚ : π ≈ 57,3˚
Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается (рис.2).
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Равен половине градусной меры дуги, на которую опирается (рис.3).
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.
Длина окружности и площадь круга:
Обозначения:
Длина окружности – C
Длина диаметра – d
Длина радиуса – r
Значение π:
Отношение длины окружности к длине ее диаметра обозначается греческой буквой π (пи).
Формула длины окружности:
C = πd, или C = 2πr
Формулы площади круга:
Площадь кругового сектора и кругового сегмента.
Круговой сектор – это часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
Формула площади кругового сектора:
πR 2
S = ——— α
360
где π – постоянная величина, равная 3,1416; R – радиус круга; α – градусная мера соответствующего центрального угла.
Круговой сегмент – это общая часть круга и полуплоскости.
Формула площади кругового сегмента:
πR 2
S = ——— α ± SΔ
360
где α – градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента; SΔ — площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.
Знак «минус» надо брать, когда α 180˚.
Уравнение окружности в декартовых координатах x, y c центром в точке (a;b):
Окружность, описанная около треугольника (рис.4).
Если от середины каждой из сторон треугольника провести перпендикуляры, то точка их пересечения будет центром окружности, описанной около этого треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник (рис.5).
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
Углы, вписанные в окружность (рис.3).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Основные понятия:
Угол делит плоскость на две части. Каждая из этих частей называется плоским углом.
Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Плоский угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом (рис.2)
Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S, то
Если из точки P к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность соответственно в точках A, B и C, D, то
Частные случаи и формулы:
1) Из точки C, находящейся вне окружности, проведем касательную к окружности и обозначим точку их соприкосновения буквой D.
Затем из той же точки C проведем секущую и точки пересечения секущей и окружности обозначим буквами А и B (рис.8).
CD 2 = AC · BC
2) Проведем в окружности диаметр AB. Затем из точки C, находящейся на окружности, проведем перпендикуляр к этому диаметру и обозначим получившийся отрезок CD (рис.9).
CD 2 = AD · BD.
Видео:PRO геометрические места точекСкачать
Всё про окружность и круг
Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2
Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.
Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.
Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.
Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора: P = s + 2R.
Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Урок 31 Бесплатно Окружность и круг
Плоской геометрической фигурой называют множество точек на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.
Точка и прямая — это основные, базовые геометрические фигуры.
Самыми простыми геометрическими фигурами являются луч, отрезок, ломаная прямая и др.
Объединение нескольких геометрических фигур так же является геометрической фигурой.
Так, например, часть плоскости, ограниченная замкнутой ломанной линией, называют многоугольником.
Нам уже хорошо известны такие многоугольники, как треугольник, квадрат, прямоугольник и другие.
Существуют геометрические фигуры, отличные от многоугольников, образованные замкнутой кривой линией.
К таким фигурам относятся круг и окружность.
Сегодня на уроке постараемся выяснить, что такое окружность, а что называют кругом.
Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, в чем их сходство и различие, рассмотрим, какими свойствами они обладают.
Разберем правило построения окружности и круга на плоскости.
Видео:Три точки, задающие окружностьСкачать
Окружность и круг
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Многие из вас слышали такие устойчивые выражения и научные понятия:
«Круглый отличник»- учащийся, который имеет только отличные оценки.
«Круглый стол»- собрание заинтересованных сторон, целью которых является обсуждение проблемной ситуации, вопроса.
Все участники такого собрания высказывают свое мнение по рассматриваемому вопросу, выслушивают чужую точку зрения.
Участники круглого стола имеют равные права.
Считают, что выражение «собраться за круглым столом» произошло из мифологии старой Британии.
По легендам король-воин Артур был окружен свитой доблестных и отважных рыцарей.
Все заседания и пиршества рыцарей проходили за большим круглым столом, за которым рыцари были равны между собой и перед своим королем.
Круглый стол был символом равенства и братства.
«Круговая порука» — групповая (равноправная) ответственность всех членов коллектива за исполнение установленных обязательств каждого из его членов.
В раннем средневековье круговая порука заключалась в ответственности всей общины за правонарушение, совершенное одним из его членов или на территории этой общины.
В крестьянской общине круговая порука обязывала крестьян к совместной имущественной ответственности по уплате податей и налогов.
«Ходить по кругу» означает выполнять различные действия и операции, постоянно возвращаясь к исходному результату (в начальную точку), другими словами, это бесполезный поиск выхода из сложившейся ситуации.
«Круглое число»- это число, оканчивающееся на нуль, например, 120, 30, 650 и т.д.
Существует мнение, что такие числа стали называть круглыми, так как нуль, на который оканчивалось число, имеет округлую форму (похож на круг).
«Малый и большой круги кровообращения»- это замкнутая сосудистая система, обеспечивающая непрерывный ток крови в организме, несущий клеткам питание и осуществляющий газообмен в них.
«Круговорот воды в природе»- это непрерывное циклическое перемещение воды в географической оболочке Земли, которое базируется на двух взаимосвязанных процессах: увлажнение земной поверхности и испарение из нее влаги в атмосферу.
Все перечисленные примеры устойчивых выражений и научных понятий имеют нечто общее, их объединяет слово «круг».
Причем можно заметить, что многие из них несут смысл цикличности (повторяемости), равенства, бесконечности.
Давайте выясним, что же такое окружность и круг с математической точки зрения.
Окружность- это замкнутая кривая, все точки которой удалены на одинаковые расстояния от заданной точки, называемой центром окружности.
Центр окружности— это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки окружности.
Обозначается центр окружности обычно заглавной буквой О.
Окружность делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.
Чтобы получить полное представление о том, как выглядит окружность, можно обвести карандашом стакан или блюдце, или намочить водой край стакана и поставить его вверх дном, оставшийся след и будет окружностью.
Известно, что все окружающие нас тела имеют некоторый объем. Сама окружность не имеет объема и даже площади, однако окружность может являться математической моделью реальных объектов, например, обруча, кольца и т.д.
Круг— это внутренняя часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круг- плоская геометрическая фигура.
Так как круг- это часть плоскости, то фигура имеет площадь.
Наглядно представить круг можно, закрасив внутреннюю область, ограниченную окружностью, или вырезав его из бумаги по контуру окружности.
Особенность формы круга и окружности заключается в том, что у данных фигур отсутствуют прямые линии, отрезки и углы.
В каждой точке окружность устроена одинаково и представляет собой бесконечную линию без начала и конца, будто движется непрерывно сама по себе.
Благодаря своей форме окружность и круг являются с древних времен символом бесконечности, цикличности, знаком единства и совершенства.
Движение по кругу выражает идею вечности, возвращение к самому себе, к первоначальному состоянию.
Так, например, циферблат часов и круговая шкала на компасе олицетворяют эту идею.
Циферблат механических часов представляет собой пластину — панель со шкалой чаще всего круглой формы.
Окружность циферблата разделена на 12 равных больших деления, каждое такое деление равняется одному часу.
Между каждым большим делением находится по 5 маленьких делений. Итого по окружности равномерно распределены 60 делений, соответствующие минутам и секундам.
Стрелки, закрепленные в центре циферблата, вращаясь по кругу, указывают часы, минуты, секунды.
В античном мире время определяли по Солнцу.
Самыми первыми часами, по которым можно было определять примерное время, были солнечные часы.
Устройство представляло собой круг с начертанными по окружности делениями и наклонным стержнем в центре.
Время по таким часам определяли по положению тени на циферблате от наклонного стержня.
Циферблат располагали так, чтобы тень от стержня в полдень была направлена на север.
Тень перемещалась по циферблату вслед за Солнцем и меняла свою длину с каждым часом.
Солнечные часы работали при ясной погоде и днем, указывая время только в часах.
Круговую шкалу можно увидеть на другом измерительном приборе- компасе.
Компас- это устройство, которое позволяет ориентироваться на местности по магнитным полюсам Земного шара и сторонам света.
Шкала компаса представляет собой диск, на который нанесены по кругу метки и цифры.
Круговая шкала компаса называется лимб.
Магнитная стрелка, закрепленная в центре компаса, может свободно вращаться по кругу, поворачиваться в определенном направлении, реагируя на магнитное поле Земли.
Компас показывает неверные данные в том случае, если поблизости есть магниты или месторождения железа и другие подобные материалы, обладающие магнитными свойствами.
Считается, что компас был изобретен в 200 г. до н.э. в Китае.
В Европе компас появился гораздо позже, лишь в XII в. н.э.
Долгое время правила навигации по компасу было таинственно-загадочным для многих, а секрет использования прибора знали только избранные.
Окружность (круг) является моделью еще одного величайшего человеческого изобретения- колеса.
Все полезные свойства колеса основаны на геометрии окружности (круга).
Колесо- это устройство круглой формы, которое может вращаться вокруг своей оси.
До изобретения колеса люди волоком по земле перемещали грузы.
Чтобы облегчить эту работу, груз укладывали на бревна или деревянные полозья и запрягали в них животных.
При этом почву обильно поливали водой, облегчая тем самым скольжение.
Был хорошо известно, что перемещать круглые предметы по земле легче, чем тащить груз волоком или просто толкать его по земле.
Первые изобретенные колеса были сплошными, полностью состояли из глины и мели большой вес.
Использовали эти колеса в гончарном деле.
Позже такое колесо стали использовать для транспортировки груза, прикрепляя колесо к некоторой платформе.
Затем колесо стало деревянным (использовали срез бревна, позже применяли три доски, соединенные деревянной поперечиной).
Деревянные колеса быстро истирались, и их стали обивать металлическим ободом, но такие колеса были громоздкими и тяжелыми.
Чтобы облегчить колесо, в нем делали прорези.
В конечном счете колесо стало выглядеть как обод со спицами, сходящимися к центру колеса, обеспечивая тем самым прочность конструкции.
Вместо металлической оковы стали использовать резину для лучшей амортизации колеса.
Колеса претерпевали различные изменения. Совершенствуются они и по сей день, однако форма этого устройства в виде круга остается неизменной.
Изобретение колеса стало мощным толчком в развитии техники.
Колесо явилось основой для многих изобретений: мельницы, прялки, различных транспортных средств, зубчатого колеса и др.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
🎦 Видео
Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать
10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
Уравнение окружности (1)Скачать
7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Геометрическое место точек окружность и круг - 7 класс геометрияСкачать
Окружность и треугольникСкачать
Построение окружности по трём точкам.Скачать
Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать
Уравнение окружности. Видеоурок 7. Геометрия 9 классСкачать
Точки на числовой окружностиСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Математика 5 класс (Урок№26 - Окружность и круг. Сфера и шар.)Скачать
№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около мноСкачать
