Если четырехугольник вписан в окружность и его диагонали перпендикулярны

В работе представлены основные теоремы и свойства о вписанном четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями(с доказательствами)

Просмотр содержимого документа
«Проектно-исследовательская работа по теме: Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.»

Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Выполнила учащиеся 8 класса :

Проверила учитель математики:

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда,когда равны суммы квадратов его противолежащих сторон.

Пусть точка Р — точка пересечения диагоналей четырехугольника.

Введем обозначения длин сторон(рис 1а)

1)Применяя теорему Пифагора в каждом из четырех прямоугольных треугольников (рис 1а),получим,что АР 2 + BP 2 =a 2 ;СР 2 +ДР 2 =с 2 ;ВР 2 +СР 2 =b 2 ;АР 2 +ДР 2 =d 2 .

Следовательно,a 2 +c 2 =b 2 +d 2 .

2)Признак.Пусть диагонали четырехугольника

Проведем перпендикулярны BK и DM

к диагонали АС.Тогда a 2 -b 2 =

d 2 -c 2 =АМ 2 -СМ 2 =(АМ+СМ)(АМ-СМ)=

АС(АМ-СМ).Так как a 2 +c 2 =b 2 +d 2

a 2 -b 2 =d 2 -c 2 ,то AK-CK=AM-CM

Это равенство выполняется только

в случае,если точки К и М совпадают,то

есть диагонали АС и ВД этого четырехугольника

Доказательство аналогично для невыпуклого

четырехугольника.

Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Вписанный в окружность четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями обладает рядом замечательных свойств.

Приведем несколько задач.

Суммы градусных мер дуг,стягиваваемых противоположными сторонами четырехугольника,равны и составляют 180 0 .

По условию АС ВД,значит, треугольник РДС

прямоугольный(рис 2) и  РСД+ РДС=90º.

По свойству вписанных углов получим,что

дуги АmД + BnC =180º. Аналогично доказываем,

что дуги ApB+DkC=180º.

2)Сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной около четырехугольника окружность.

Проведем диаметр описанной окружности через одну из вершин четырехугольника,например диаметр DM(рис 3), и соединим точку М с вершинами А и С.Поскольку дуги ͜ DmA+

͜ BnC=180º(см задачу 1) и ͜ DmA + ͜ AlM=180º,то дуги AlM=BnC,а отсюда АМ=ВС.

Из прямоугольного треугольника МАD(MAD =90º) имеем AD 2 +AM 2 =DM 2 ,то есть AD 2 +BC 2 =4R 2 .

Площадь четырехугольника равна полусумме произведений противоположных сторон.

К тому же выводу придем,применив теорему Птолемея:

Поскольку АС ┴ ВD,то S =1/2AC∙BD,а тогда S=1/2(AD∙BC+AB∙DC).

Если четырехугольникABCD вписан в окружность, то произведение его

диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

Проведем из точки B отрезок BE до пересечения с диагональю AC таким образом, чтобы CBE = ABD. Углы BCЕ и BDA равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AB. Тогда треугольники ABD и СBЕ подобны (по двум углам). Отсюда следует, что и, следовательно, далее имеем:

AD . BC = BD . CE. (2)

Подобны также треугольники ABE и DBC, так как ABE = DBC и BAE = BDC.

Отсюда следует, что и затем имеем:

AB . CD = BD . AE. (3)

Сложим соответственно левые и правые части равенств (2) и (3). Получим

AD . BC + AB . CD = BD . CE + BD . AE или

AD . BC + AB . CD = BD . (CE + AE) , то есть

AD . BC + AB . CD = BD . AC, что и требовалось.

Замечание. К этому же можно прийти, введя другие обозначения.

Если АВ = ВС = СD = DА = АС = ВD = , то выберем на диагонали АС точку Е так, чтобы угол СВЕ был равен .

Тогда треугольники СВЕ и DВА подобны.

Из подобия треугольников АВЕ и DВС (углы АВЕ и DВС равны как равносоставленные) получаем АЕ :

Значит, ЕС = АЕ = АЕ + ЕС =АС,

Теорема Птолемея доказана. ◄

(Справедлива и теорема, обратная теореме Птолемея).

4)Если вписанный четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали,пересекающиеся в точке М,то прямая,проходящая через точку М и перпендикулярная одной из его сторон,делит противовоположную ей сторону пополам.

Упражнения и задачи для самостоятельного решения

1 Докажите, что если четырехугольник АВСD с перпендикулярным диагоналям вписан в

окружность с центром О, то АОВ + СОD = 180.

2 Докажите, что во вписанном четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями

расстояние от центра описанной окружности до стороны равно половине противолежащей

3)Диагонали четырехугольника АВСD,вписанного в окружность радиуса R,

перпендикулярны и пересекаются в точке Р. а) Докажите, что AP 2 + BP 2 + CP 2 + DP 2 = 4R 2 .

б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника АВСD.

Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны

Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.

Дано:

ABCD — вписанный четырёхугольник,

Доказать: AD² +BC² = d²

Радиус и диаметр описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

где α — угол, противолежащий стороне a.

Для вписанного треугольника ABD

Для треугольника ABC —

Обозначим точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD как F.

В прямоугольном треугольнике ABF по определению синуса и косинуса

Что и требовалось доказать.

Проведём диаметр AK, AK=d.

Рассмотрим треугольник ADK.

В прямоугольном треугольнике ABF ∠BAF=90°-∠ABF=90°-∠ABD=90°-∠AKD=∠KAD.

Таким образом, ∪KD=2∠KAD, ∪BC=2∠BAC, ∠BAC=∠KAD. Поэтому ∪KD=∪BC.

Так как дуги равны, то они стягивают равные хорды, то есть KD=BC.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Вписанные четырехугольники и их свойства

Теорема Птолемея

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Фигура	Рисунок	Свойство
Окружность, описанная около параллелограмма		Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба		Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции		Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида		Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
	Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
	Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
	Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
	Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник

Окружность, описанная около параллелограмма

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

📸 Видео