Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордСвойства хорд и дуг окружности
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордТеорема о бабочке

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
КругОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
РадиусОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
ХордаОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
ДиаметрОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
КасательнаяОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
СекущаяОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Окружность
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеОтношения отрезков в окружности пересекающихся хордДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыОтношения отрезков в окружности пересекающихся хордЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныОтношения отрезков в окружности пересекающихся хордБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиОтношения отрезков в окружности пересекающихся хордУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыОтношения отрезков в окружности пересекающихся хордДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаОтношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Пересекающиеся хорды
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
Пересекающиеся хорды
Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Тогда справедливо равенство

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:теоренма об отрезках пересекающихся хордСкачать

теоренма об отрезках пересекающихся хорд

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Теорема о пероизведении отрезков пересекающихся хордСкачать

Теорема о пероизведении отрезков пересекающихся хорд

Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Доказать : AF ∙ FB=CF ∙ FD

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Что и требовалось доказать .

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордДано : окружность (O; R), R=14 см, AB — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Проведём через точку M диаметр CD.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордПо свойству отрезков пересекающихся хорд:

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хордДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

Видео:11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Теорема о пересекающихся хордах

Теорема о пересекающихся хордах. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Рассмотрим треугольники AOC и DOB.

(как опирающиеся на дугу BC).

Отсюда – что и требовалось доказать.

Видео:Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

  • Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
  • Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
  • Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд
  • Отношения отрезков в окружности пересекающихся хорд

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

🌟 Видео

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Математика ОГЭ Задание 24 Отрезки пересекающихся хордСкачать

Математика ОГЭ  Задание 24 Отрезки пересекающихся хорд

Пропорциональные отрезки в окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки в окружности. Практическая часть. 9 класс.

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 классСкачать

Свойство пересекающихся хорд окружности. Геометрия 8-9 класс

ОГЭ 2021| Произведение отрезков двух хорд |Скачать

ОГЭ 2021| Произведение отрезков двух хорд |

Произведение отрезков пересекающихся хордСкачать

Произведение отрезков пересекающихся хорд

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Окружность..Отношения между хордами 2.Скачать

Окружность..Отношения между хордами 2.
Поделиться или сохранить к себе: