Высота треугольника является медианой

Высоты, биссектрисы и медианы треугольника

Содержание

Из вершин треугольника к противолежащим от вершин сторонам можно проводить различные отрезки, причем так, чтобы получать «интересные данные» внутри фигуры.

К примеру, отрезок из вершины можно опустить таким образом, что в итоге он «приземлится» ровно посередине противолежащей от вершины стороны. В геометрии существует три подобных отрезка, что задают для треугольника новые геометрические параметры — высота, биссектриса и медиана.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Высота

Высота треугольника является медианой

Пусть нам дан треугольник $bigtriangleup,$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$, образующий при этом перпендикуляр к стороне $AB$. Тогда отрезок $CD$ будет являться высотой треугольника $bigtriangleup$. Аналогичный перпендикуляр можно опустить как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника.

Высота треугольника является медианой

В остроугольном треугольнике — где углы имеют значение $ 90^,$ — провести высоту будет уже не так интуитивно просто.

Осмотрите треугольник $bigtriangleup$ выше, с тупым углом $angle$.

Итак, нам необходимо провести высоту из вершины $K$ к стороне $PM$. Подумайте, как будет располагаться отрезок, выполните чертеж и сравните свои предположения со скрытым чертежом.

Высота треугольника является медианой

Пересечение высот в треугольнике

Высота треугольника является медианой

Выходит, что в остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке, расположенной строго внутри треугольника — никаких дополнительных построений не требуется. Однако в тупоугольном треугольнике высоты пересекаются в точке, расположенной вне треугольника — чтобы эту точку получить, необходимо достраивать продолжение сторон. Так, в случае с нашим тупоугольным треугольником, высоты пересекаются в точке $O$ — внимание на изображение выше.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Биссектриса

Высота треугольника является медианой

Пусть нам дан треугольник $bigtriangleup,$ где из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ опущен отрезок $CD$ таким образом, что $angle$ делится отрезком $CD$ на два равных друг другу угла. Тогда отрезок $CD$ будет называться биссектрисой треугольника $bigtriangleup$ (от лат. ‘bi’ — «два», ‘secare’ — «резать»).

По аналогии с высотами, такие же отрезки, делящее угол пополам, можно опустить как из вершины $A$, так и из вершины $B$.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину с противолежащей стороной и делящий при этом угол данной вершины пополам.

Высота треугольника является медианой

В отличие от высоты, биссектриса — понятие, теснее связанное с углом, чем с треугольником, поэтому ряд ее свойств больше определяет геометрию углов, чем геометрию треугольников. Например, одно из таких замечательных свойств связано со смежными углами. Оказывается, что биссектрисы, проведенные из смежных углов, будут образовывать прямой угол. Давайте это докажем!

Теорема о биссектрисах смежных углов. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Высота треугольника является медианой

Доказательство. $angle$ является смежным с $angle$. $OB$ — биссектриса $angle;$ $OD$, соответственно, биссектриса $angle$. По свойству смежных углов известно, что сумма смежных углов равняется $180^$. То есть:

Согласно условию $angle=angle=frac<angle>$, $angle=angle=frac<angle>$. Тогда уравнение выше можно представить в следующем виде:

Разделим обе части уравнения на $2$ и получим: $angle+angle=90^.$ $angle+angle$ равняется $angle$. Теорема доказана .

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Медиана

Высота треугольника является медианой

Наконец, проведем отрезок $CD$ в треугольнике $bigtriangleup$ из вершины $C$ к противолежащей стороне $AB$ таким образом, что сторона $AB$ поделится на два равных друг другу отрезка. Мы получили третий важный отрезок в треугольнике — медиану (от лат. ‘medianus’ — «средний»).

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны.

Медианы, как и биссектрисы с высотами, пересекаются в одной точке внутри треугольника. Исключением является тупоугольный треугольник и его высоты: они пересекаются вне треугольника.

Высота треугольника является медианой

Доказать это, к сожалению, нам пока не по силам, ибо требуется знание нескольких важных теорем, которые мы обязательно изучим в курсе далее. Как только — так сразу. Пока — принять, понять, поверить.

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

Решим задачу!

Высота треугольника является медианой

В $bigtriangleup$ проведена медиана $AD$ к стороне $BC$. Продолжение медианы проходит через точку $E$, расположенную вне треугольника так, что $AD=DE$. Докажите, что треугольники $bigtriangleup$ и $bigtriangleup$ равны.

Дано:

Найти:

Решение . Рассмотрим $bigtriangleup$ и $bigtriangleup$. В них углы $angle$ и $angle$ равны как вертикальные. По заданному условию $AD=DE$. Также имеем равенство сторон $CD=DB$ — по определению медианы: отрезка, делящего противолежащую от угла сторону на два равных отрезка.

Следовательно $bigtriangleup= bigtriangleup$ по первому признаку равенства треугольников: двум сторонам и углу, лежащему между ними.

Видео:17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника является его высотой

Какой вывод можно сделать из того, что медиана треугольника является его высотой?

Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.

Высота треугольника является медианойДано:

CF — высота и медиана

Сначала наметим план доказательства. Что означает, что треугольник равнобедренный? Это значит, что у него две стороны равны. Значит, нам надо доказать, что в ∆ ABC две стороны равны: AC=BC. Равенство сторон следует из равенства треугольников. Следовательно, нам нужно будет доказать равенство двух треугольников. Каких? ∆ AFC и ∆ BFC.

Что нам известно их условия задачи? CF — высота, значит, СF перпендикулярна AB, поэтому углы AFC и BFC — прямые.

Еще знаем, что CF — медиана. Значит, она делит стороны AB на две равные части: AF=BF. Таким образом, два пункта из трех для доказательства равенства треугольников уже есть.

Высота треугольника является медианойВыделим треугольники разными цветами.

Этот прием позволяет увидеть, что сторона СF — общая.

Три пункта есть.

Переходим к записи доказательства.

Рассмотрим ∆ AFC и ∆ BFC.

1) ∠AFC=∠BFC=90º (так как CF — высота треугольника ABC по условию).

2) AF=BF (так как CF — медиана треугольника ABC по условию).

3) Сторона CF — общая.

Следовательно, ∆ AFC = ∆ BFC (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике все высоты и медианы совпадают, то треугольник — равносторонний (каждые две стороны между собой равны, следовательно, равны все три стороны).

Видео:Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | Инфоурок

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Высота треугольника является медианой

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Высота треугольника является медианой

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.

Доказательство

Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC) , (O) – точка пересечения (AD) и (BE) .

Высота треугольника является медианой

(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC) , тогда (DEparallel AB) , значит (angle ADE = angle BAD) , (angle BED = angle ABE) , следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников (ABO) и (DOE) : (dfrac = dfrac = dfrac) .

Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_ = 0,5cdot ACcdot h) .

Высота треугольника является медианой

Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC) , тогда (AD = DC) .

(S_ = 0,5cdot ADcdot h) ,

(S_ = 0,5cdot DCcdot h) .

Так как (AD = DC) , то (S_ = S_) , что и требовалось доказать.

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC) , где (M) – середина гипотенузы (AC) .

Высота треугольника является медианой

Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD) . Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M) , причем (AM=MC=BM=MD) , чтд.

2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC) , то (angle B=90^circ) .

Высота треугольника является медианой

Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta) .

Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ) , то для (triangle ABC) :

(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ) , чтд.

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Высота треугольника является медианой

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac<S_><S_> = dfrac = dfrac]

В итоге (dfrac = dfrac<S_><S_> = dfrac) , откуда (dfrac = dfrac) , что и требовалось доказать.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Высота треугольника является медианой

Доказательство

1) Докажем, что если (KA=KB) , то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK) : они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK) , чтд.

2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB) .
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB) , чтд.

📸 Видео

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы. §7 геометрия 7 классСкачать

РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ. Высоты. Медианы. Биссектрисы.  §7 геометрия 7 класс

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 классСкачать

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника - геометрия 7 класс

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Что такое медиана, биссектриса и высота?Скачать

Что такое медиана, биссектриса и высота?

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

Задачи про медиану, биссектрису и высоту в треугольникеСкачать

Задачи про медиану, биссектрису и высоту в треугольнике

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать

Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольника

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.

3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольникаСкачать

Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Медиана, биссектриса и высота треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, биссектриса и высота треугольника. Геометрия 7 класс.

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника
Поделиться или сохранить к себе: