Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

Признаки параллелограмма
1 0 . Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АDДокажите что четырехугольник авсд параллелограммВС.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

2. Рассмотрим Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАВС и Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАDС: АС — общая, Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм1 =Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм3 (т.к. по условию АDДокажите что четырехугольник авсд параллелограммВС, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммДокажите что четырехугольник авсд параллелограмм1 и Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм3 накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АD и BC секущей АС), Докажите что четырехугольник авсд параллелограммДокажите что четырехугольник авсд параллелограммАВС =Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАDС (по 1 признаку равенства треугольников), Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАВ = DC и Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм2 = Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм4. Но Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм2 и Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм4 накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и секущей АС, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАВДокажите что четырехугольник авсд параллелограмм.

3. Итак, АDДокажите что четырехугольник авсд параллелограммВС и АВДокажите что четырехугольник авсд параллелограмм, т.е. в четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно параллельны, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммчетырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

2 0 . Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АВ = , АD = ВC.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

2. Рассмотрим Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАВС и Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАDС: АС — общая, по условию АВ = , АD = ВC, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммДокажите что четырехугольник авсд параллелограммАВС =Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАDС (по 3 признаку равенства треугольников), Докажите что четырехугольник авсд параллелограммДокажите что четырехугольник авсд параллелограмм1 = Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм2, при этом Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм1 и Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDДокажите что четырехугольник авсд параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДокажите что четырехугольник авсд параллелограммВС, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

3 0 . Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

Доказательство:

Дано: АВСD — четырехугольник, АС и диагонали, АС = О, АО = ОС, = ОВ.

Доказать: АВСD — параллелограмм.

Доказательство:

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

1. Рассмотрим Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАОD и Докажите что четырехугольник авсд параллелограммВОС: по условию АО = ОС, = ОВ, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАОD и Докажите что четырехугольник авсд параллелограммВОС (как вертикальные углы), Докажите что четырехугольник авсд параллелограммДокажите что четырехугольник авсд параллелограммАОD =Докажите что четырехугольник авсд параллелограммВОС (по 1 признаку равенства треугольников), Докажите что четырехугольник авсд параллелограммАD = ВC и Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм1 = Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм2.

2. Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм1 и Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм1 = Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм2, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммпо признаку параллельности двух прямых АDДокажите что четырехугольник авсд параллелограммВС.

3. Итак, АD = ВC, АDДокажите что четырехугольник авсд параллелограммВС, Докажите что четырехугольник авсд параллелограммпо 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия Четырехугольник ABCD и AMKD – параллелограммы (см. рис.). Докажите, что четырехугольникСкачать

Геометрия Четырехугольник ABCD и AMKD – параллелограммы (см. рис.). Докажите, что четырехугольник

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм

Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм? Для этого можно использовать определение либо один из признаков параллелограмма.

1) Четырехугольник является параллелограммом по определению, если у него противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

ABCD — параллелограмм, если

Для доказательства параллельности прямых используют один из признаков параллельности прямых, чаще всего — через внутренние накрест лежащие углы. Для доказательства равенства внутренних накрест лежащих углов можно доказать равенство пары треугольников.

Докажите что четырехугольник авсд параллелограммНапример, это могут быть пары треугольников

2) Четырехугольник является параллелограммом, если у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AO=OC, BO=OD.

3) Четырехугольник является параллелограммом, если у него противолежащие стороны параллельны и равны.

Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AD=BC и AD ∥ BC (либо AB=CD и AB ∥ CD).

Для этого можно доказать равенство одной из тех же пар треугольников.

Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD.

Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.

Это — четыре основных способа доказательства того, что некоторый четырехугольник — параллелограмм. Существуют и другие способы доказательства. Например, четырехугольник — параллелограмм, если сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадрату сторон. Но, чтобы воспользоваться дополнительными признаками, надо их сначала доказать.

Доказательство с помощью векторов или координат также опирается на определение и признаки параллелограмма, но проводится иначе. Об этом речь будет вестись в темах, посвященных векторам и декартовым координатам.

Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом?

Согласно определению,геометрическая фигура параллелограмм является четырехугольником с попарно параллельными противоположными сторонами и равными противолежащими углами. Доказать, что фигура параллелограмм позволяет как определение, так и ее признаки. Применяя на практике эти свойства, можно решать геометрические задачи разной сложности.

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

Видео:№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Видео:Геометрия На рисунке четырехугольник ABCD – параллелограмм, угол BEC = углу DFA. Докажите, чтоСкачать

Геометрия На рисунке четырехугольник ABCD – параллелограмм, угол BEC = углу DFA. Докажите, что

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

  • смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
  • равные отрезки;
  • одинаковые по величине противоположные углы;
  • четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
  • фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
  • равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
  • симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Видео:Геометрия На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AM и CK. Докажите, чтоСкачать

Геометрия На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AM и CK. Докажите, что

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

  • попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
  • попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
  • равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
  • пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
  • МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2

Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

  • Если провести диагональ MP, то она образует треугольники MNP и MPK.
  • Фигуры имеют общую сторону MP, а MN=KP по условию.
  • Поскольку прямая MP пересекает параллельные прямые MN и PK, то образуемые этими прямыми накрест лежащие углы равны.
  • Параллельность других сторон MK и NP при диагонали MP основана на равенстве накрест лежащих углов, поэтому четырехугольник MNPK — параллелограмм.

    Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

    Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

    Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

    Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

    В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

    Видео:Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

    Доказательство первого признака параллелограмма

    Пошаговое доказательство

    Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

    Докажите что четырехугольник авсд параллелограмм

  • Равенство высот НО и ПС следует из соответствия площадей треугольников МНК и МПК, у которых имеется общая сторона МК.
  • Прямые, содержащие высоты НО и ПС, пересекают прямую МК под углом 90 градусов.
  • Точки пересечения лежат на одной и той же стороне относительно МК.
  • Отсюда следует, что МК и НП — параллельны.

    Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

    Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

    Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.

    🎬 Видео

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

    Геометрия На рисунке четырех угольник ABCD – параллелограмм, угол BCP = углу DAE. Докажите, чтоСкачать

    Геометрия На рисунке четырех угольник ABCD – параллелограмм,  угол BCP = углу DAE. Докажите, что

    8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

    8 класс, 4 урок, Параллелограмм

    №950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,Скачать

    №950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,

    №951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

    №951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его

    №383 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB=QD. ДокажитеСкачать

    №383 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB=QD. Докажите

    Геометрия На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что AM = CK. Докажите, чтоСкачать

    Геометрия На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки M и K так, что AM = CK. Докажите, что

    №430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположныеСкачать

    №430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные

    №331. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства.Скачать

    №331. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства.

    8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

    8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

    Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм Определение параллелограммаСкачать

    Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм  Определение параллелограмма

    Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

    Признаки параллелограмма. 8 класс.

    №933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать

    №933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

    №379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведеныСкачать

    №379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены
  • Поделиться или сохранить к себе: