Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
Фигура | Рисунок | Утверждение |
Ромб | В любой ромб можно вписать окружность | |
Квадрат | В любой квадрат можно вписать окружность | |
Прямоугольник | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |
Параллелограмм | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |
Дельтоид | В любой дельтоид можно вписать окружность | |
Трапеция | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
Ромб |
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Свойства вписанных и описанных четырёхугольников
Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.
∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 /2(breve).
∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 /2(breve).
Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.
Отсюда ∠А + ∠С = 360° : 2 = 180°.
Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.
Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно
∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).
Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.
Доказательство. Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?
Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.
Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:
Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме
Из этих двух равенств следует:
но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.
Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D» вне круга (рис. 414).
Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.
2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.
В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.
Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.
Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:
Сложим почленно эти равенства. Получим:
АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,
т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Описанная окружность
Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.
Теорема
Около любого треугольника можно описать окружность. |
Доказательство
Дано: произвольный АВС.
Доказать: около АВС можно описать окружность.
Доказательство:
1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).
Точка О равноудалена от вершин АВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около АВС. Теорема доказана.
Замечание 1
Около треугольника можно описать только одну окружность. |
Доказательство
Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.
Замечание 2
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. |
Доказательство
Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.
Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . |
Доказательство
Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).
Углы В и D — вписанные, тогда по теореме о вписанном угле: В = АDС, D = АВС, откуда следует В + D = АDС + АВС = (АDС + АВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. АDС + АВС = 360 0 , тогда В + D = 360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.
Верно и обратное утверждение:
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность. |
Доказательство
Дано: четырехугольник АВСD, BАD + BСD = 180 0 .
Доказать: около АВСD можно описать окружность.
Доказательство:
Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.
Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.
Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).
ВСD — внешний угол СFD, следовательно, BСD = ВFD + FDE. (1)
Углы ВFD и FDE — вписанные. По теореме о вписанном угле ВFD = ВАD и FDE = ЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: BСD = ВАD + ЕF = (ВАD + ЕF), следовательно, ВСDВАD.
BАD — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле BАD = ВЕD, тогда BАD + BСD(ВЕD + ВАD).
Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. ВЕD + ВАD = 360 0 , тогда BАD + BСD360 0 = 180 0 .
Итак, мы получили, что BАD + BСD180 0 . Но это противоречит условию BАD + BСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.
Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).
По теореме о сумме углов треугольника в ВСF: С + В + F = 180 0 , откуда С = 180 0 — ( В + F). (2)
В — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле В = ЕF. (3)
F и ВFD — смежные, поэтому F + ВFD = 180 0 , откуда F = 180 0 — ВFD = 180 0 — ВАD. (4)
Подставим (3) и (4) в (2), получим:
С = 180 0 — (ЕF + 180 0 — ВАD) = 180 0 — ЕF — 180 0 + ВАD = (ВАD — ЕF), следовательно, СВАD.
А — вписанный, тогда по теореме о вписанном угле А = ВЕD, тогда А + С(ВЕD + ВАD). Но это противоречит условию А + С =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.
Примечание:
Окружность всегда можно описать:
Поделись с друзьями в социальных сетях:
💥 Видео
Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать
Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанная окружность. Доказательства свойствСкачать
Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать
Уроки геометрии. Одно замечательное свойство четырехугольника, описанного вокруг окружности.Скачать
Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать
№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать
11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать
Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать