Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника
КвадратДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника

ТрапецияДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства вписанных и описанных четырёхугольников

Теорема 1 . Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Пусть в окружность с центром О вписан четырёхугольник ABCD (рис. 412). Требуется доказать, что ∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

∠А, как вписанный в окружность О, измеряется 1 /2(breve).

∠С, как вписанный в ту же окружность, измеряется 1 /2(breve).

Следовательно, сумма углов А и С измеряется полусуммой дуг BCD и BAD в сумме же эти дуги составляют окружность, т.е. имеют 360°.

Отсюда ∠А + ∠С = 360° : 2 = 180°.

Аналогично доказывается, что и ∠В + ∠D = 180°. Однако это можно вывести и иным путём. Мы знаем, что сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Сумма углов Аи С равна 180°, значит, на сумму других двух углов четырёхугольника остаётся тоже 180°.

Теорема 2 (обратная). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пусть сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна 180°, а именно

∠А + ∠С = 180° и ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).

Докажем, что около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство. Через любые 3 вершины этого четырёхугольника можно провести окружность, например через точки А, В и С. Где будет находиться точка D?

Точка D может занять только одно из следующих трёх положений: оказаться внутри круга, оказаться вне круга, оказаться на окружности круга.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Допустим, что вершина окажется внутри круга и займёт положение D’ (рис. 413). Тогда в четырёхугольнике ABCD’ будем иметь:

Продолжив сторону AD’ до пересечения с окружностью в точке Е и соединив точки Е и С, получим вписанный четырёхугольник АВСЕ, в котором по прямой теореме

Из этих двух равенств следует:

но этого быть не может, так как ∠D’, как внешний относительно треугольника CD’E, должен быть больше угла Е. Поэтому точка D не может оказаться внутри круга.

Так же доказывается, что вершина D не может занять положение D» вне круга (рис. 414).

Остаётся признать, что вершина D должна лежать на окружности круга, т. е. совпасть с точкой Е, значит, около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

1. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность.

2. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В обоих случаях сумма противоположных углов равна 180°.

Теорема 3. В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. Пусть четырёхугольник ABCD описан около окружности (рис. 415), т. е. стороны его АВ, ВС, CD и DA — касательные к этой окружности.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Требуется доказать, что АВ + CD =AD + ВС. Обозначим точки касания буквами М, N, К, Р, На основании свойств касательных, проведённых к окружности из одной точки, имеем:

Сложим почленно эти равенства. Получим:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ +DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, что и требовалось доказать.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС.

Доказать: около Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Точка О равноудалена от вершин Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАDС, Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС, откуда следует Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАDС + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника(Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАDС + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАDС + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаАВС = 360 0 , тогда Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBАD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВСDвнешний угол Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаСFD, следовательно, Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBСD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВFD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВFD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD и Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаFDE = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBСD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаЕF = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника(Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаЕF), следовательно, Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВСDДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBАD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВЕD, тогда Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBАD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBСDДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника(Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВЕD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВЕD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD = 360 0 , тогда Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBАD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBСDДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBАD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBСDДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника180 0 . Но это противоречит условию Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBАD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника

По теореме о сумме углов треугольника в Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВСF: Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаС + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаF = 180 0 , откуда Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаС = 180 0 — ( Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаF). (2)

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВ = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаЕF. (3)

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаF и Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВFD смежные, поэтому Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаF + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВFD = 180 0 , откуда Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаF = 180 0 — Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВFD = 180 0 — Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаС = 180 0 — (Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаЕF + 180 0 — Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD) = 180 0 — Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаЕF — 180 0 + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольника(Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАDДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаЕF), следовательно, Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаСДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD.

Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаА = Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВЕD, тогда Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаА + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаСДоказательство свойств описанной окружности четырехугольникаДоказательство свойств описанной окружности четырехугольника(Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВЕD + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаВАD). Но это противоречит условию Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаА + Доказательство свойств описанной окружности четырехугольникаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

💥 Видео

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

Окружность, вписанная в четырехугольник

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная окружность. Доказательства свойствСкачать

Вписанная окружность. Доказательства свойств

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Уроки геометрии. Одно замечательное свойство четырехугольника, описанного вокруг окружности.Скачать

Уроки геометрии. Одно замечательное свойство четырехугольника, описанного вокруг окружности.

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольника

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники
Поделиться или сохранить к себе: