Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником необходимо (4 видео)

Виды теорем

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида АВ (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида АВ (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: ( АВ) ().

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы АВ и ВА – взаимообратные, а АВ и – взаимопротивоположные.

1. В следующих теоремах выделим условие и заключение: а) «Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делилось уменьшаемое и вычитаемое»;

б) «Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хоты бы один из его углов был прямым».

Решение: а) Слово достаточно относится к предложению «уменьшаемое и вычитаемое делится на 2», следовательно, это предложение и является условием теоремы. Тогда заключение теоремы – «разность двух чисел делится на 2».

б) В данной теореме есть слово «необходимо», которое относится к предложению «чтобы четырехугольник был квадратом». Значит, это и будет условием данной теоремы. А ее заключением в таком случае будет предложение «один из углов четырехугольника прямой».

2. Сформулируем следующие теоремы в виде «если …, то …»:
а) «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых также перпендикуляр к другой»; б) «Всякий параллелограмм имеет центр симметрии».

Решение: а) Выделим условие и заключение теоремы: «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых» – условие, «перпендикуляр к другой» – заключение. Тогда теорема примет вид: «Если есть перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых, то он является также перпендикуляром к другой прямой».

б) Условие теоремы – «всякий параллелограмм», заключение – «имеет центр симметрии». Нашу теорему тогда можно переформулировать следующим образом: «Если фигура параллелограмм, то она имеет центр симметрии».

3. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм». Сформулируем предложения, являющиеся обратным, противоположным и обратно противоположным.

Решение: Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны». Заключение: «четырехугольник – параллелограмм».

Поменяв местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник – параллелограмм, то две противоположные стороны равны и параллельны», так как данное предложение истинно.

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицаниями, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны не равны или не параллельны, то четырехугольник – не параллелограмм». Это предложение также истинно.

Меняя местами отрицание условия и отрицание заключения, получим истинное предложение, которое является обратно противоположной теоремой: «Если четырехугольник – не параллелограмм, то две противоположные стороны не равны или не параллельны».

Содержание

Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:
Методическая разработка по геометрии «Признак или свойство?»
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
💡 Видео

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Среди следующих предложений укажите истинные; ответы обоснуйте:

а) Число а — натуральное, следовательно, и 15а — натуральное число.

б) Число 15а — натуральное, следовательно, а — натуральное число.

в) Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник.

г) Если в четырехугольнике диагонали равны, то этот четырехугольник — прямоугольник.

д) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы все его углы были равны.

е) Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы все его углы были равны.

Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

Методическая разработка по геометрии «Признак или свойство?»

Видео:№400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Признак или свойство?

Понятия «признак», «свойство» являются одними из фундаментальных в геометрии. Однако в школьных учебниках определения этих понятий практически не встречаются.

Я считаю, что уверенное владение этими понятиями является необходимым условием хорошего знания математики.

Цель статьи — помочь учителю научить ученика свободно и грамотно оперировать понятиями «признак» и «свойство».

Известно, как трудно включаются дети в геометрию на аксиоматическом уровне. Аксиомы, определения, теоремы-признаки, теоремы-свойства. Многие сразу теряют интерес, а это — достаточное условие для дальнейших неудач.

Первое открытие, которое дети могут сделать для себя на уроках геометрии, — это то, что они ничуть не хуже легендарного сыщика Шерлока Холмса и им также по плечу использование дедуктивного метода.

Великий сыщик Шерлок Холмс имел в своем распоряжении громадное количество общих утверждений, которыми он умело пользовался, опираясь на дедуктивный метод – от общего к частному. Так, например, из общего утверждения

«Если человек имеет татуировку в виде якоря, то этот человек – моряк»

И частного рассуждения

«Джон Смит имеет татуировку в виде якоря»,

Холмс делает вывод:

«Джон Смит – моряк».

Здесь общее утверждение есть не что иное, как признак моряка, т.е. только ему присущая черта. В словаре русского языка можно найти определение моряка: «Моряком называется человек, который служит во флоте». Приведенный пример показывает, что определение и признак – разные утверждения.

Подведем итог. Во всяких утверждениях вида «Если А, то этот человек – моряк» А является признаком моряка.

Заметим, что синонимом слова «признак» является слово «примета». И тогда можно вспомнить известные признаки хорошей погоды, плохой погоды.

В качестве домашнего задания следует предложить придумать признаки доброго человека, злого человека, умного человека, сильного человека, красивого человека. Помимо дидактического , ото задание содержит и воспитательное значение, так как затем на уроке, проведя обсуждение придуманных утверждений, вы узнаете, как дети представляют себе добро, зло, ум, силу, красоту т. д.

В утверждении вида «Если человек – моряк, то А» А выражает свойство моряка. Вместо А можно подставить подходящие утверждения, например, «любит море», «умеет вязать морские узлы». Свойство отличается от признака тем, что присуще не только моряку. Но, с другой стороны, если вы встретили моряка, то он обязательно обладает этим свойством.

В качестве домашнего задания можно предложить ребятам выписать в тетради утверждения, которые выражали бы свойства умного человека, скучного человека, доброго человека, сильного человека.

Успешное овладение понятиями признак и свойство – один из главных этапов осмысленного подхода к решению задач.

Для этого на уроках необходимо включать в уроки небольшие логические игры и упражнения, цель которых – научить ребят хорошо разбираться в том, что есть «признак», а что есть «свойство». Вот примеры таких упражнений.

Упражнение 1. Используя слова «признак» или «свойство», назовите следующие утверждения:

«Если человек любит животных, то он добрый».

«Если человек сильный, то сможет подтянуться 20 раз».

«Если человек голодный, то он злой».

«Если человек умный, то он подумает прежде, чем сказать».

Упражнение 2. Сформулируйте в виде «Если …, то…» утверждения:

«В том то и признак настоящего искусства, что оно всегда современно, насущно-полезно» (Ф.Достоевский).

«У всех учеников 7 «Б» класса есть замечательное свойство: они любят математику».

Упражнение 3. Назовите двумя способами, используя слова «свойство» и «признак», утверждение:

«Если человек спортсмен, то он обладает хорошим здоровьем».

«Если человек хорошо играет в шахматы, то он умеет мыслить логически».

Следует довести до понимания ученика, что в одном и том же общем утверждении содержится как признак, так и свойство. Поэтому на первых парах наибольшую ценность представляют задачи, в которых используются и свойство, и признак.

Пусть, например требуется доказать что биссектрисы накрест лежащих углов при параллельных прямых параллельны.

Прямые параллельны, следовательно, надо использовать утверждения вида «Если прямые параллельны, то:», то есть свойства параллельных прямых. Далее, нужно доказать, что биссектрисы параллельны, значит, надо использовать признак параллельных прямых.

Упражнение 4. Назовите углы, которые обладают тем же свойством, что и

а) вертикальные углы; б) смежные углы.

а) углы при основании равнобедренного треугольника, накрест лежащие углы при параллельных прямых, соответственные углы;

б) углы треугольника, внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

В данном упражнении закрепляется понимание того, что свойство – это нечто непременно присущее данному объекту, но подобным свойством могут обладать и другие объекты.

Упражнение 5. Назовите признаки: а) равных углов; б) параллельных прямых; в) равнобедренного треугольника.

Полезно при формулировках теорем-признаков произносить их не только в форме «Если…, то…» , но и в форме «А является признаком В».

Данное упражнение должно сформировать понимание того, что объект может иметь много признаков, и по одному признаку найти все объекты данного вида мы не сможем.

Например, признаком того, что число делится на 2, является его делимость на 4, на 6, на 10. Используя один из этих признаков мы действительно находим числа, которые делятся на 2, но это будут не все такие числа.

Упражнение 6. Приведите пример свойства, которое одновременно является признаком.

Из вышесказанного ясно, что это должно быть уникальное свойство, то есть присущее только этому объекту. Например, свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

Итак, в конце 7 класса надо добиться понимания того, что:

Признаком А являются такие утверждения В, что верно предложение

Свойством А являются такие утверждения В, что верно предложение

Одно и то же утверждение вида

Можно рассматривать как признак В или как свойство А.

На первых уроках геометрии в 8 классе можно сообщить учащимся, что для тех утверждений, которые мы называли признаками и свойствами, в математике используются термины «достаточное условие» и «необходимое условие».

Например, известное свойство вертикальных углов можно сформулировать следующим образом: «Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны» или «Равенство углов является необходимым условием вертикальных углов».

Упражнение 7. Используя термины «необходимо» и «необходимое условие», сформулируйте теоремы о свойстве вертикальных углов, свойствах равнобедренного треугольника.

Возможный ответ: свойство является лишь необходимым условием; следовательно, теорему-свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так:

«Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы углы при его основании были равны».

«Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы его медиана являлась высотой».

Упражнение 8. Используя термин «достаточно», сформулируйте признак равенства треугольников и признак равнобедренного треугольника.

Понятия «необходимое условие», «достаточное условие» очень удобно отрабатывать в процессе изучения темы «Четырехугольники». Эта тема содержит большое число утверждений, которые одновременно являются и необходимыми, и достаточными.

Упражнение 9. Установите, какие из утверждений являются верными, а какие-нет:

а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали делились точкой пересечения пополам;

б) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны;

в) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны.

Ответ: утверждение а) верно.

Рассмотрим подробнее утверждения б) и в). Конечно равенство диагоналей четырехугольника не является достаточным условием для того, чтобы он был прямоугольником, так же как и перпендикулярность диагоналей – лишь необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был ромбом.

Задание к упражнению 9: «Заменить слово в предложениях б) и в) так, чтобы данные утверждения стали верными».

Ответ: вместо слова «четырехугольник» надо поставить слово «параллелограмм».

Упражнение 10. Проверьте, верно ли утверждение:

а) для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равны и точкой пересечения делились пополам;

б) для того чтобы четырех угольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы все его стороны были равны;

в) для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы диагонали были биссектрисами его углов.

Упражнение 11. Вставьте вместо многоточия подходящие по смыслу термины «необходимо», «достаточно» и «необходимо и достаточно».

а) для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, … чтобы его противолежащие углы были равны;

б) для того чтобы диагонали в четырехугольнике были равны, … чтобы он был прямоугольником;

в) для того чтобы четырехугольник был квадратом, … чтобы все его углы были равны.

Ответы: а)необходимо и достаточно; б) достаточно; в) необходимо.

Важным видом упражнений являются упражнения по обратному переводу на язык «Если … , то …».

Упражнение 12. Сформулируйте в виде «Если А, то В» следующие утверждения:

а) Перпендикулярность диагоналей – необходимое условие для того, чтобы четырехугольник был ромбом;

б) «Знать необходимо не затем, чтобы только знать, но для того, чтобы делать» (М.Горький)

Другими словами: знание – необходимое, но недостаточное условие для того, чтобы делать что то полезное.

Итак, если в 7 классе ученики прочно овладели понятиями «признак» и «свойство», то в 8 классе целесообразно введение терминов «необходимо» и «достаточно», поскольку тема «Четырехугольники» представляет немало возможностей для работы с этими терминами.