Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на части так

Презентация разработана с целью подготовки мотивированных учащихся к решению задач повышенной сложности из модуля «Геометрия» ОГЭ по математике, содержит дополнительные сведения по теме «Четырехугольники».

Просмотр содержимого документа
«Выпуклые четырехугольники.Специфика параллелограммов. Специфика трапеций.»

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций

МБОУ СОШ №92 г. Кемерово

Денисова Татьяна Александровна

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны:

Обоснование: найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле

Затем сложить эти площади (свойство 1) или перемножить ( свойство 2).

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

• Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой.

• В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его cторон:

3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны.

• При проведении биссектрисы любого угла

параллелограмма получается равнобедренный

• Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

• Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

• Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.

• Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют

четыре треугольника, два из которых

равновелики, а два других – подобны с

коэффициентом подобия равным отношению

5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S 1 S 2 = S 2 .

6. Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны

(следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой.

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию.

Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию

Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE , параллельную диагонали BD , до пересечения с AD в точке E ; получится треугольник ACE , две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию

Достроить трапецию ABCD до треугольника APD , вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции.

Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.)

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны.

2. По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм .

На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD .

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно 16 см 2 и 9 см 2 . Найдите площадь трапеции.

4. S BAD = S CAD , т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит,

Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB , если

Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника АBЕ.

1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD . Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; S FCB = 0,5· S ABCF

2. S DCB = S FCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит,

3.  AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит,

В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC .

К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE . Найдите площадь четырёхугольника BCEH , если площадь трапеции ABCD равна 36.

По свойству равнобедренной трапеции AC=BD , следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB=BC=CD , треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED .

Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции.

2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC.

Полупериметр треугольника ACF равен

По формуле Герона

• Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка , соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру . Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка , соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD .

• Задачи для самостоятельного решения

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см 2 и 16 см 2 . Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , если AD= =12 см, ВC =24 см. 6. В трапеции ABCD ( AD параллельна BC, AD BC ) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD . Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC .

• Использованные источники

Видео:Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны. Через середины сторон AB и ADСкачать

Презентация к открытому уроку по геометрии «Выпуклые четырёхугольники . Специфика параллелограммов . Специфика трапеций»
презентация к уроку по геометрии (9 класс) по теме

Презентация содержит слайды с заданиями и решением задач к уроку по геометрии в 9 классе » Выпуклые четырёхугольники

Специфика параллелограммов Специфика трапеций «

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Скачать:

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

Видео:Геометрия Диагонали выпуклого четырехугольника равны 8 см и 12 см а угол между ними 30 НайдитеСкачать

Подписи к слайдам:

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций Учитель математики высшей категории Сысуева Ольга Александровна, ГБОУ СОШ№ 22 г.о . Чапаевск, Самарской области

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: O d 1 d 2 α

O d 1 d 2 α S 1 S 2 S 3 S 4 Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны : Обоснование : найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле Затем сложить эти площади (свойство 1) или перемножить ( свойство 2).

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

C D B A s s s s o Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой. Специфика параллелограмма

C D B A b a o a b d 1 d 2 В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его c торон : d 1 2 + d 2 2 = 2(a 2 +b 2 ) Специфика параллелограмма

Специфика параллелограмма 3 . Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны . C D B A

Специфика параллелограмма C D B A При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается равнобедренный треугольник.

Специфика параллелограмма C D B A Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 3 . Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

C D B A Специфика параллелограмма C D B A 5 . Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником. 6. Параллелограмм , диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом. C D B A Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

C D B A s s 1 s s 2 o Специфика трапеций Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции.  OAD

 OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2 , где k = AD : BC = OA : OC = OD : OB .

C D B A s s 1 s s 2 o Специфика трапеций 2. S BAD = S CAD , S ABC = S DBC (как площади треугольников, имеющих c оответственно одинаковые основания и высоты). 3. S OAB = S OCD (т.к. S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD ) . 4. S BAD : S DBC = AD : BC ( S BAD = 0 ,5 · AD·h , S DBC = 0 ,5 · BC·h ) .

C D B A s s 1 s s 2 o Специфика трапеций 5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S 1 S 2 = S 2 . ( S OAD = S 1 =0 , 5·OB·OC·sin α , S OCB = S 2 =0 , 5·OA·OD·sin α , S OAB = S=0 , 5·OA·OB·sin(180° – α )=0 , 5·OA·OB·sin α , S OCD = S=0 , 5·OC·OD·sin(180° – α )=0 , 5·OA·OB·sin α , тогда S 1 S 2 = S 2 ) .

6 . Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны (следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей). C D B A C D B A o 7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой. Специфика трапеций

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию. C D B A Построение 1 Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A E Построение 2 Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE , параллельную диагонали BD , до пересечения с AD в точке E ; получится треугольник ACE , две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции AE = AD + DE . При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE : S ABCD = S ACE

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию C D B A H 1 H 2 C D B A P Построение 4 Достроить трапецию ABCD до треугольника APD , вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции. Построение 3 Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH 1 и CH 2 .

Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. O A D C B K P T H

Решение . Точки K , Р , Т , Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и В D – диагонали четырёхугольника ABCD . O A D C B K P T H По условию КТ = РН ; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями В D и АС тоже прямой, а значит, S ABCD = 0 ,5· В D· АС = 0 ,5 · 3 · 4 = 6. Ответ: 6. 2 . По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали В D и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм .

Задача №2. (ФИПИ 2014г.) На стороне В C параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и В D пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКС D равна 10. Найдите площадь треугольника АР D . C D B A K P

C D B A K P Решение .  A В D =  CDB (по трём равным сторонам). S A В D = S CDB = 0 ,5· S A В CD = =0,5·24=12; S КР B = S CDB – S PKCD = 12 – 10 = 2 2 .  APD

 KPB (по двум равным углам); S A Р D : S KPB = k 2 ; AP= k·PK , DP= k·PB 3 .  A В P и  В PK имеют общую высоту из вершины В , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S A В P : S KPB = А P : PK = k (из п.2 ) 4 .  APD и  ABP имеют общую высоту из вершины A , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S AP D : S A В P = DP : PB = k (из п.2 )

C D B A K P 5. Из п.3 и п.1 S A В P = k·S KPB = 2k 6. Из п.4 и п. 5 S APD = k·S ABP = k·2k = 2 k 2 S ABD = S A В P + S APD = 2k + 2 k 2 . Из п. 1 следует 2k + 2 k 2 = 12. Корни уравнения k 2 + k – 6 = 0 числа – 3 и 2; по смыслу задачи k = 2 . 8. S APD = 2 k 2 = 2·2 2 = 8 . Ответ: 8 .

C D B A s s 1 s s 2 o Задача №3. (МИОО 2013г.) Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников O А D и OC В равны соответственно 16 см 2 и 9 см 2 . Найдите площадь трапеции.

C D B A s s 1 s s 2 o  A ВО и  СВО имеют общую высоту из вершины В , значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. S A ВО : S C ВО = ОА : О C = 4:3 (из п.2 ). Следовательно, S A ВО = Решение . По условию S OAD не равна S OCB , значит, AD и BC – основания трапеции ABCD . 2.  OAD

 OCB (по двум равным углам ), S OAD : S OCB = k 2 =16:9, где k = 4:3 = OA : OC .

C D B A s s 1 s s 2 o 4. S BAD = S CAD , т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит, S OAB = S ABC – S OBC = S DBC – S OBC = S OCD , т. е. S OCD = S OAB = 12 . 5. S A В CD = S OAD + S OCB + S OCD + S OAB = 16 + 9 + 12 +12 = 49 c м 2 . Ответ: 49 c м 2 .

K P N A o M B Задача №4. (МИОО 201 0 г.) Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB , если MP =40 см, NK =24 см.

K P N A o M B 2. Δ AMO

Δ NMK по двум углам: а) ∠ М общий; б) ∠ MAO = ∠ MNK как соответственные при AO параллельной NK и секущей MN . Решение . Δ MOP

Δ KON по двум углам: а ) ∠NOK=∠MOP как вертикальные б ) ∠PMO=∠NKO как внутренние накрест лежащие углы при NK параллельной MP и секущей MK.

K P N A o M B 3. Аналогично 4. AB = 30 см . Ответ: 30 см.

Задача №5. (МИОО 2013г.) В трапеции ABCD на диагонали BD выбрана точка Е так, что Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника А B Е. C D B A F E

Решение . 1 . Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD . Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; S FCB = 0 ,5· S ABCF C D B A F E

3.  A В E и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую к AB . Значит, S АВЕ = 0 ,5· S ABCF = S DCB = 15. Ответ: 15. C D B A F E 2. S DCB = S FCB ( как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции ) . Значит, S DCB = S FCB = 0 ,5· S ABCF = 15.

Задача № 6 (МИОО 2013г.) В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC . К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE . Найдите площадь четырёхугольника BCEH , если площадь трапеции ABCD равна 36. D A B N C M H E

D A B N C M H E Решение . По свойству равнобедренной трапеции AC=BD , следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB=BC=CD , треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED . Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, c ледовательно , прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

D A B N C M H E Площадь трапеции ABCD : Ответ: 9 .

Задача № 7 . Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции. C D B A F K L M Решение . 1 . Дополнительное построение: СМ параллельна KL , CF параллельна BD . 2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5· BC , DF = BC , AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5· BC. 3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

C D B A F K L M Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF . Тогда S ABCD = 0 , 5· ( AD+BC ) ·h = 0 , 5· ( AD+DF ) ·h = 0 , 5·AF·h = S ACF =6. Ответ: 6 . По формуле Герона Полупериметр треугольника ACF равен

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABC Т длина отрезка , соединяющего середины сторон AB и C Т, равна одному метру . Прямые B Т и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка , соединяющего середины диагоналей AC и B Т. 3. На стороне В C параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и В D пересекаются в точке Р . Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКС D равна 31. Найдите площадь треугольника АР D . Зад а чи для самостоятельного решения Ответ: 20. Ответ: 1 метр . Ответ: 25.

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О . Площади треугольников А OD и В OC равны соответственно 25 см 2 и 16 см 2 . Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD , проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка Е F , если AD= = 12 см, В C =24 см. 6. В трапеции ABCD ( AD параллельна BC , AD > BC ) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD . Площадь треугольника АВ C равна 10. Найдите площадь треугольника D Е C . Задачи для самостоятельного решения Ответ: 81 см 2 . Ответ: 16 см. Ответ: 10.

 А.С. Зеленский , И.И. Панфилов «Геометрия в задачах». Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, 2008.  И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013.  Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ  http://pedsovet.su/load/321  http://www.mathvaz.ru/  http://alexlarin.net/ Использованные источники

Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь выпуклого четырехугольника с перпендикулярными диагоналямиСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Презентация подготовлена к уроку геометрии в 8 классе по теме «Площади четырёхугольников». Урок проводился в математическом классе и успели разобрать весь материал, представленный в презентации. После.

Презентация к уроку геометрии по теме «Площадь параллелограмма»

Урок изучения нового материала с использованием слайдовой презентации и видеоролика с доказательством теоремы о площади параллелограма.

Презентация к уроку геометрии в 8 классе по теме: «Параллелограмм и трапеция»

На готовых чертежах можно показать прилежащие и противолежащие стороны и углы; найти их величину, используя свойства фигур. Можно использовать презентацию как при объяснении, так и при повторении мате.

Бинарный урок по геометрии и информатике «Параллелограмм и трапеция»

Урок-обобщение по геометрии «Параллелограмм и тапеция» с использованием ПК и интерактивной доски для 8 класса.

Презентация к уроку «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции»

Презентация содержит материал для повторения и подготовки к ГИА. В ней представлены задачи диагностических работ прошлых лет по данной теме.

Презентация к уроку по геометрии в 8 классе «Площадь трапеции»

Геометрия – древняя наука, она и возникла на основе практической деятельности людей и служила преимущественно практическим целям. Мы много изучаем теоретический материал для то.

Презентация к уроку геометрия 8 класс : » Площадь параллелограмма»

Презентация к уроку геометрия 8 класс : » Площадь параллелограмма&quot.

Видео:№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

Презентация «Выпуклые четырёхугольники. Специфика параллелограммов. Специфика трапеций» 9 класс

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Учитель математики высшей категории Сысуева Ольга Александровна, ГБОУ СОШ№ 22 г.о. Чапаевск, Самарской области

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

Диагонали выпуклого четырёхугольника делят его на части так, что произведения площадей треугольников, прилегающих к противоположным сторонам четырёхугольника, равны:

Обоснование: найти площадь каждого из образованных диагоналями четырёх треугольников по формуле

Затем сложить эти площади (свойство 1) или перемножить (свойство 2).

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

• Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его cторон:

d12 + d22 = 2(a2 +b2)

3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны.

При проведении биссектрисы любого угла

параллелограмма получается равнобедренный

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.

• Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют

четыре треугольника, два из которых

равновелики, а два других – подобны с

коэффициентом подобия равным отношению

OCB (по двум равным углам),

SOAD : SOCB = k2, где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.

2. SBAD = SCAD, SABC = SDBC (как площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты).

3. SOAB = SOCD (т.к. SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD).

4. SBAD : SDBC = AD : BC (SBAD = 0,5·AD·h, SDBC = 0,5·BC·h).

5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S1S2 = S2.

(SOAD =S1=0,5·OB·OC·sin α, SOCB = S2 =0,5·OA·OD·sin α,

SOCD =S=0,5·OC·OD·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, тогда S1S2 = S2).

6. Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны

(следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой.

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию.

Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию

Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE, параллельную диагонали BD, до пересечения с AD в точке E; получится треугольник ACE, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции

При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE: SABCD = SACE

Основные (наиболее распространённые) дополнительные построения в задачах на трапецию

Достроить трапецию ABCD до треугольника APD, вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции.

Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH1 и CH2.

Задача №1. (Тренировочные варианты Иркутск 2013г.)

Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны.

• Точки K, Р, Т, Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и ВD – диагонали четырёхугольника ABCD.

По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит,

SABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6.

2. По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм.

Задача №2. (ФИПИ 2014г.)

На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD.

SAВD = SCDB = 0,5·SAВCD = =0,5·24=12; SКРB = SCDB – SPKCD = 12 – 10 = 2

KPB (по двум равным углам); SAРD : SKPB = k2; AP=k·PK, DP=k·PB

3. AВP и ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAВP : SKPB = АP : PK = k (из п.2)

4. APD и ABP имеют общую высоту из вершины A, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAP D : SAВP = DP : PB = k (из п.2)

5. Из п.3 и п.1 SAВP = k·SKPB = 2k

SAPD = k·SABP = k·2k = 2k2

Из п.1 следует 2k + 2k2 = 12.

Корни уравнения k2 + k – 6 = 0 числа –3 и 2;

по смыслу задачи k = 2.

8. SAPD = 2k2 = 2·22 = 8.

Задача №3. (МИОО 2013г.)

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

AВО и СВО имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAВО : SCВО = ОА : ОC = 4:3 (из п.2).

• По условию SOAD не равна SOCB , значит, AD и BC – основания трапеции ABCD.

OCB (по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2 =16:9, где k = 4:3 = OA:OC.

4. SBAD = SCAD , т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит,

SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD , т. е. SOCD = SOAB = 12.

5. SAВCD = SOAD + SOCB + SOCD + SOAB =16 + 9 + 12 +12 = 49 cм2.

Задача №4. (МИОО 2010г.)

Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если

Δ NMK по двум углам:

б) ∠ MAO=∠ MNK как соответственные при AO параллельной NK и секущей MN.

ΔKON по двум углам:

а) ∠NOK=∠MOP как вертикальные

б) ∠PMO=∠NKO как внутренние накрест лежащие углы при NK параллельной MP и секущей MK.

Задача №5. (МИОО 2013г.)

В трапеции ABCD

на диагонали BD выбрана точка Е так, что

Площадь треугольника DCB равна 15. Найдите площадь треугольника АBЕ.

1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; SFCB = 0,5·SABCF

3. AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит,

SАВЕ = 0,5·SABCF = SDCB = 15.

2. SDCB = SFCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит,

SDCB = SFCB = 0,5·SABCF = 15.

В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC.

К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36.

По свойству равнобедренной трапеции AC=BD, следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB=BC=CD, треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED.

Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

Площадь трапеции ABCD:

Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины оснований 2. Найдите площадь трапеции.

Решение. 1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL, CF параллельна BD.

2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC.

3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF.

SABCD = 0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = SACF=6.

По формуле Герона

Полупериметр треугольника ACF равен

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру. Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD.

• Задачи для самостоятельного решения

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , если AD= =12 см, ВC=24 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельна BC, AD > BC) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD. Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC.

• Задачи для самостоятельного решения

🔥 Видео

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

№424. Докажите, что если не все углы выпуклого четырехугольника равны друг другуСкачать

Если диагонали выпуклого четырёхугольника равны ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Теорема Эйлера для четырехугольника | Дополнительные главы школьной геометрииСкачать

Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части?Скачать

78 Углы и диагонали четырёхугольника (146)Скачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

142 (29) Диагонали делят площадь пополамСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

✓ Площадь через диагонали | Ботай со мной #122 | Борис ТрушинСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Диагонали в многоугольниках. Есть ли зависимость между количеством вершин и диагоналей в n-угольникеСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать