Неравенство треугольника следствие из теоремы

Теорема о неравенстве треугольника

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис Трушин

Понятие термина неравенство треугольника и его сторон

Определение: неравенство треугольника в геометрии, математическом анализе и смежных дисциплинах — это свойство, при котором длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Теорема о неравенстве треугольников вытекает из теоремы о соотношении сторон и углов треугольника: против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

А В > А С > В С , ∠ С > ∠ В > ∠ А .

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

7 класс, 34 урок, Неравенство треугольника

Теорема о неравенстве треугольника

Основная формулировка: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказать: А В А С + С В .

Проведем C D = C B , A C + C D = A D . ∠ 1 = ∠ 2 .

В треугольнике АВD требуется доказать, что АВ

Пользуясь теоремой о соотношении углов и сторон: А В A D = A C + C B .

Что и требовалось доказать.

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Формула и следствие

Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой справедливы неравенства:

Длина каждой стороны треугольника больше разности длин двух других его сторон.

По теореме о неравенстве треугольника:

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Примеры решения задач

Существует ли треугольник со сторонами: 1 м , 2 м , 3 м .

Решение: по теореме о неравенстве треугольника 3 = 2 + 1 ⇒ 3 = 3

Ответ: такого треугольника не существует.

Существует ли треугольник со сторонами: 3 м , 4 м , 5 м .

Ответ: такой треугольник существует.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)

Краткие упражнения для самостоятельной работы

Одна сторона треугольника равна 2, другая 5. Какой может быть третья сторона, если известно, что ее длина тоже целое число?

Периметр равнобедренного треугольника равен 13, при этом две его стороны отличаются по длине на 4. Чему могут быть равны эти стороны?

Одна сторона треугольника равна 12, другая 5. Чему может быть равна самая короткая сторона этого треугольника? Самая длинная? Средняя по длине?

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.

Неравенство треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Неравенство треугольника:

Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).

Неравенство треугольника следствие из теоремы

Замечание. Из неравенств треугольника Неравенство треугольника следствие из теоремыследует, что Неравенство треугольника следствие из теоремыто есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо Неравенство треугольника следствие из теоремы

Пример:

Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.

Неравенство треугольника следствие из теоремы

Решение:

Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС Неравенство треугольника следствие из теоремыB (рис. 108, а).

2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).

Неравенство треугольника следствие из теоремы

3) Так как АF Неравенство треугольника следствие из теоремы1.

4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, Неравенство треугольника следствие из теоремы2 > Неравенство треугольника следствие из теоремыB.

5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то Неравенство треугольника следствие из теоремы1 = Неравенство треугольника следствие из теоремы2.

Таким образом, Неравенство треугольника следствие из теоремыBСА > Неравенство треугольника следствие из теоремы1, Неравенство треугольника следствие из теоремы1 = Неравенство треугольника следствие из теоремы2 и Неравенство треугольника следствие из теоремы2 > Неравенство треугольника следствие из теоремыB.

Отсюда получаем, что Неравенство треугольника следствие из теоремыВСА > Неравенство треугольника следствие из теоремыB.

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

1) Пусть в треугольнике АBС Неравенство треугольника следствие из теоремыС > Неравенство треугольника следствие из теоремыB. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.

2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ Неравенство треугольника следствие из теоремыC.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: Неравенство треугольника следствие из теоремыC > Неравенство треугольника следствие из теоремыB. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.

Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.

Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.

Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.

Неравенство треугольника

Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ Неравенство треугольника следствие из теоремыl, следовательно, верно неравенство Неравенство треугольника следствие из теоремыАВF > Неравенство треугольника следствие из теоремы2.

4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Неравенство треугольника

Теорема 1 Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.1).

Неравенство треугольника следствие из теоремы

Докажем, что ( small AC lt AB+BC .) На продолжении стороны AB отложим отрезок BD равный стороне BC. Полученный треугольник BCD равнобедренный. тогда ( small angle 1= angle 2.) Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике ( small angle ACD gt angle 1 ) и учитывая, что ( small angle 1= angle 2, ) получим ( small angle ACD gt angle 2. ) По теореме 1 статьи Соотношения между сторонами и углами треугольника, против большего угла треугольника лежит большая сторона. Следовательно в треугольнике ADC имеет место неравенство:

Неравенство треугольника следствие из теоремы.(1)
Неравенство треугольника следствие из теоремы.(2)

Тогда из (1) и (2) получим:

Неравенство треугольника следствие из теоремыНеравенство треугольника следствие из теоремы

Следствие 1. Для любых точек A, B, C, не расположенных на одной прямой справедливы следующие неравенства:

Неравенство треугольника следствие из теоремы, Неравенство треугольника следствие из теоремы, Неравенство треугольника следствие из теоремы.(3)

Неравенства (3) называются неравенствами треугольника.

📺 Видео

Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.

неравенство треугольникаСкачать

неравенство треугольника

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

№ 020 Неравенство треугольника (следствие)Скачать

№ 020 Неравенство треугольника (следствие)

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Неравенство треугольника #08Скачать

Неравенство треугольника #08

Неравенство треугольника | Геометрия 7-9 класс #34 | ИнфоурокСкачать

Неравенство треугольника | Геометрия 7-9 класс #34 | Инфоурок

Неравенства треугольникаСкачать

Неравенства треугольника

Урок 35. Неравенство треугольниковСкачать

Урок 35. Неравенство треугольников
Поделиться или сохранить к себе: