Построение прямой проходящей через данную точку и касающейся данной окружности (5 видео)

Касательная к окружности

Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.

Построение прямой проходящей через данную точку и касающейся данной окружности

Содержание

Свойство касательной
Теорема, обратная теореме о свойстве касательной
Построение касательной к окружности
Восемь способов построения касательной к окружности
Касательная к окружности
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
Свойства касательной к окружности
Задача
Задача 1
Задача 2
Задача 1
Задача 2
Задача 1
Задача 2
🌟 Видео

Видео:Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Свойство касательной

Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.

Доказательство. Пусть l касательная к окружности с центром O и M − точка касания прямой и окружности (Рис.1). Докажем, что ( small l ⊥ OM .)

Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.

Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 2. По теореме 1 касательные AC и AB перпендикулярны радиусам OC и OB, соответственно. Тогда углы 3 и 4 прямые, а треугольники ACO и ABO, прямоугольные. Эти треугольники равны по катету (OC=OB) и гипотенузе (сторона AO− общая) (подробнее см. в статье Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор). Тогда AB=AC и ( small angle 1=angle 2 .) Что и требовалось доказать.

Видео:ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДАННОЙ И ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ. ЗАДАЧИ. ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной

Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.

Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).

Видео:Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через данную точкуСкачать

Построение касательной к окружности

Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).

Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.

Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).

Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Восемь способов построения касательной к окружности

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Проектная работа по геометрии.

Восемь способов построения касательной к окружности.

9 биолого-химический класс

заместитель директора по учебной работе,

Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник. Он так же

неисчерпаем, как и вселенная. Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только познаете душу

геометрии, но и возвысите душу свою.

Построить касательную к окружности с центром О и радиусом R, проходящую через точку А, лежащую вне окружности

Построения касательной к окружности, не требующие обоснования, опирающегося на теорию параллельных прямых.

Построение №1.

1. Проведу отрезок ОА

2. Найду К – середину ОА

3. Построю окружность (К; КА).

4. Отмечу точки пересечения окружности (О; r) и окружности (К; КА) С и В.

5. Проведу АВ и ОВ.

Треугольник ОВА – прямоугольный, так как он вписан в окружность, и гипотенуза совпадает с диаметром окружности (К; КА). Следовательно, АВО =90°. Для окружности (О; r) ОВ – радиус. ОВ АВ, следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

Аналогично, АС – касательная к окружности.

Построение № 1 основывается на факте, который гласит, что касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Для прямой имеется лишь одна точка касания с окружностью.

Через данную на прямой точку можно провести лишь одну перпендикулярную прямую.

1. Построю окружность (А; АО)

2. Построю окружность (О; 2R)

3. Построенные окружности пересекаются в точках М и N.

4. Отрезки ОМ и ОN пересекают данную окружность (О;R) в точках С и В.

5. АВ и АС – искомые касательные.

1. Проведу АО – радиус окружности (А;АО)

АМ и AN также радиусы окружности (А;АО), следовательно

2. ОВ = ВМ = ОС = CN = 0,5OM= 0,5ON, так как ОМ – радиус окружности (O;2R), а ОС – радиус окружности (О;R)

3. Рассмотрим треугольник ОАМ. В нем АМ=ОА, тогда Δ ОАМ равнобедренный по определению. ОВ= ВМ, следовательно, АВ – медиана и высота ΔОАМ, по свойству равнобедренного треугольника.

4. Так как в ΔОАМ АВ – высота, следовательно, АВО = 90°

5. ОВ – радиус, АВО = 90°, следовательно, АВ – касательная по признаку.

6. Аналогично в равнобедренном треугольнике AON АС – касательная (АСО = 90°, ОС – радиус)

7. Итак, АВ и АС – касательные

1. Построю концентрические окружности (О; r) и (O; OA)

2. Проведу ОА; ОА пересекает окружность (О; r) в точке Р.

3. Проведу перпендикуляр МN к радиусу ОА в точке Р.

4. MN пересекает окружность(О; ОА) в точках М и N.

5. Проведу ОМ и ОN. Эти отрезки пересекают окружность (О; r) в точках В и С соответственно.

6. АВ и АС– искомые касательные.

1. ОМ =ОА т. к. радиусы

2. В треугольниках ОМР и ОВА:

ОР = ОВ как радиусы, ОМ = ОА как радиусы, следовательно, ΔОМР = ΔОВА по двум сторонам и углу между ними.

3. Следовательно ОРМ =ОВА= 90° ( как соответствующие углы в равных треугольниках), следовательно, АВ – касательная по признаку касательной.

4. Аналогично, АС – касательная

1. Построю окружность (О, 2r).

2. Построю произвольную касательную к окружности (О; r), пересекающую окружность (О, 2r) в точках M и N.

3. Рассмотрим поворот относительно точки О на угол АОМ, равный α.

4. Точку М надо повернуть на угол α, следовательно она перейдет точку А

Точку М надо повернуть на (180 — α) следовательно, точка М перейдет в точку К.

Тогда, так как угол α остается тем же, AD и АК – касательные по признаку

Построения касательной к окружности одной линейкой, одним циркулем.

1. Прямая ОА пересекает окружность (О, r) в точках Р и Q.

2. Проведу через точку А произвольную прямую, пересекающую окружность(О, r) в точках М и N.

3. Прямая PN пересекает прямую QM в точке L.

4. Прямая PM пересекает прямую QN в точке K.

5. Прямая KL пересекает окружность в точках B и С.

6. АВ и ВС – искомые касательные.

1. Т. к. треугольники PQN и PQM вписаны в окружность и сторона PQ является диаметром окружности, то эти треугольники прямоугольные.

2. В треугольнике PQL отрезки PM и QN – высоты, пересекающиеся в точке К, поэтому KL – третья высота. Тогда KL PQ.

3. Пусть DPK=α, DQK=β. Тогда ctg α : ctg β= |PD|:|DQ| (1).

Построю перпендикуляр к прямой АР в точке А, пересекающий прямую РМ в точке S. Тогда |PA|=|AS|ctg α и |AQ|=|AS|ctg AQS.

4. Так как AQS =AMS = 180° — PMN = PQN = β, то |AQ| = |AS|ctg β. Поэтому |PA| : |AQ| = ctg α : ctg β (2).

5. Сопоставляя (1) и (2) получу |PD| : |PA| = |DQ| : |AQ|, или

После раскрытия скобок и упрощений нахожу, что |OD|·|OA|=R².

5. Из соотношения |OD|·|OA|=R² следует, что |OD|:R=R: |OA|, то есть треугольники ODB и OBA подобны. Поскольку ODB= 90°, то OBA=90°.Следовательно, прямая АВ – искомая касательная, что и требовалось доказать.

Построение № 6.

1. Прострою окружность (A; |OA|).

2. Найду раствор циркуля, равный 2R, для чего выберу на окружности (О; R) точку S и отложу три дуги, содержащие по 60º: SP=PQ=QT=60°. Точки S и T диаметрально противоположны.

3. Строю окружность (О; ST), пересекающую w1Что это за окружность? в точках М и N.

4. Теперь построю середину МО. Для этого строю окружности (O; OM) и (М; МО), а затем для точек М и О находим на них диаметрально противоположные точки U и V.

5. Далее строю окружность (U; UM), пересекающую (М; МО) в точках К и L.

6. Наконец, построю окружность (К; КМ) и (L; LM), пересекающиеся в искомой точке В – середине МО.

Треугольники КМВ и UMK равнобедренные и подобные. Поэтому из того, что КМ= 0,5МU, следует, что МВ=0,5МК=0,5R. Итак, точка В – искомая точка касания. Аналогично можно найти точку касания С.

Построения касательной к окружности, основанные на свойствах секущих, биссектрис.

1. Построю прямую ОА, она пересечен данную окружность в точках Р и Q.

2. Построю на отрезке АQ как на диаметре окружность.

3. Пересеку построенную окружность касательной l, проведенной через точку Р к окружности (О; r), и получу точки М и N.

4. Проведу МО и NО, они пересекут окружность (О; r) в точках В и С соответственно.

5. АВ и АС — искомые касательные.

По свойству секущей АМ²=АР·АQ. Поэтому окружность (А;АМ) пересечет окружность (О;R) в точках В и С касания искомых касательных АВ и АС.

Построение № 8

1. Построю окружность (А;АР), пресекающую прямую АР в точке D.

2. Построю окружность w на диаметре QD

3. Пересеку ее перпендикуляром к прямой АР в точке А и получу точки М и N.

Очевидно, что АМ²=АN²=АD·AQ=AP·AQ. Тогда окружность (А;АМ) пересекает (О;R) в точках касания В и С. АВ и АС — искомые касательные.

Видео:Окружность данного радиуса, проходящей через две заданные точкиСкачать

Касательная к окружности

О чем эта статья:

Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Построение перпендикуляра к прямойСкачать

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°