Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Биссектрисы углов А, В и С треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках А1, В1 и C1 соответственно. Докажите, что А1В1 ⊥ СС1.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Ваш ответ

Видео:Геометрия Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружностьСкачать

Геометрия Биссектрисы углов A, B и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружность

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,989
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружностьСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружностьФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружностьВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность.

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникОколо треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность
Равнобедренный треугольникОколо треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность
Равносторонний треугольникОколо треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность
Прямоугольный треугольникОколо треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность.

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность.

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Произвольный треугольник
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность
Равнобедренный треугольник
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность
Равносторонний треугольник
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность
Прямоугольный треугольник
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность
Произвольный треугольник
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность.

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность.

Равнобедренный треугольникОколо треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Равносторонний треугольникОколо треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникОколо треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность– полупериметр (рис. 6).

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

с помощью формулы Герона получаем:

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

Около треугольника описана окружность биссектрисы углов пересекают окружность

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Геометрия Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Точка OСкачать

Геометрия Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Точка O

Please wait.

Видео:Геометрия Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этогоСкачать

Геометрия Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:ЕГЭ Задание 16 Описанная окружностьСкачать

ЕГЭ Задание 16 Описанная окружность

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Cloudflare Ray ID: 6d4e3c973efd16e8 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

💡 Видео

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружности

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольникаСкачать

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольника

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)
Поделиться или сохранить к себе: