Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Диагонали АС и ВD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Известно, что угол DAC равен 90°, а в 2 раза больше угла ADB. Сумма угла DBС и удвоенного угла ADС равна 180°.

а) Докажите, что ВР = 2AP.

б) Найдите площадь четырёхугольника AВCD, если BD = 8 и точка Р является серединой диагонали BD.

а) Пусть биссектриса угла РСВ пересекает отрезок РВ в точке М. Обозначим буквой β угол ADB. Получаем, что

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Так как Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейпо свойству вертикальных углов, треугольники APD и МРС подобны, поэтому ∠PMC = 90°. Таким образом, в треугольнике ВСР биссектриса СМ является высотой, а значит, треугольник ВСР равнобедренный и PM = MB, CP = CB.

В треугольнике DBC:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Из этого равенства и из того, что Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейследует, что ∠PCD = ∠PDC. Поэтому треугольник PCD равнобедренный и PD = PC. Значит, треугольники APD и МРС равны, поэтому Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейоткуда следует, что BP = 2AP.

б) Точка Р является серединой отрезка BD, поэтому Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейОтсюда следует, что треугольник ВСР равносторонний, поэтому ∠BPC = 60°. Из равенства Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейполучаем, что AP = 2 и Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейТеперь найдём площадь четырёхугольника AВCD:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Ответ: б) Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Задание 16. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где О — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2.

а) Так как стороны BC=CD, то и дуга BC равна дуге CD. На эти дуги опираются равные углы: BAC, CAD, CBD, CDB. Получаем подобные треугольники BPC и APD (по двум углам), следовательно, Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейи

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейили Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей(1)

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Далее, треугольники BPC и ABC также подобны по двум углам, поэтому

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадейили Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей(2)

В результате из (1) и (2), имеем:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

б) Так как BD – диаметр окружности, то треугольники BCD и ABD – прямоугольные с прямыми углами C и A соответственно. Также по условию задания BC=CD=5√2, получаем

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Рассмотрим прямоугольный треугольник BAD, в котором AB=5, BD=10, следовательно, угол BDA=30°, а угол ODO1 = 15° (так как O – центр вписанной окружности, поэтому DO – биссектриса).

Далее, из равнобедренного треугольника BCD с основание BD получаем, что угол CDB=45°, следовательно, угол ODC=45+15=60°. Из прямоугольного треугольника ABD

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

и полупериметр треугольника ABD, равен:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Найдем отрезок DE=p-AB (как отрезок части касательной), имеем:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

и радиус вписанной окружности:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Рассмотрим прямоугольный треугольник OED, из которого

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Рассмотрим треугольник OCD, в котором Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей, следовательно, треугольник ODC – равносторонний. Площадь этого треугольника, равна:

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Ответ: Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

Видео:25)В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треСкачать

25)В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади тре

Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей

дЙБЗПОБМЙ ЧЩРХЛМПЗП ЮЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛБ ABCD РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ФПЮЛЕ E . йЪЧЕУФОП, ЮФП РМПЭБДШ ЛБЦДПЗП ЙЪ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ABE Й DCE ТБЧОБ 1, РМПЭБДШ ЧУЕЗП ЮЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛБ ОЕ РТЕЧПУИПДЙФ 4, AD = 3. оБКДЙФЕ УФПТПОХ BC .

рПДУЛБЪЛБ

дПЛБЦЙФЕ, ЮФП BC || AD .

тЕЫЕОЙЕ

фТЕХЗПМШОЙЛЙ ABD Й ACD ТБЧОПЧЕМЙЛЙ, ФБЛ ЛБЛ

фПЗДБ ЙИ ЧЩУПФЩ, ПРХЭЕООЩЕ ОБ ПВЭЕЕ ПУОПЧБОЙЕ AD , ТБЧОЩ. уМЕДПЧБФЕМШОП, BC || AD .

рХУФШ BC = x . йЪ РПДПВЙС ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ BEC Й DEA УМЕДХЕФ, ЮФП

рП ХУМПЧЙА ЪБДБЮЙ S ABCD Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей4, РПЬФПНХ

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, УХННБ ДЧХИ ЧЪБЙНОП ПВТБФОЩИ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЮЙУЕМ ОЕ НЕОШЫЕ 2, РТЙЮЈН ТБЧЕОУФЧП ДПУФЙЗБЕФУС ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ЛБЦДПЕ ЙЪ ЬФЙИ ЮЙУЕМ ТБЧОП 1.

фТЕХЗПМШОЙЛЙ ABD Й ACD ТБЧОПЧЕМЙЛЙ, ФБЛ ЛБЛ

фПЗДБ ЙИ ЧЩУПФЩ, ПРХЭЕООЩЕ ОБ ПВЭЕЕ ПУОПЧБОЙЕ AD , ТБЧОЩ. уМЕДПЧБФЕМШОП, BC || AD .

рХУФШ BC = x . йЪ РПДПВЙС ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ BEC Й DEA УМЕДХЕФ, ЮФП

рП ХУМПЧЙА ЪБДБЮЙ S ABCD Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей4, РПЬФПНХ

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, УХННБ ДЧХИ ЧЪБЙНОП ПВТБФОЩИ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЮЙУЕМ ОЕ НЕОШЫЕ 2, РТЙЮЈН ТБЧЕОУФЧП ДПУФЙЗБЕФУС ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ЛБЦДПЕ ЙЪ ЬФЙИ ЮЙУЕМ ТБЧОП 1.

фТЕХЗПМШОЙЛЙ ABD Й ACD ТБЧОПЧЕМЙЛЙ, ФБЛ ЛБЛ

фПЗДБ ЙИ ЧЩУПФЩ, ПРХЭЕООЩЕ ОБ ПВЭЕЕ ПУОПЧБОЙЕ AD , ТБЧОЩ. уМЕДПЧБФЕМШОП, BC || AD .

рХУФШ BC = x . йЪ РПДПВЙС ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ BEC Й DEA УМЕДХЕФ, ЮФП

рП ХУМПЧЙА ЪБДБЮЙ S ABCD Диагонали четырехугольника abcd пересекаются в точке p докажите что произведение площадей4, РПЬФПНХ

у ДТХЗПК УФПТПОЩ, УХННБ ДЧХИ ЧЪБЙНОП ПВТБФОЩИ РПМПЦЙФЕМШОЩИ ЮЙУЕМ ОЕ НЕОШЫЕ 2, РТЙЮЈН ТБЧЕОУФЧП ДПУФЙЗБЕФУС ФПЗДБ Й ФПМШЛП ФПЗДБ, ЛПЗДБ ЛБЦДПЕ ЙЪ ЬФЙИ ЮЙУЕМ ТБЧОП 1.

🌟 Видео

Геометрия В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, чтоСкачать

Геометрия В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что

Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=ODСкачать

Геометрия Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O Известно что угол A = углу D AO=OD

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOCСкачать

Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC

№402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольникиСкачать

№402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники

1.36.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

1.36.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

№43. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Известно, что углы BAC и ADC прямыеСкачать

№43. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M. Известно, что углы BAC и ADC прямые

№511. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке О. а) Сравните плоСкачать

№511. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке О. а) Сравните пло

№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+CСкачать

№521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 +ВС2 =AB2+C

Задания 23,24. Тест 21. ОГЭ. Математика.Скачать

Задания 23,24. Тест 21. ОГЭ. Математика.

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

ОГЭ Задание 25 Свойства площадейСкачать

ОГЭ Задание 25 Свойства площадей

№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметрСкачать

№403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр

#26. EGMO-2022, Problem 6Скачать

#26. EGMO-2022, Problem 6

Задача на доказательство из 2-ой части ОГЭ по математике? Легко!Скачать

Задача на доказательство из 2-ой части ОГЭ по математике? Легко!

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:

Доказать,что площадь треугольника KAB равна половине площади трапецииСкачать

Доказать,что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции
Поделиться или сохранить к себе: