Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

Свойства вписанной в треугольник окружности

В этой статье Вы сможете найти свойства вписанной в треугольник окружности, а также их доказательства.

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая находится внутри треугольника и при этом касается всех его сторон (то есть все стороны треугольника являются касательными к окружности). Стоит отметить, что в этом случае сам треугольник является описанным вокруг данной окружности.

Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства вписанной в треугольник окружности

  1. Центр вписанной в треугольник окружности (на рис. 1 – точка О) лежит на пересечении биссектрис треугольника (на рис.1 – АО, ВО и СО).
  2. В любой треугольник вписывается окружность и притом только одна.
  3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен:

Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

Где S – это площадь треугольника,
p — полупериметр треугольника,
a, b, c — стороны треугольника.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении биссектрис.

    Опустим из центра окружности перпендикуляры (OL, OK и OM) к каждой из сторон треугольника ABC (рис. 2). Также из каждого угла проведем прямую к центру окружности (OA, OC и OB).

Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

  • Рассмотрим 2 треугольника AOM и AOK. Они являются прямоугольными, т.к. OM и OK – перпендикуляры к сторонам AC и AB. Гипотенуза OA является общей для обоих треугольников.
  • Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (свойство касательной к окружности), то катеты OМ и OК являются радиусами окружности и, следовательно, равны.
  • Из вышесказанного следует, что прямоугольные треугольники AOМ и AOК равны по гипотенузе и катету. Т.к. треугольники равны, то углы OAМ и OAК тоже равны, отсюда следует, что OA – биссектриса угла BAC.
  • Аналогичным образом доказывается, что OC – биссектриса угла ACB, а OB – биссектриса угла ABC.
  • То есть биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой является центр вписанной окружности.
  • Что и требовалось доказать.

    Второе свойство

    Доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

    1. В треугольник можно вписать окружность только в том случае, если найдется точка равноудаленная от его сторон.
    2. Проведем 2 биссектрисы OA и OC. Опустим из точки их пресечения перпендикуляры (OK, OL и OM) ко всем трем сторонам треугольника ABC (рис. 3).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

  • Рассмотрим треугольники AOK и AOM.
  • У них общая гипотенуза AO. Углы OAK и OAM равны (т.к. OA – биссектриса угла KAM). Углы OKA и OMA прямые (т.е. тоже равны), т.к. OK и OM – перпендикуляры к сторонам AB и AC соответственно.
  • Поскольку 2 пары углов равны, то и 3-я пара (AOM и AOK) также является равной.
  • Из вышенаписанного следует, что треугольники AOK и AOM равны по стороне (AO) и 2-м прилежащим к ней углам (рис. 4).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

  • Отсюда следует, что стороны OM и OK равны, т.е. равноудалены от сторон треугольника AC и AB соответственно.
  • Аналогичным образом доказывается, что OM и OL равны, т.е. они равноудалены от сторон треугольника AC и BC соответственно.
  • Из вышенаписанного следует, что точка O равноудалена от сторон треугольника, т.е. является центром вписанной окружности.
  • Аналогичным образом можно найти точку внутри любого треугольника, которая будет равноудалена от его сторон, то есть будет центром вписанной в этот треугольник окружности.
  • Из вышенаписанного следует, что в любой треугольник можно вписать окружность.
  • Следует отметить, что центр данной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
  • Допустим, что в треугольник можно вписать две (или более) окружности.
  • Проведя 3 отрезка из вершин треугольника к центру этой окружности и, опустив перпендикуляры из этого центра к каждой из сторон треугольника, мы сможем доказать, что эта окружность лежит на пересечении биссектрис треугольника (см. доказательство первого свойства).
  • То есть центр этой окружности совпадает с центром первой окружности, уже вписанной в треугольник, а ее радиус равен перпендикуляру, опущенному на сторону треугольника (как и в первом случае). Это говорит о том, что данные окружности совпадают.
  • Аналогичным образом можно доказать, что любая новая вписанная окружность совпадает с первой, которую мы впишем.
  • То есть вписать в треугольник можно только одну окружность.
  • Что и требовалось доказать.

    Третье свойство

    Доказать, что радиус вписанной окружности r равен отношению площади треугольника S к полупериметру p.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    А также равенство:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

      Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами a, b и c (рис 5). Полупериметр данного треугольника p рассчитывается по формуле:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Центр нашей окружности (точка O на рис. 5) находиться на пересечении биссектрис треугольника. Отрезки OA, OB и OC, соединяющие O с вершинами треугольника АВС, делят треугольник на три: AOC, COB, BOA. Площадь треугольника ABC можно найти как сумму площадей этих трех треугольников.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Поскольку площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, а высота треугольников AOC, COB, BOA равна радиусу окружности r, то площади треугольников AOC, COB и BOA можно найти как:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Выразим площадь S треугольника ABC через сумму площадей этих трех треугольников:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Заметив, что второй множитель – это полупериметр треугольника ABC, можно представить наше равенство в виде:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

  • Итак, мы доказали, что радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к полупериметру.
  • Вспомним формулу Герона, которая в нашем случае будет иметь вид:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Теперь радиус можно выразить как:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Что и требовалось доказать.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольникеСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольникеФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольникеВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

    Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

    Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    что и требовалось доказать.

    Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

    Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

    Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

    что и требовалось доказать.

    Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

    Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

    Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

    Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    a, b, c – стороны треугольника,
    S – площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    ФигураРисунокФормулаОбозначения
    Произвольный треугольникСвойства вписанной окружности и касательных в треугольнике
    Равнобедренный треугольникСвойства вписанной окружности и касательных в треугольнике
    Равносторонний треугольникСвойства вписанной окружности и касательных в треугольнике
    Прямоугольный треугольникСвойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Произвольный треугольник
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике
    Равнобедренный треугольник
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике
    Равносторонний треугольник
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике
    Прямоугольный треугольник
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике
    Произвольный треугольник
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    S –площадь,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где
    a, b, c – стороны треугольника,
    r – радиус вписанной окружности,
    p – полупериметр
    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике.

    Равнобедренный треугольникСвойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Равносторонний треугольникСвойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где
    a – сторона равностороннего треугольника,
    r – радиус вписанной окружности

    Прямоугольный треугольникСвойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Видео:САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать

    САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математике

    Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике– полупериметр (рис. 6).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    с помощью формулы Герона получаем:

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    что и требовалось.

    Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    то, в случае равнобедренного треугольника, когда

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    что и требовалось.

    Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    то, в случае равностороннего треугольника, когда

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

    Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

    В силу теоремы 3 справедливы равенства

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    Свойства вписанной окружности и касательных в треугольнике

    что и требовалось.

    Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

    Окружность

    Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

    Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

    Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

    Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Основные термины


    Касательная

    Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

    Свойства касательной


    1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

    Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

    Хорда

    Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

    Свойства хорд


    1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

    Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

    Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

    Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

    8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

    Свойства окружности


    1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
    2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
    3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

    Теорема о касательной и секущей

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

    Теорема о секущих

    Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

    Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts

    Углы в окружности

    Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

    Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

    Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

    Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

    Свойства углов, связанных с окружностью


    1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

    Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

    Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Длины и площади


    1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

    Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

    Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

    Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

    Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Вписанные и описанные окружности


    Окружность и треугольник


    • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

    где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

    центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

    здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    🌟 Видео

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

    Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Решение задачи №1 из ЕГЭ математикаСкачать

    Решение задачи №1 из ЕГЭ математика

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    Некоторые свойства окружности касательная к окружности - 7 класс геометрияСкачать

    Некоторые свойства окружности касательная к окружности - 7 класс геометрия
    Поделиться или сохранить к себе: