Центр окружности лежит вне угла

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Центр окружности лежит вне угла

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Видео:2020 точка О центр окружности на которой лежат точки A B и C известно что Угол ABC равен 62 градусаСкачать

2020 точка О центр окружности на которой лежат точки A B и C известно что Угол ABC равен 62 градуса

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Центр окружности лежит вне угла

∠ABC =1Центр окружности лежит вне углаAC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Центр окружности лежит вне угла

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Центр окружности лежит вне угла

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

∠B =1∠AOC.
2

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = Центр окружности лежит вне углаAC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =1Центр окружности лежит вне углаAC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Центр окружности лежит вне угла

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

Центр окружности лежит вне угла

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: Центр окружности лежит вне углаAD и Центр окружности лежит вне углаDC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 =1Центр окружности лежит вне углаAD и 2 =1Центр окружности лежит вне углаDC.
22

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 =1Центр окружности лежит вне углаAD +1Центр окружности лежит вне углаDC
22
∠ABC =1Центр окружности лежит вне углаAC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Центр окружности лежит вне угла

Проведём диаметр BD.

Центр окружности лежит вне угла

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =1(Центр окружности лежит вне углаADЦентр окружности лежит вне углаCD),
2
∠ABC =1Центр окружности лежит вне углаAC.
2

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Центр окружности лежит вне угла

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Видео:Геометрия Докажите что если вершина угла лежит вне окружности а угол опирается на диаметр окружностиСкачать

Геометрия Докажите что если вершина угла лежит вне окружности а угол опирается на диаметр окружности

Углы, связанные с окружностью

Центр окружности лежит вне углаВписанные и центральные углы
Центр окружности лежит вне углаУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Центр окружности лежит вне углаДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать

Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Центр окружности лежит вне угла

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Центр окружности лежит вне угла

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Углы с вершинами внутри и вне кругаСкачать

Углы с вершинами внутри и вне круга

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголЦентр окружности лежит вне угла
Вписанный уголЦентр окружности лежит вне углаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголЦентр окружности лежит вне углаВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголЦентр окружности лежит вне углаДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголЦентр окружности лежит вне углаВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаЦентр окружности лежит вне угла

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Центр окружности лежит вне угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Центр окружности лежит вне угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Центр окружности лежит вне угла

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Центр окружности лежит вне угла

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Центр окружности лежит вне угла

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Центр окружности лежит вне угла

Видео:Задание 16 ЕГЭ по математике #4Скачать

Задание 16 ЕГЭ по математике #4

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиЦентр окружности лежит вне углаЦентр окружности лежит вне угла
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаЦентр окружности лежит вне углаЦентр окружности лежит вне угла
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияЦентр окружности лежит вне углаЦентр окружности лежит вне угла
Угол, образованный касательной и секущейЦентр окружности лежит вне углаЦентр окружности лежит вне угла
Угол, образованный двумя касательными к окружностиЦентр окружности лежит вне углаЦентр окружности лежит вне угла

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Центр окружности лежит вне угла
Формула: Центр окружности лежит вне угла
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Центр окружности лежит вне угла

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Центр окружности лежит вне угла
Формула: Центр окружности лежит вне угла
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Центр окружности лежит вне угла

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Центр окружности лежит вне угла

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Центр окружности лежит вне угла

В этом случае справедливы равенства

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Центр окружности лежит вне угла

В этом случае справедливы равенства

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Центр окружности лежит вне угла

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Центр окружности лежит вне угла

Центр окружности лежит вне угла

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Центр окружности лежит вне угла

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.

§ 76. ВПИСАННЫЕ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ УГЛЫ.

1. Вписанный угол.

Угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным.

Угол АВС — вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (черт. 330).

Центр окружности лежит вне угла

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.

При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.

Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331).

Пусть / АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС.

Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный / AОВ, в котором
АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, / А = / В. / АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому / АОС = / А + / В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В равны, то / В составляет 1 /2 / АОС.

Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС.

Например, если Центр окружности лежит вне углаАС содержит 60° 18′, то / В содержит 30°9′.

Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332).

Пусть / АВD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что / АВD измеряется половиной дуги АD.

Для доказательства проведём диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: / 1 и / 2.

/ 1 измеряется половиной дуги АС, а / 2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь / АВD измеряется 1 /2 Центр окружности лежит вне углаАС + 1 /2Центр окружности лежит вне углаСD, т. е. половиной дуги АD.
Например, если Центр окружности лежит вне углаАD содержит 124°, то / В содержит 62°.

Центр окружности лежит вне угла

Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333).

Пусть / МАD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что / МАD измеряется половиной дуги МD.

Для доказательства проведём диаметр АВ. / МАD = / МАВ— / DАВ. Но / МАВ измеряется 1 /2 Центр окружности лежит вне углаМВ, а / DАВ измеряется 1 /2 Центр окружности лежит вне углаDВ. Следовательно, / МАD измеряется
1 /2 (Центр окружности лежит вне углаМВ — Центр окружности лежит вне углаDВ), т. е. 1 /2 Центр окружности лежит вне углаМD.
Например, если Центр окружности лежит вне углаМD содержит 48° 38’16», то / МАD содержит 24° 19′ 8″.

Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а).

Центр окружности лежит вне угла

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,—прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (черт. 334, б).

2. Угол, образованный касательной и хордой.

Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами.

Центр окружности лежит вне угла

Пусть / САВ составлен хордой СА и касательной АВ (черт. 335). Требуется доказать, что он измеряется половиной Центр окружности лежит вне углаСА. Проведём через точку С прямую СD || АВ. Вписанный / АСD измеряется половиной дуги АD, но Центр окружности лежит вне углаАD = Центр окружности лежит вне углаСА, так как они заключены между касательной и параллельной ей хордой. Следовательно, / DСА измеряется половиной дуги СА. Так как данный / САВ = / DСА, то и он измеряется половиной дуги СА.

1. На чертеже 336 найти касательные к окружности блоков.

2. По чертежу 337, а доказать, что угол АDС измеряется полусуммой дуг АС и ВК.

3. По чертежу 337, б доказать, что угол АМВ измеряется полуразностью дуг АВ и СЕ.

Центр окружности лежит вне угла

4. Через точку А, лежащую внутри круга, с помощью чертёжного треугольника провести хорду так, чтобы она в точке А разделилась пополам.

5. С помощью чертёжного треугольника разделить дугу на 2, 4, 8. равных частей.

6. Описать данным радиусом окружность, проходящую через две данные точки. Сколько решений имеет задача?

7. Сколько окружностей можно провести через данную точку?

💡 Видео

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Через любую точку, лежащую вне окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Через любую точку, лежащую вне окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Углы в окружности | ФормулыСкачать

Углы в окружности | Формулы

2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45Скачать

2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45

Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углыСкачать

Вписанные и центральные углы

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис ТрушинСкачать

✓ Как вневписанная окружность Герону помогла | Ботай со мной #083 | Борис Трушин

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥Скачать

ЕГЭ-2020. №16. Вневписанная окружность🚀 Ортоцентр. Теорема Карно, Бланшета, Чевы, Менелая🔥

#26. EGMO-2022, Problem 6Скачать

#26. EGMO-2022, Problem 6
Поделиться или сохранить к себе: