Как сложить два вектора зная их длины

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
Содержание
  1. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
  2. Покоординатное сложение векторов.
  3. Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
  4. Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
  5. Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
  6. Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
  7. Определения скалярного произведения векторов через угол между ними
  8. Сложение векторов — решение примеров
  9. Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
  10. Сложение и вычитание векторов
  11. Формулы сложения и вычитания векторов
  12. Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач
  13. Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач
  14. Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов
  15. Примеры задач на сложение и вычитание векторов
  16. Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов
  17. Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов
  18. Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3
  19. 🎦 Видео

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Как сложить два вектора зная их длины

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

Как сложить два вектора зная их длины

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

  • правило параллелограмма
  • правило треугольника
  • тригонометрический способ

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Как сложить два вектора зная их длины

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

Как сложить два вектора зная их длины

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
  • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
  • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Как сложить два вектора зная их длиныРезультирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

  • Fрез. = [ F1 2 + F2 2 -2 F1 F2 cos(180 о -α) ] 1/2 (1)
    • где
      • F = числовое значение вектора
      • α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

  • β = arcsin[ F2 *sin(180 o -α) / FR ] (2)
    • где
      • α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Определения скалярного произведения векторов через угол между ними

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длиныназывается вектор Как сложить два вектора зная их длины, начало которого совпадает с началом вектора Как сложить два вектора зная их длины, а конец — с концом вектора Как сложить два вектора зная их длины, при условии, что начало вектора Как сложить два вектора зная их длиныприложено к концу вектора Как сложить два вектора зная их длины) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

Как сложить два вектора зная их длины

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длины— векторы, Как сложить два вектора зная их длины— угол между ними, а Как сложить два вектора зная их длины— сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

Как сложить два вектора зная их длины,

где Как сложить два вектора зная их длины— угол, смежный с углом Как сложить два вектора зная их длины. У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

Как сложить два вектора зная их длины.

В случае вычитания векторов (Как сложить два вектора зная их длины) происходит сложение вектора Как сложить два вектора зная их длиныс вектором Как сложить два вектора зная их длины, противоположным вектору Как сложить два вектора зная их длины, то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длиныи между Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длиныявляются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Сложение векторов — решение примеров

Пример 1. Векторы Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длиныобразуют угол Как сложить два вектора зная их длины. Их длины: Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длины. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как сложить два вектора зная их длины. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как сложить два вектора зная их длины.

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что Как сложить два вектора зная их длины.

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Как сложить два вектора зная их длины

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как сложить два вектора зная их длины

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длиныобразуют угол Как сложить два вектора зная их длины. Их длины: Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длины. Выполнить сложение векторов и найти их сумму Как сложить два вектора зная их длины. Выполнить вычитание векторов и найти их разность Как сложить два вектора зная их длины.

Пример 3. Даны длины векторов Как сложить два вектора зная их длиныи длина их суммы Как сложить два вектора зная их длины. Найти длину их разности Как сложить два вектора зная их длины.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Как сложить два вектора зная их длины

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Как сложить два вектора зная их длины

Пример 4. Даны длины векторов Как сложить два вектора зная их длиныи длина их разности Как сложить два вектора зная их длины. Найти длину их суммы Как сложить два вектора зная их длины.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Как сложить два вектора зная их длины

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длины:

Как сложить два вектора зная их длины

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Как сложить два вектора зная их длины

Пример 5. Векторы Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длинывзаимно перпендикулярны, а их длины Как сложить два вектора зная их длины. Найти длину их суммы Как сложить два вектора зная их длиныи и длину их разности Как сложить два вектора зная их длины.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Как сложить два вектора зная их длины

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы Как сложить два вектора зная их длиныи Как сложить два вектора зная их длины, чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. Как сложить два вектора зная их длины,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. Как сложить два вектора зная их длины,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. Как сложить два вектора зная их длины?

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

Как сложить два вектора зная их длины

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Как сложить два вектора зная их длины

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Как сложить два вектора зная их длины

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Сложение и вычитание векторов

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Формулы сложения и вычитания векторов

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = < ax ; ay > и b = < bx ; by > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания векторов для пространчтвенных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Формулы сложения и вычитания n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства сумму и разность векторов a = < a 1 ; a 2 ; . ; an > и b = < b 1 ; b 2 ; . ; bn > можно найти, воспользовавшись следующими формулами:

Видео:№742. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарныеСкачать

№742. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и неколлинеарные

Примеры задач на сложение и вычитание векторов

Примеры плоских задач на сложение и вычитание векторов

Примеры пространственных задач на сложение и вычитание векторов

Примеры задач на сложение и вычитание векторов с размерностью большей 3

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🎦 Видео

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия Атанасян

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Угол между векторами | МатематикаСкачать

Угол между векторами | Математика

Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня МатеманяСкачать

Новое задание профиля №2. Все, что нужно знать о векторах | Аня Матеманя

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов

Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Практическая часть. 9 класс.

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Нахождение длины вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора. Практическая часть. 9 класс.

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.Скачать

Сложение, вычитание, умножение на число векторов через координату. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: