Диагонали ас и вд четырехугольника авсд вписанного в окружность пересекаются в точке к найдите кс (2 видео)

Диагонали ас и вд четырехугольника авсд вписанного в окружность пересекаются в точке к найдите кс

Задание 16. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.

а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где О — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2.

а) Так как стороны BC=CD, то и дуга BC равна дуге CD. На эти дуги опираются равные углы: BAC, CAD, CBD, CDB. Получаем подобные треугольники BPC и APD (по двум углам), следовательно, и

или (1)

Далее, треугольники BPC и ABC также подобны по двум углам, поэтому

или (2)

В результате из (1) и (2), имеем:

б) Так как BD – диаметр окружности, то треугольники BCD и ABD – прямоугольные с прямыми углами C и A соответственно. Также по условию задания BC=CD=5√2, получаем

Рассмотрим прямоугольный треугольник BAD, в котором AB=5, BD=10, следовательно, угол BDA=30°, а угол ODO1 = 15° (так как O – центр вписанной окружности, поэтому DO – биссектриса).

Далее, из равнобедренного треугольника BCD с основание BD получаем, что угол CDB=45°, следовательно, угол ODC=45+15=60°. Из прямоугольного треугольника ABD

и полупериметр треугольника ABD, равен:

Найдем отрезок DE=p-AB (как отрезок части касательной), имеем:

и радиус вписанной окружности:

Рассмотрим прямоугольный треугольник OED, из которого

Рассмотрим треугольник OCD, в котором , следовательно, треугольник ODC – равносторонний. Площадь этого треугольника, равна:

Ответ:

Видео:№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать

Решение №2427 Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность.

Четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали АС и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Проведём прямую DM параллельную АС. Дуги ‿АМ = ‿DC, значит и хорды равны DC = AM = 10.
∠ABK = ∠DKC = 60°, как вертикальные. ∠MDK = ∠DKC = 60°, как накрест лежащие углы, при AC||MD и секущей DK.
Четырёхугольник AMDB вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°. Найдём ∠MAB:

∠MAB = 180° – ∠MDB = 180° – 60° = 120°

По теореме косинусов найдём MB:

MB 2 = AM 2 + AB 2 – 2·AM·AB·cos 120°

Найдём радиус описанной вокруг ΔABM окружности по теореме синусов:

Ответ: .

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

Задание 16. Математика ЕГЭ. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника COD

Задание. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке Р, причем BC = CD.

а) Докажите, что AB : BC = AP : PD.

б) Найдите площадь треугольника COD, где О – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырехугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2.

Рассмотрим треугольники ∆ABC и ∆APD. Вписанные углы ∠BAC = ∠CAD, так как опираются на равные хорды (BC = CD). Вписанные углы ∠ACB = ∠ADB, так как опираются на одну и ту же дугу АВ. Следовательно, треугольники ∆ABC и ∆APD подобные треугольники. Тогда

б) Найдите площадь треугольника COD, где О – центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD – диаметр описанной около четырехугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2.

Так как BD – диаметр окружности, то вписанный угол ∠BCD = 90°, следовательно, треугольник ∆BCD – прямоугольный равнобедренный треугольник. По теореме Пифагора найдем BD:

BD 2 = BC 2 + CD 2

BD 2 = (5√2) 2 + (5√2) 2 = 100

Так как BD – диаметр окружности, то вписанный угол ∠BAD = 90°, следовательно, треугольник ∆BAD – прямоугольный треугольник. В прямоугольном треугольнике ∆BAD гипотенуза BD = 10, катет АВ = 5.

По свойству прямоугольных треугольников: если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Следовательно, угол ∠ADB = 30°, а угол ∠ABD = 60°.

Вписанные углы ∠ABD = ∠ACD, так как опираются на одну и ту же дугу АD, значит, ∠ABD = ∠ACD = ∠ОCD = 60°.

Точка О – центр вписанной в треугольник ∆ABD окружности. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. Тогда точка О лежит на биссектрисе АС угла ∠BAD и на биссектрисе OD угла ∠ADВ.

Так как угол ∠ADB = 30°, то угол ∠ADO = ∠ODB = 15°. Так как угол ∠BAD = 90°, то угол ∠BAO = ∠OAD = 45°.

Угол ∠СОD – внешний угол треугольника ∆AOD, следовательно, ∠СOD = ∠OAD + ∠ADO = 45° + 15° = 60°. Угол ∠СOD = 60°. Тогда треугольник ∆COD – равносторонний треугольник, в котором OC = OD = CD = 5√2.

Найдем площадь треугольника ∆COD: