Задачи на оптимальный вектор

Пример проверки вектора на оптимальность

Исследовать вектор Задачи на оптимальный векторна оптимальность в задаче ЛП:

Задачи на оптимальный вектор

Вначале нужно проверить, является ли вектор Задачи на оптимальный вектордопустимым. Для этого подставляем координаты вектора в ограничения:

Задачи на оптимальный вектор

Так как второе ограничение выполняется как строгое неравенство, то в силу УДН для оптимальности вектора Задачи на оптимальный векторнеобходимо выполнение равенства Задачи на оптимальный вектор.

Построим двойственную задачу:

Задачи на оптимальный вектор

Поскольку Задачи на оптимальный вектор, то из третьего и четвертого ограничений получаем Задачи на оптимальный вектор. Но по УДН из условия Задачи на оптимальный векторследует, что должно выполняться равенство в первом ограничении двойственной задачи:

Задачи на оптимальный вектор

Подставляя значения Задачи на оптимальный вектор, получим Задачи на оптимальный векторСледовательно, УДН не выполняются и вектор Задачи на оптимальный векторне является оптимальным в исходной задаче.

Метод Гомори

Постановка задачи ЦЛП

Задача целочисленного программирования (ЦЛП) формулируется так же, как и задача ЛП, но включается дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных, составляющих оптимальное решение, должны быть целыми неотрицательными числами:

Задачи на оптимальный вектор(22)

Симплекс-метод не гарантирует целочисленности решения задачи (22), поэтому для отыскания оптимального целочисленного решения задачи ЦЛП требуются специальные методы. Один из таких методов, приводящий к целочисленному решению за конечное число шагов, предложен американским математиком Р. Гомори [1,2]. Идея метода следующая.

С помощью симплекс-метода решается задача ЛП без условия целочисленности. Если оптимальное решение получается нецелочисленным, то вводится дополнительное ограничение, которое, уменьшая многогранник допустимых решений (отсекая некоторую его часть), не исключает из него целочисленных точек. Если оптимальное решение задачи ЛП с дополнительным ограничением целочисленное, то вычисления заканчивают; если же оптимальное решение содержит хотя бы одну дробную компоненту, добавляют новое дополнительное ограничение.

Процесс присоединения дополнительных ограничений повторяют до тех пор, пока либо не будет найдено целочисленное оптимальное решение, либо показано, что задача не имеет целочисленных решений.

Алгоритм метода Гомори

Шаг 1. Симплекс-методом находим оптимальное решение задачи (22) без учета условия целочисленности. Если задача не имеет решения, то неразрешима и исходная задача ЦЛП. В этом случае алгоритм завершает работу.

Шаг 2. Пусть оптимальная таблица имеет вид:

b Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
L Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор

Если элементы Задачи на оптимальный вектор– целочисленные, то оптимальное решение Задачи на оптимальный векторявляется целочисленным. В этом случае вычисления заканчиваем. Иначе, переходим к следующему шагу.

Шаг 3. Среди дробных компонент Задачи на оптимальный вектортаблицы выбираем элемент Задачи на оптимальный векторс максимальной дробной частью Задачи на оптимальный вектори по строке i составляем дополнительное ограничение:

Задачи на оптимальный вектор

Здесь Задачи на оптимальный вектор– целая часть числа Задачи на оптимальный вектор(наибольшее целое число, не превышающее число Задачи на оптимальный вектор).

Шаг 4. Добавляем построенное ограничение к последней симплекс-таблице и, применяя двойственный симплекс-метод, находим оптимальное решение. Переходим к шагу 2.

Замечания

Признаком отсутствия целочисленного решения служит появление в таблице хотя бы одной строки с дробным свободным членом и целыми остальными коэффициентами (поскольку соответствующее уравнение неразрешимо в целых числах).

На шаге 4 двойственный симплекс-метод применяется до тех пор, пока не будет получена оптимальная симплексная таблица (возможно, потребуется несколько итераций).

Если на шаге 4 в базис вводится переменная дополнительного ограничения Задачи на оптимальный вектор, то эта строка вычеркивается из симплексной таблицы (соответствующее ограничение является избыточным).

Пример решения задачи ЦЛП

Решить задачу ЦЛП:

Задачи на оптимальный вектор

Решаем задачу без условия целочисленности симплекс-методом. Оптимальная таблица имеет вид

b Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
L-14/3-4/3-2/3
Задачи на оптимальный вектор5/31/32/3
Задачи на оптимальный вектор4/32/3-2/3

Оптимальное решение Задачи на оптимальный векторне является целочисленным. Выберем среди нецелочисленных переменных Задачи на оптимальный векторпеременную Задачи на оптимальный векторс максимальной дробной частью и построим соответствующее отсечение:

Задачи на оптимальный вектор

Приписывая это ограничение к симплексной таблице, и проводя стандартное преобразование двойственным симплекс-методом, получим:

b Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
L-14/3-4/3-2/3
Задачи на оптимальный вектор5/31/32/3
Задачи на оптимальный вектор4/32/3-2/3
Задачи на оптимальный вектор-2/3-1/3-2/3
b Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
L-4-1-1
Задачи на оптимальный вектор101
Задачи на оптимальный вектор21-1
Задачи на оптимальный вектор11/2-3/2

Полученная таблица является оптимальной. Соответствующее оптимальное решение Задачи на оптимальный векторявляется целочисленным. Значение функции на этом решении Задачи на оптимальный вектор.

Транспортная задача ЛП

Постановка задачи

Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом. Имеется m пунктов производства (поставщиков) и n пунктов потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:

Задачи на оптимальный вектор— объем производства (запас) i-го поставщика, Задачи на оптимальный вектор;

Задачи на оптимальный вектор— объем потребления (спрос) j-го потребителя, Задачи на оптимальный вектор

Задачи на оптимальный вектор— стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукции от i-го поставщика к j-му потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос всех потребителей был бы выполнен, и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна [1,3].

Транспортная задача, в которой суммарные запасы Задачи на оптимальный вектори суммарные потребности Задачи на оптимальный векторсовпадают, называется закрытой моделью; в противном случае – открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой модели.

Математическая закрытая модель транспортной задачи имеет вид

Задачи на оптимальный вектор

В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, то есть Задачи на оптимальный вектор, вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого Задачи на оптимальный вектор.

В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, то есть Задачи на оптимальный вектор, вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого Задачи на оптимальный вектор.

Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

Прежде чем решать транспортную задачу, необходимо проверить, к какой модели она принадлежит, и если необходимо, то привести ее к закрытой модели.

Построение опорного плана транспортной задачи

Методы решения транспортной задачи сводятся к простым операциям с транспортной таблицей, которая имеет вид:

1n Задачи на оптимальный вектор
1 Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
m Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор
Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор Задачи на оптимальный вектор=

Базисными клетками транспортной таблицы являются клетки с отличными от нуля положительными перевозками, остальные клетки – свободные. Базисные клетки образуют опорный план транспортной задачи, еcли выполняются два условия:

сумма перевозок в каждой строке равна запасу Задачи на оптимальный векторв данной строке;

сумма перевозок в каждом столбце равна соответствующему спросу Задачи на оптимальный вектор.

Опорный план транспортной задачи содержит не более Задачи на оптимальный векторотличных от нуля перевозок Задачи на оптимальный вектор.

Опорный план называется вырожденным, если число ненулевых перевозок Задачи на оптимальный векторменьше Задачи на оптимальный вектор, опорный план – невырожденный, если число ненулевых перевозок равно Задачи на оптимальный вектор

Рассмотрим способы построения опорного плана в невырожденном и вырожденном случаях [1,3].

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Методы оптимизации (стр. 2 )

Задачи на оптимальный векторИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

Задачи на оптимальный вектор

Проверить вектор Задачи на оптимальный векторна оптимальность в следующей задаче ЛП:

Задачи на оптимальный вектор

Задачи на оптимальный вектор

Задачи на оптимальный вектор

еaijyi + cj, = 0, если хj >0 для jОJ2,

iЗадачи на оптимальный векторI – условие г)

Запишем условие г) признака оптимальности:

Задачи на оптимальный вектор

( т. к. Задачи на оптимальный вектор, следовательно, в первом и третьем ограничении условия 20 двойственной задачи достигается равенство)

Пример применения признака оптимальности в развернутой форме

Проверить вектор Задачи на оптимальный векторна оптимальность в следующей задаче ЛП:

Задачи на оптимальный вектор

Задачи на оптимальный вектор

Задачи на оптимальный вектор

д) отсутствует, т. к. ни одно ограничение 20 основной задачи не выполняется как строгое неравенство.

Из условия г) находим Задачи на оптимальный вектор.

Задачи на оптимальный вектор

Найден вектор Задачи на оптимальный вектор. Проверяем его допустимость в двойственной задаче, т. е. выясняем, выполняются ли условия I0 и 20 двойственной задачи. Т. к. все условия выполняются, вектор y является оптимальным в двойственной задаче, а вектор х=(1, 0, 1, 0) — оптимальным в основной задаче.

Основная теорема теории линейного программирования

Для разрешимости задачи математического программирования (как и в любой оптимизационной задачи) необходимо, чтобы множество допустимых решений было не пусто, и целевая функция на этом множестве была ограничена сверху (если задача на максимум), либо снизу (если задача на минимум).

Теорема двойственности. Каковы бы ни были исходные данные, для задач 1 и 1* имеет место один из следующих взаимоисключающих случаев.

1. В задачах 1 и 1* имеются оптимальные векторы х и у и Задачи на оптимальный вектор, т. е. обе задачи разрешимы.

2. В задаче 1 существуют допустимые векторы х из некоторого множества Х, но линейная функция Задачи на оптимальный векторна множестве этих векторов не ограничена сверху, т. е.Задачи на оптимальный вектор, тогда в задаче 1* нет допустимых векторов.

3. В задаче 1* существуют допустимые векторы Задачи на оптимальный вектор, но функция Задачи на оптимальный векторне ограничена снизу на множестве этих векторов, т. е. Задачи на оптимальный вектор, тогда в задаче 1 нет допустимых векторов.

4. В задачах 1 и 1* нет допустимых векторов, то есть Задачи на оптимальный вектор

Критерий разрешимости задачи ЛП

Для того, чтобы в двойственных задачах 1 и 1* существовали оптимальные векторы х и у, т. е. имел место случай 1 теоремы двойственности, достаточно выполнения одного из следующих условий:

1. в задаче 1 существует оптимальный вектор х

2. в задаче 1* существует оптимальный вектор у

3. в задаче 1 существует допустимый вектор х и функция Задачи на оптимальный векторограничена сверху

4. в задаче 1* существует допустимый вектор у и функция Задачи на оптимальный векторограничена снизу

5. в задачах 1 и 1* существуют допустимые векторы х и у

Следствие 2 (Необходимый признак оптимальности)

Допустимый признак оптимальности в краткой и развернутых формах является так же необходимым признаком.

Доказательство: пусть имеется оптимальный вектор х в задаче 1 и оптимальный вектор у в задаче 1*. Тогда на основании условий 2 теоремы о существовании имеет место случай 1 теоремы двойственности, то есть Задачи на оптимальный вектор.

Экономическая интерпретация двойственных задач

Пример. С внедрением новой технологии на некотором предприятии появилась возможность использовать отходы 1,2,3 — го видов производства, получаемых в количестве 70, 30, 15 единиц в сутки соответственно для производства двух видов изделий, пользующихся большим спросом. Известно, что для производства одного изделия первого вида требуется 4, 3, 0 единиц отходов 1, 2, 3-го видов соответственно; для производства одного изделия второго вида требуется 3, 4, 3 единиц отходов 1, 2, 3-го видов. Ожидаемая прибыль от реализации продукции I и II-го видов 12 и 15 рублей соответственно. Требуется составить план производства x=Задачи на оптимальный векторпродукции I и II-го видов, обеспечивающий наибольшую прибыль (задача ЛП).

Задача I. Найти Задачи на оптимальный вектор:

Задачи на оптимальный вектор

Экономическая интерпретация двойственных задач

Задача I. Найти Задачи на оптимальный вектор:

Задачи на оптимальный вектор

Это же предприятие получило возможность продавать отходы производства, для чего ему необходимо определить их цену. Пусть Задачи на оптимальный вектор— цена единицы отходов 1,2,3 — го видов. Естественно, что покупатель стремится к тому, чтобы суммарная цена всех отходов была наименьшей, а предприятию выгодно продавать их лишь в том случае, если выручка от продажи не меньше, чем прибыль от реализации готовых изделий.

Математическая модель задачи I

Задача II. Найти Задачи на оптимальный вектор:

Задачи на оптимальный вектор

Задачи I и II являются парой двойственных задач.

Прямые задачи линейного программирования в канонической форме

1 каноническая форма ЛП

2 каноническая форма ЛП

Задача 1. Максимизировать линейную функцию

Задачи на оптимальный вектор

на множестве векторов х=( х1,х2, …хn,),

2. Задачи на оптимальный вектор

Задача 2. Максимизировать функцию

Задачи на оптимальный вектор

на множестве векторов Задачи на оптимальный векторудовлетворяющих условиям

1. Задачи на оптимальный вектор

2.Задачи на оптимальный вектор

Задача 3. Максимизировать функцию

Задачи на оптимальный вектор

на множестве векторов Задачи на оптимальный векторудовлетворяющих условиям:

1.Задачи на оптимальный вектор

2.Задачи на оптимальный вектор

Двойственные задачи линейного программирования в канонической форме

1 каноническая форма ЛП

2 каноническая форма ЛП

Задача 1*. Минимизировать линейную функцию

Задачи на оптимальный векторна множестве векторов y=(y1,y2,…..ym),

2. Задачи на оптимальный вектор

Задача 2*. Минимизировать линейную функцию

Задачи на оптимальный вектор

на множестве векторов Задачи на оптимальный вектор, удовлетворяет условиям 1.Задачи на оптимальный вектор

2.Задачи на оптимальный вектор

Задача 3*. Минимизировать линейную функцию

Задачи на оптимальный вектор

на множестве векторов Задачи на оптимальный вектор, удовлетворяет условиям

2. Задачи на оптимальный вектор

Признак оптимальности для задач ЛП в канонической форме

Для оптимальности допустимого вектора х=(х1,х2…,хn,) достаточно существование m-мерного вектора у=(у1,у2,…,уm), удовлетворяющего условиям:

1 каноническая форма ЛП

2 каноническая форма ЛП

Замечание. Наиболее удобной для решения задач ЛП является 2 каноническая форма

Вторая каноническая форма задачи ЛП в векторной форме

Введем в рассмотрение m-мерные векторы: Задачи на оптимальный вектор

Тогда задачи 3 и 3* запишутся в следующей форме:

Задача А. Максимизировать линейную функцию

на множестве n-мерных векторов

1 .Задачи на оптимальный вектор, ,

Задача А*. Минимизировать линейную функцию

на множестве m-мерных векторов

удовлетворяющих системе линейных неравенств

2. Задачи на оптимальный вектор, .

Пусть Задачи на оптимальный векторm-мерное подмножество множества J.

Множество К называют базисным множеством, если отвечающие ему векторы Задачи на оптимальный векторявляются линейно не­зависимыми, т. е. образуют базис в пространстве Rm. Число векторов в базисном множестве К равно числу m уравнений в условии 2 задачи А:

Задачи на оптимальный векторmax

на множестве n-мерных векторов

1 .Задачи на оптимальный вектор, ,

Пример. Векторы Задачи на оптимальный вектор— линейно независимые, т. к. Задачи на оптимальный вектор, К=<1,2>.

Допустимое базисное множество

Для каждого базисного множества Задачи на оптимальный векторсистема линейных уравнений

относительно переменных xk, Задачи на оптимальный вектор, имеет единственное решение, отвечающее единственному разложению вектора — по соответствующим базисным векторам. Это решение можно дополнить до вектора х = (х1, х2, . . ., хn), удовлетворя­ющего условию Задачи на оптимальный вектор, положив Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор.

Получаемый таким образом вектор х = (х1, х2, . . ., хn) будет обозначать­ся через х (К).

Задачи на оптимальный вектор(17)

имеет единственное решение.

Если компоненты Задачи на оптимальный вектор, то вектор Задачи на оптимальный векторявляется допустимым вектором в задаче А.

В этом случае К называют допустимым базисным множеством (ДБМ),

Задачи на оптимальный вектор=( х1, х2, . . ., хm, 0,…,0).

Двойственно допустимое базисное множество

Задача А*. Минимизировать линейную функцию

на множестве m-мерных векторов

удовлетворяющих системе линейных неравенств

2. Задачи на оптимальный вектор, .

Для любого базисного множества К единственное решение у(К) имеет система:

Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор

Если вектор у(К) является допустимым в двойствен­ной задаче А* ( т. е. удовлетворяет условию 2), то множе­ство К называется двойственно допустимым базисным мно­жеством (ДДБМ).

Обозначим через Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор.

Если Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, то у(К) удовлетворяет условию 2), то есть является допустимым вектором в двойственной задаче А*.

Двойственно допустимое базисное множество

Итак, базисное множество является двойственно допустимым, если величины

Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, (18)

Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор(19)

Отметим, что величины (18) тесно связаны с коэффици­ентами разложения соответствующих векторов Задачи на оптимальный векторпо рассматриваемым базисным векторам, а именно:

Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, (20)

где Задачи на оптимальный вектор— коэффициенты разложения векторов Задачи на оптимальный векторпо рас­сматриваемому базису, т. е. Задачи на оптимальный вектор. (21)

Действительно, учитывая (18), (21) , Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектори свойства скалярного произведения, получаем

Задачи на оптимальный вектор. (22)

Каково бы ни было базисное множество K, для соответствующих векторов х(К) и у (К) имеет место равенство

Задачи на оптимальный вектор.

Доказательство. Так как Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, , получаем

Задачи на оптимальный вектор,

что и требовалось показать.▄

Следствие из леммы 2 и признака оптимальности

Задача А. Максимизировать линейную функцию

на множестве n-мерных векторов

1 .Задачи на оптимальный вектор, ,

Задача А*. Минимизировать линейную функцию

на множестве m-мерных векторов

удовлетворяющих системе линейных неравенств

2. Задачи на оптимальный вектор, .

Теорема. Если базисное множество К является одновременно допустимым и двойственно допустимым базисным множеством, то отвечающие ему векторы Задачи на оптимальный вектори Задачи на оптимальный вектороптимальные соответственно в задачах А и А*.

Доказательство. Пусть К – допустимое базисное множество и двойственно допустимое базисное множество. Это значит, что вектора Задачи на оптимальный вектори Задачи на оптимальный вектор— допустимые. На основании леммы 2 Задачи на оптимальный вектор, а это достаточно для того, чтобы вектор Задачи на оптимальный векторбыл оптимальным и вместе с ним и вектор Задачи на оптимальный вектор(см. краткую форму достаточного признака оптимальности)▄

Пусть задано некоторое базисное множество К и от­вечающий ему вектор

х (К) =(х1, х2, . . ., хп). Кроме того, для некоторого Задачи на оптимальный векторизвестны коэффициенты gk в разложении вектора Задачи на оптимальный векторпо соответствующим базисным векторам:

Задачи на оптимальный вектор=Задачи на оптимальный вектор.

Тогда при любом Задачи на оптимальный векторвектор Задачи на оптимальный вектор=(Задачи на оптимальный вектор) с компонентами

Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор,

удовлетворяет условию , причем значение линейной функции на этом векторе может быть вычислено по формуле

Задачи на оптимальный вектор,где величина Задачи на оптимальный векторопределяется из системы Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор.

Доказательство. Имеем: Задачи на оптимальный вектор= Задачи на оптимальный вектор(23)

После умножения соотношения (18) на Задачи на оптимальный вектори переноса всех его членов в левую часть получаем равенство: Задачи на оптимальный вектор(24)

Складывая (19) и (20), получаем

Задачи на оптимальный вектор. (26)

Следовательно, интересующий нас вектор Задачи на оптимальный векторудовлетворяет требуемому условию . Далее, для вектора Задачи на оптимальный векторвыполнены равенства (в силу того, что Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор, и (22))

Задачи на оптимальный вектор(27) ▄

Следствие 1 из леммы 3

Вектор Задачи на оптимальный вектордолжен удовлетворять условию неотрицательности, т. е.Задачи на оптимальный вектор.

Возможны два случая:

а). Все коэффициенты gk0 в Задачи на оптимальный вектор

б) среди коэффициентов gk име­ются положительные

Следствие 1. Если имеет место случай а), то векторы Задачи на оптимальный вектор, опреде­ляемые в лемме 3, являются допустимыми в задаче А при всех Задачи на оптимальный вектор, а линейная функ­ция на множестве таких векторов не ограничена сверху.

Задачи на оптимальный вектор

По теореме двойственности (слайд 42) в двойственной задаче допустимый вектор не существует, следовательно, вектор х не оптимальный ▄

Следствие 2 из леммы 3

Вектор Задачи на оптимальный вектордолжен удовлетворять условию неотрицательности, т. е.Задачи на оптимальный вектор.

Случай б) среди коэффициентов gk име­ются положительные

Следствие 2. Если имеет место случай б), то векторы Задачи на оптимальный векторявляются допустимыми в задаче А лишь при Задачи на оптимальный вектор, где

Задачи на оптимальный вектор,

Пусть ; выполняется всегда; . Тогда Задачи на оптимальный вектор, чтобы эти неравенства выполнялись одновременно, находят Задачи на оптимальный вектор

Метод последовательного улучшения допустимого вектора (МПУ)

МПУ состоит в последователь­ном выполнении идентичных шагов (опишем вычислительные процедуры одного шага). К началу очередного шага пусть имеются некоторое ДБМ К и отвечающий ему допустимый вектор х(K) = (х1, х2, . . ., хп). Над этими исходными данными выполняются следующие процедуры:

Зная базисные векторы Задачи на оптимальный вектори допустимый базисный вектор Задачи на оптимальный вектор=( х1, х2, . . ., хm, 0,…,0), решаем систему линейных уравнений:

Задачи на оптимальный вектор

Эта система имеет единственное решение Задачи на оптимальный вектор, т. к. К – это базисное множество.

Метод последовательного улучшения допустимого вектора (МПУ)

II. Проверка двойственной допустимости ДБМ К. Для найденного вектора у(К) вычисляются величины Задачи на оптимальный вектори проверяются неравенства Задачи на оптимальный вектор, Задачи на оптимальный вектор.

1. Находим величины Задачи на оптимальный вектор

При этом возможны два случая:

а) Задачи на оптимальный векторЗадачи на оптимальный вектор. Это означает, что базисное множество К является одновременно допустимым и двойственно допустимым базисным множеством. Тогда (по теореме: если базисное множество К является одновременно допустимым и двойственно допустимым базисным множеством, то отвечающие ему векторы Задачи на оптимальный вектори Задачи на оптимальный вектороптимальные соответственно в задачах А и А*) векторы х(К) и у (К) оптимальны для соответствующих задач и . На этом процесс заканчивается с выдачей искомых оптимальных векторов.

б) условие а) нарушается, т. е. К не является двойственно допустимым и вектор Задачи на оптимальный векторне допустимый в задаче А*. Надо найти Задачи на оптимальный векторЗадачи на оптимальный вектори перейти к выполнению следующей процедуры.

Метод последовательного улучшения допустимого вектора (МПУ)

III. Вычисление коэффициентов разложения вектора Задачи на оптимальный вектор по базисным векторам.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Примеры решений по векторной алгебре

Видео:Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

Векторная алгебра для чайников

В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач по векторной алгебре: вектора, углы, взаимное расположение на плоскости и пространстве, базис из векторов, действия с векторами и т.п.

Видео:ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)Скачать

ПРОСТОЙ СПОСОБ, как запомнить Векторы за 10 минут! (вы будете в шоке)

Решения задач с векторами

Задача 1. На оси $Ох$ найти точку, равноудаленную от точек $А(2;-4;5)$ и $В(-3;2;7)$.

Задача 2. Написать разложение вектора $X$ по векторам $(a, b, c)$.

Задача 3. Найти косинус угла между векторами $AB$ и $AC$.

Задача 4. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).$$

Задача 5. Компланарны ли вектора $a, b, c$? $$a=(-3;2;1), b=(3;1;2), c=(3;-1;4)$$

Задача 6. Заданы два вектора в пространстве. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
$a=(0;1;1), b=(-2;0;1).$

Задача 7. Сила $F$ приложена к точке $А$. Вычислить:
а) работу силы $F$ в случае, когда точка её приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку $В$;
b) модуль момента силы $F$ относительно точки $В$.

Задача 8. Найти ранг и базис системы векторов, перейти к новому базису. Записать разложения векторов по найденным базисам.

Задача 11. Написать разложение вектора $bar$ по векторам $bar, bar, bar$.

Задача 13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах $bar

$, $bar$.

📽️ Видео

ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс АтанасянСкачать

ВЕКТОРЫ решение задач 9 класс Атанасян

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

8 класс, 48 урок, Применение векторов к решению задачСкачать

8 класс, 48 урок, Применение векторов к решению задач

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Урок 11. Решение задач на действия с векторамиСкачать

Урок 11. Решение задач на действия с векторами

Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№18 - Компланарные векторы. Векторный метод решения задач.)

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Формулы векторов через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Формулы векторов через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Векторное произведение векторов решение задачСкачать

Векторное произведение векторов решение задач

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задач

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

Умножение вектора на число. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: