Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Равносторонний треугольник на клетчатой бумаге

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного вНа клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найти радиус вписанной в него окружности.

Поскольку формула радиуса вписанной в правильный треугольник окружности содержит иррациональность:

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

использовать её на экзамене, где требуется точный ответ, а не его приближённое значение, нет смысла. Да и длина стороны треугольника задана в таких заданиях не целым числом.

Зато высота треугольника — целое число. По свойству равностороннего треугольника его высота равна сумме радиусов вписанной и описанной окружности:

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного вИтак, чтобы найти радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, нужно посчитать по клеткам длину высоты и найти от неё треть.

В данной задаче длина высоты равна 9 клеткам (h=9), следовательно,

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найти радиус описанной около него окружности.

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного вНаходим по клеткам высоту данного треугольника:

Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности составляет две третьих его высоты:

Видео:Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, изображённого на клетчатой бумагеСкачать

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона

Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в(1)

где полупериметр p вычисляется из формулы:

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в.(2)

Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (( small b=c )), имеем:

( small p=frac ) ( small =frac, )(3)
( small p-a=frac-a ) ( small =frac, )(4)
( small p-b=p-c=frac-b ) ( small =frac. )(5)

Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в,
Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в.(6)

Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a,; b ) в (6):

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании

Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда ( small angle OCE=angle OCH=frac. ) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:

( small frac=frac<large frac>=mathrmfrac .)

Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac .)(8)
( small r=frac cdot frac .)(9)

Пример 2. Известны основание ( small a=15 ) и ( small beta=30° ) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения ( small a=15, ; beta=30° ) в (8):

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании

Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:

( small frac=frac<large frac>= cos beta .)
( small a=2b cdot cos beta .)(10)

Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac cdot mathrmfrac=frac cdot mathrmfrac ) ( small =b cos beta cdot mathrmfrac )
( small r=b cdot cos beta cdot mathrmfrac )(11)

Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:

( small r=b cdot frac )(12)

Пример 3. Известны боковая сторона равнобедренного треугольника: ( small b=9 ) и угол при основании β=35°. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11) (или (12)).

Подставим значения ( small b=9 ,; beta=35° ) в (11):

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

4. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота

Пусть известны боковая сторона b и высота h равнобедренного треугольника (Рис.4). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Формула радиуса вписанной окружности через площадь и полупериметр имеет следующий вид (см. статью на странице Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн) :

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в,(13)
Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в(14)

Так как треугольник AHC прямоугольный, то из Теоремы Пифагора имеем:

( small left( fracright)^2=b^2-h^2 )
( small a=2 cdot sqrt )(15)

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

( small S=frac cdot a cdot h. )(16)

Подставим (15) в (16):

( small S=h cdot sqrt )(17)

Учитывая, что для равнобедренного треугольника b=c, а также равенство (15), получим:

( small p=frac ) ( small =frac ) ( small =frac+b )( small =b+ sqrt )(18)

Подставляя, наконец, (17) и (18) в (13), получим формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:

( small r=frac ) ( small =frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt> )(19)

Пример 4. Боковая сторона и высота равнобедренного треугольника равны ( small b=7 ,) ( small h=5, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (19). Подставим значения ( small b=7 ,) ( small h=5 ) в (19):

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Видео:Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

5. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота

Пусть известны основание a и высота h равнобедренного треугольника (Рис.5). Найдем формулу радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности.

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Из формулы (15) найдем b:

( small b^2-h^2=left( frac right)^2 )
( small b^2= frac +h^2 )
( small b= frac cdot sqrt)(20)

Подставляя (20) в (19), получим формулу радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник:

( small r=frac<large h cdot sqrt><large b+ sqrt>) ( small =frac<large h cdot sqrt<frac+h^2-h^2>><large frac cdot sqrt+ sqrt<frac+h^2-h^2>>) ( small = large frac< h cdot frac>< frac cdot sqrt+frac >)
( small r=large frac<a+ sqrt>)(21)

Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны ( small a=7 ,) ( small h=9, ) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения ( small a=7 ,) ( small h=9 ) в (21):

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Ответ: Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Задача 10086 На клетчатой бумаге с размером клетки 1.

Условие

Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус вписанной в него окружности. Найдите радиус окружности вписанной окружности треугольника изображенного в

Решение

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности вычисляется по формуле: [b]r = a/(2sqrt(3))[/b], где а — сторона треугольника. Формулу запомните.

Но рисунок дан таким образом, что мы не можем посчитать сторону по клеткам. Зато мы можем посчитать высоту. h = 9 клеток. Высота и сторона в равностороннем треугольник связана следующем формулой (ее тоже запомните): [b]h = a*sqrt(3)/2[/b]

9 = a*sqrt(3)/2
a = 18/sqrt(3)

r = a/(2sqrt(3)) = (18/sqrt(3)) / (2sqrt(3)) = 18/6 = 3

💥 Видео

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Найдите радиус окружности, вписанной в изображенный на рисунке треугольник ABCСкачать

Найдите радиус окружности, вписанной в изображенный на рисунке треугольник ABC

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140Скачать

Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

15 задание треугольники огэ по математике / маттаймСкачать

15 задание треугольники огэ по математике / маттайм

Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #7
Поделиться или сохранить к себе: