Диагонали четырёхугольника равны $11$ и $16$. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника (см. рис.).
Объект авторского права ООО «Легион»
Вместе с этой задачей также решают:
Основания равнобедренной трапеции равны 20 и 50, а её боковые стороны равны 17. Найдите площадь трапеции.
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Сколько градусов составляет острый угол параллелограмма, если его площадь относится к площади прямоугольника как $1:√ $?
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^°$, катет $AC=16$, $sin A= / $ (см. рис.). Найдите $AB$.
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $30^°$. Боковая сторона треугольника равна $7$. Найдите площадь этого треугольника.
Диагональ четырехугольника равна 11 и 16
Диагонали четырехугольника равны 6 и 2. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
Диагонали четырехугольника равны 57 и 8. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
Диагонали четырехугольника равны 72 и 35. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Диагонали четырехугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно,
Диагональ четырехугольника равна 11 и 16
Источник задания: Решение 5351. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.
Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 9, ВС = CD = 11, AD = 15 и диагональю АС =16.
а) Докажите, что около него можно описать окружность.
б) Найдите диагональ BD.
а) Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов будет равна 180 градусов. Это необходимое и достаточное условие для доказательства этого положения. Докажем, что сумма углов 
. Рассмотрим треугольник ABC, в котором известны все стороны, тогда угол 
можно найти по теореме косинусов как
Аналогично для угла 
из треугольника ADC, имеем:
Таким образом, косинусы углов отличаются только знаком, следовательно, можно записать, что
то есть вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.
б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:
Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:
Вычтем (1) и (2), получим:
Подставим это значение в (2), найдем BD:
.
Ответ: 
.