Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение | Равнобедренный треугольник | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойство | Углы при основании равнобедренного треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Признак | Два равных угла треугольника | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойство | Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника | В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Признак | Высота треугольника, совпадающая с медианой | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Признак | Высота треугольника, совпадающая с биссектрисой | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Признак | Биссектриса треугольника, совпадающая с медианой |
Определение: равнобедренный треугольник | ||
Свойство: углы при основании равнобедренного треугольника | ||
Признак: два равных угла треугольника | ||
Свойство: медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию равнобедренного треугольника | ||
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают. | ||
Признак: высота треугольника, совпадающая с медианой | ||
Признак: высота треугольника, совпадающая с биссектрисой | ||
Признак: биссектриса треугольника, совпадающая с медианой | ||
Определение равнобедренного треугольника |
Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны.
Равные стороны называют боковыми сторонами равнобедренного треугольника, третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника.
Если треугольник является равнобедренным треугольником, то углы при его основании равны.
Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным треугольником.
В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые из вершины, противолежащей основанию, совпадают.
Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным
Если в треугольнике биссектриса совпадает с медианой, то этот треугольник является равнобедренным
Видео:ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. §10 геометрия 7 классСкачать
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.
Равные стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны
2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой
3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:
,
где – угол напротив основания.
4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой
5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Видео:Признаки равнобедренного треугольника - геометрия 7 классСкачать
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. |
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Видео:МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. ПАРАГРАФ-10Скачать
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
- Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
- Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!
Видео:Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Свойства и признаки равнобедренного треугольникаСкачать
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Значит, ∠A = ∠C = 80°.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
📺 Видео
7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Урок 11. Признаки равнобедренного треугольника (7 класс)Скачать
Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать
Задание 25 Признак равнобедренного треугольникаСкачать
Признаки равнобедренного треугольникаСкачать
Признак равнобедренного треугольника. №110Скачать