О чем эта статья:
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Определение параллелограмма
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.
Свойства диагоналей параллелограмма:
- В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
- Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
- Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
- Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
- Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Как найти площадь параллелограмма:
- S = a × h, где a — сторона, h — высота.
- S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
- Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.
У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!
Видео:Геометрия 8 класс. Параллелограмм, свойства параллелограммаСкачать
Свойства параллелограмма
Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.
Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD. - Противоположные углы параллелограмма равны.
ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. - Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC. - Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA. - Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°. - В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.
Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.
Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:
- AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
- ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
- Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
- CO = AO
- BO = DO
Теорема доказана. Наше предположение верно.
Видео:№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.Скачать
Признаки параллелограмма
Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.
Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 1 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
- AB || CD
- AB = CD
Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.
Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.
Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:
- AC — общая сторона;
- По условию AB = CD;
- ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.
Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:
Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.
Вот так быстро мы доказали первый признак.
Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 2 признак параллелограмма:
Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:
- AB = CD
- BC = AD
Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:
- AC — общая сторона;
- AB = CD по условию;
- BC = AD по условию.
Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.
Шаг 3. Из равенства треугольников следует:
А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.
Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.
Доказали второй признак.
Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Докажем 3 признак параллелограмма:
Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:
- CO = OA;
- DO = BO;
- углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.
Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.
Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).
Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.
Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.
Видео:8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать
Параллелограмм
Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, у которого
две любые стороны равны и параллельны.
На рисунке 1 изображен выпуклый четырехугольник MNPQ, со сторонами MN, PQ, MQ, NP. Чтобы доказать, что это параллелограмм, посмотрим
какие у него стороны. Итак, по рисунку 1 видно, что у этого выпуклого четырехугольника в первую очередь противоположные стороны равны: MN = PQ и NP = MQ.
Но нам этого еще недостаточно,так как равные противоположные стороны могут быть и у прямоугольника. Для того, чтобы можно было окончательно сказать,
что этот выпуклый четырехугольник — параллелограмм, надо во вторую очередь посмотреть параллельны, ли эти стороны. Сторона MN параллельна стороне PQ,
а сторона NP параллельна стороне MQ. Следовательно, у этого выпуклого четырехугольника две стороны равны и параллельны,а это значит, что это параллелограмм.
Докажем признак, который мы использовали для доказательства — о том, что если в четырехугольнике
две любые стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
На рисунке 2 изобразим выпуклый четырехугольник CPED. По условию CP = ED, CP || ED. Докажем, что CPED — параллелограмм.
- Проведем диагональCE, которая разделит выпуклый четырехугольник на два треугольника.
- Рассмотрим два треугольника: CPE и EDC.
- По условию CP = ED.
Сторона CE — общая.
∠ECP=∠CED, так как накрест лежащие углы при СP || ED и секущей CE.Следовательно, по двум сторонам и углу между ними — треугольник CPE равен треугольнику EDC. - Из этого всего следует, что соответствующие углы ∠ECD=∠CPE.
А так как эти углы — накрест лежащие при прямых PE, CD и секущей CE, то прямые PE и CD параллельны.
5) PE || CD, CP || ED и PE = CD, CP = ED, следовательно CPED — параллелограмм, ч.т.д.
Признак доказан.
Кроме признака параллелограмма, который мы сейчас доказали, существует еще несколько признаков,
которые мы рассмотрим и докажем в следующих статьях.
Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать
Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма
Видео:Параллелограмм. 8 класс.Скачать
Определение параллелограмма
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Видео:ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 классСкачать
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны
2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны
3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов
4. Сумма всех углов равна 360°
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма
7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:
8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник
Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны:
2. Противоположные углы попарно равны:
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
4. Противоположные стороны равны и параллельны:
5.
Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:
Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.
Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.
📺 Видео
Геометрия 8 класс (Урок№2 - Параллелограмм.)Скачать
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Задача В8 № 27610 ЕГЭ-2015 по математике. Урок 60Скачать
№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать
Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Признаки параллелограмма Доказательство признаков параллелограммаСкачать
Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.Скачать
Доказательство первого признака параллелограммаСкачать
Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
Первый признак параллелограмма (доказательство).Скачать
Свойства параллелограмма. 8 класс.Скачать