Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Треугольник вписанный в окружность

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.Скачать

Геометрия 9 класс. Вписанные и описанные окружности. Ключевая задача № 4.

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигде Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигде R — радиус описанной окружности Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Найдем радиус Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункивневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПо свойству касательной Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(по острому углу) следуетВписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункивписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии по свойству касательной к окружности Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигде Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— полупериметр треугольника, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиРадиусы Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см. рис. 95) Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункииз Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункикак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Ответ: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункисм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиа высоту, проведенную к основанию, — Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито получится пропорция Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипо теореме Пифагора Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см), откуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— общий) следует:Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Тогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см. рис. 97) Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, из Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки‘ откуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки= 3 (см).

Способ 4 (формула Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки). Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиИз формулы площади треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиследует: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиего вписанной окружности.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПоскольку ВК — высота и медиана, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиИз Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, откуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки.
В Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункикатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Откуда

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Ответ: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункираз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиразделить на Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигде с — гипотенуза.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, где Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— искомый радиус, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— катеты, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— гипотенуза треугольника.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии гипотенузой Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункикасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Тогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиНо Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, т. е. Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, откуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Следствие: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Формула Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункив сочетании с формулами Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункидает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиНайти Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки.

Решение:

Так как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Из формулы Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиследует Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. По теореме Виета (обратной) Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— посторонний корень.
Ответ: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— квадрат, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
По свойству касательных Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Тогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПо теореме Пифагора

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Следовательно, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Радиус описанной окружности Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункизначения Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиполучим Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПо теореме Пифагора Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, т. е. Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункирадиус вписанной в него окружности Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункивписанной окружности, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— высота Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипо катету и гипотенузе.
Площадь Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиравна сумме удвоенной площади Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии площади квадрата CMON, т. е.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиследует Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВозведем части равенства в квадрат: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиследует, что Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиИз формулы Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиследует, что Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиАналогично доказывается, что Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито около него можно описать окружность.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиили внутри нее в положении Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункине была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункикоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункичто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Для описанного многоугольника справедлива формула Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, где S — его площадь, р — полупериметр, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как у ромба все стороны равны , то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиИскомый радиус вписанной окружности Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункинайдем площадь данного ромба: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПоскольку Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см), то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиОтсюда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см).

Ответ: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункисм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункитрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПо свойству описанного четырехугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиОтсюда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункикак внутренние односторонние углы при Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии секущей CD, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 131). Тогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— прямоугольный, радиус Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиили Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВысота Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как по свой­ству описанного четырехугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВ прямоугольном треугольнике ABM Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как АВ = AM + МВ, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункит. е. Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. После преобразований получим: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиАналогично: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Ответ: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Замечание. Если Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 141), то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПусть в трапеции ABCD основания Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— боковые стороны, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Известно, что в равнобедренной трапеции Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиОтсюда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиОтвет: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункибоковой стороной с, высотой h, средней линией Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии радиусом Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункивписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункитреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— соответствующие линейные элемен­ты Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Действительно, из подобия указанных треугольников Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Пример:

Пусть Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(см. рис. 148). Найдем Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиПо обобщенной теореме Пифагора Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиотсюда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
Ответ: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, и Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаВписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигде b — боковая сторона, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиРадиус вписанной окружности Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиТак как Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункито Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиИскомое расстояние Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиоткуда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункигде Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— полупериметр, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— центр окружности, описанной около треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, поэтому Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункисуществует точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункибудет центром описанной окружности, а отрезки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— ее радиусами.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Проведем серединные перпендикуляры Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункисторон Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункисоответственно. Пусть точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипринадлежит серединному перпендикуляру Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Так как точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипринадлежит серединному перпендикуляру Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Значит, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиВписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, т. е. точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, отрезки Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиусы, проведенные в точки касания, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункисуществует точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункибудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Проведем биссектрисы углов Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— точка их пересечения. Так как точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипринадлежит биссектрисе угла Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, то она равноудалена от сторон Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункипринадлежит биссектрисе угла Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, то она равноудалена от сторон Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Следовательно, точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункиравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, где Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиус вписанной окружности, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— катеты, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— гипотенуза.

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Решение:

В треугольнике Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки(рис. 302) Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— центр вписанной окружности, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— точки касания вписанной окружности со сторонами Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункисоответственно.

Отрезок Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки.

Так как точка Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— центр вписанной окружности, то Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— биссектриса угла Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисункии Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Тогда Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки— равнобедренный прямоугольный, Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Вписанные и описанные окружности с треугольниками рисунки

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

Вписанная и описанная окружности.Скачать

Вписанная и описанная окружности.

Вписанные и описанные окружности. С. р. 3 в1 9 классСкачать

Вписанные и описанные окружности. С. р. 3 в1 9 класс

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

С. р. #3. Вариант 2. 9 класс. Геометрия. Вписанные и описанные окружностиСкачать

С. р. #3. Вариант 2. 9 класс. Геометрия. Вписанные и описанные окружности
Поделиться или сохранить к себе: