Как построить комплексное число в виде вектора

Комплексные числа
Как построить комплексное число в виде вектораАлгебраическая форма записи комплексных чисел
Как построить комплексное число в виде вектораСложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Как построить комплексное число в виде вектораКомплексно сопряженные числа
Как построить комплексное число в виде вектораМодуль комплексного числа
Как построить комплексное число в виде вектораДеление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Как построить комплексное число в виде вектораИзображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
Как построить комплексное число в виде вектораАргумент комплексного числа
Как построить комплексное число в виде вектораТригонометрическая форма записи комплексного числа
Как построить комплексное число в виде вектораФормула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
Как построить комплексное число в виде вектораУмножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Как построить комплексное число в виде вектораИзвлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Как построить комплексное число в виде вектора

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Видео:2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .(2)

По этой причине

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТ

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и Как построить комплексное число в виде векторау которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора

Видео:10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать

10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Как построить комплексное число в виде вектора

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

Как построить комплексное число в виде вектора

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Как построить комплексное число в виде вектора

Деление на нуль запрещено.

Видео:Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать

Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Как построить комплексное число в виде вектора

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Тригонометрическая форма комплексного числа

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Как построить комплексное число в виде вектора

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Как построить комплексное число в виде вектора

Тогда оказывается справедливым равенство:

Как построить комплексное число в виде вектора

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Как построить комплексное число в виде вектора(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

Как построить комплексное число в виде вектора(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и yГлавное значение аргументаАргументПримеры
Положительная
вещественная
полуось
0φ = 2kπКак построить комплексное число в виде вектора
Первый
квадрант
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Положительная
мнимая
полуось
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Второй
квадрант
Как построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектораКак построить комплексное число в виде вектора
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргументφ = 2kπ
ПримерыКак построить комплексное число в виде вектора
Расположение
числа z
Первый
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как построить комплексное число в виде вектора
АргументКак построить комплексное число в виде вектора
ПримерыКак построить комплексное число в виде вектора
Расположение
числа z
Положительная
мнимая
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как построить комплексное число в виде вектора
АргументКак построить комплексное число в виде вектора
ПримерыКак построить комплексное число в виде вектора
Расположение
числа z
Второй
квадрант
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
Как построить комплексное число в виде вектора
АргументКак построить комплексное число в виде вектора
ПримерыКак построить комплексное число в виде вектора

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Как построить комплексное число в виде вектора

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение
числа z
Отрицательная
вещественная
полуось
Знаки x и yТретий
квадрант
Знаки x и yОтрицательная
мнимая
полуось
Знаки x и yЧетвёртый
квадрант
Знаки x и y
z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Видео:Александр Чирцов про комплексные числа и вектораСкачать

Александр Чирцов про комплексные числа и вектора

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел Как построить комплексное число в виде вектораи Как построить комплексное число в виде векторазаписанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Как построить комплексное число в виде вектора

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Видео:10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать

10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над ними

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть Как построить комплексное число в виде вектора— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z0 , где Как построить комплексное число в виде вектораназывают такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

Как построить комплексное число в виде вектора

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

Как построить комплексное число в виде вектора

следствием которых являются равенства

Как построить комплексное число в виде вектора(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

Как построить комплексное число в виде вектора(10)

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса Как построить комплексное число в виде векторас центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

Как построить комплексное число в виде вектора

то по формуле (10) получаем:

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.

Как построить комплексное число в виде вектора

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i 0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть Как построить комплексное число в виде вектора .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а yмнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и Как построить комплексное число в виде вектора называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Как построить комплексное число в виде вектора

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора Как построить комплексное число в виде вектора . Длина вектора Как построить комплексное число в виде вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Как построить комплексное число в виде вектора называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа Как построить комплексное число в виде вектора – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого k ( k =0;1;1;2;2…): Как построить комплексное число в виде вектора , где arg zглавное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора Как построить комплексное число в виде вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число Как построить комплексное число в виде вектора можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол Как построить комплексное число в виде вектора ( k =0;1;1;2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа Как построить комплексное число в виде вектора в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z 1 имеем Как построить комплексное число в виде вектора . Поэтому Как построить комплексное число в виде вектора .

Для действительного числа Как построить комплексное число в виде вектора . Поэтому

Как построить комплексное число в виде вектора

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Как построить комплексное число в виде вектора

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z 1 z 2 изображается вектором, соединяющим концы векторов Как построить комплексное число в виде вектора , и исходящим из конца вычитаемого Как построить комплексное число в виде вектора в конец уменьшаемого Как построить комплексное число в виде вектора (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = 1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел Как построить комплексное число в виде вектора и Как построить комплексное число в виде вектора . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z 1 и Как построить комплексное число в виде вектора называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z 2, дает число z 1, то есть Как построить комплексное число в виде вектора , если Как построить комплексное число в виде вектора .

Пусть Как построить комплексное число в виде вектора , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби Как построить комплексное число в виде вектора на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = 1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел Как построить комплексное число в виде вектора .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна Как построить комплексное число в виде вектора .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна Как построить комплексное число в виде вектора .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Как построить комплексное число в виде вектора

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел Как построить комплексное число в виде вектора , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z 2 можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Как построить комплексное число в виде вектора

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

Как построить комплексное число в виде вектора

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть Как построить комплексное число в виде вектора , если ω n = z .

Пусть Как построить комплексное число в виде вектора , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: Как построить комплексное число в виде вектора . Сравнивания части этого равенства, получим: Как построить комплексное число в виде вектора . Отсюда Как построить комплексное число в виде вектора (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого Как построить комплексное число в виде вектора корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Как построить комплексное число в виде вектора

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен Pn ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a ib Как построить комплексное число в виде вектора

В разложение многочлена Как построить комплексное число в виде вектора комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения Как построить комплексное число в виде вектора , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Как построить комплексное число в виде вектора

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Как построить комплексное число в виде вектора

Переменный ток долгое время не находил практического применения. Это было связано с тем, что первые генераторы электрической энергии вырабатывали постоянный ток, который вполне удовлетворял технологическим процессам электрохимии, а двигатели постоянного тока обладают хорошими регулировочными характеристиками. Однако по мере развития производства постоянный ток все менее стал удовлетворять возрастающим требованиям экономичного электроснабжения. Переменный ток дал возможность эффективного дробления электрической энергии и изменения величины напряжения с помощью трансформаторов. Появилась возможность производства электроэнергии на крупных электростанциях с последующим экономичным ее распределением потребителям, увеличился радиус электроснабжения.

В настоящее время центральное производство и распределение электрической энергии осуществляется в основном на переменном токе. Цепи с изменяющимися – переменными – токами по сравнению с цепями постоянного тока имеют ряд особенностей. Переменные токи и напряжения вызывают переменные электрические и магнитные поля. В результате изменения этих полей в цепях возникают явления самоиндукции и взаимной индукции, которые оказывают самое существенное влияние на процессы, протекающие в цепях, усложняя их анализ.

Переменным током (напряжением, ЭДС и т.д.) называется ток (напряжение, ЭДС и т.д.), изменяющийся во времени. Токи, значения которых повторяются через равные промежутки времени в одной и той же последовательности, называются периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока имеем

Как построить комплексное число в виде вектора,(1)

Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц):

Как построить комплексное число в виде вектора,(2)

Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0.01 ¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000 ¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота f = 50Гц .

Мгновенное значение переменной величины есть функция времени. Ее принято обозначать строчной буквой:

i — мгновенное значение тока Как построить комплексное число в виде вектора ;

u – мгновенное значение напряжения Как построить комплексное число в виде вектора ;

е — мгновенное значение ЭДС Как построить комплексное число в виде вектора ;

р — мгновенное значение мощности Как построить комплексное число в виде вектора .

Наибольшее мгновенное значение переменной величины за период называется амплитудой (ее принято обозначать заглавной буквой с индексом m ) .

Как построить комплексное число в виде вектора — амплитуда тока;

Как построить комплексное число в виде вектора — амплитуда напряжения;

Как построить комплексное число в виде вектора — амплитуда ЭДС.

Действующее значение переменного тока

Значение периодического тока, равное такому значению постоянного тока, который за время одного периода произведет тот же самый тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток, называют действующим значением периодического тока:

Как построить комплексное число в виде вектора,(3)

Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения.

Синусоидально изменяющийся ток

Из всех возможных форм периодических токов наибольшее распространение получил синусоидальный ток. По сравнению с другими видами тока синусоидальный ток имеет то преимущество, что позволяет в общем случае наиболее экономично осуществлять производство, передачу, распределение и использование электрической энергии. Только при использовании синусоидального тока удается сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов на всех участках сложной линейной цепи. Теория синусоидального тока является ключом к пониманию теории других цепей.

Изображение синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов на плоскости декартовых координат

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями, представить в виде векторов на декартовой плоскости или комплексными числами.

Приведенным на рис. 1, 2 графикам двух синусоидальных ЭДС е1 и е2 соответствуют уравнения:

Как построить комплексное число в виде вектора Как построить комплексное число в виде вектора .

Как построить комплексное число в виде вектора
Значения аргументов синусоидальных функций Как построить комплексное число в виде вектора и Как построить комплексное число в виде вектора называются фазами синусоид, а значение фазы в начальный момент времени ( t =0): Как построить комплексное число в виде вектора и Как построить комплексное число в виде вектора начальной фазой ( Как построить комплексное число в виде вектора Как построить комплексное число в виде вектора ).

Величину Как построить комплексное число в виде вектора , характеризующую скорость изменения фазового угла, называют угловой частотой. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на Как построить комплексное число в виде вектора рад., то угловая частота есть Как построить комплексное число в виде вектора , где f– частота.

При совместном рассмотрении двух синусоидальных величин одной частоты разность их фазовых углов, равную разности начальных фаз, называют углом сдвига фаз.

Для синусоидальных ЭДС е1 и е2 угол сдвига фаз:

Как построить комплексное число в виде вектора .

Векторное изображение синусоидально
изменяющихся величин

На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в ТОЭ данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной w . Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям ЭДС е1 и е2 (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами. При построении векторных диаграмм векторы удобно располагать для начального момента времени ( t =0), что вытекает из равенства угловых частот синусоидальных величин и эквивалентно тому, что система декартовых координат сама вращается против часовой стрелки со скоростью w . Таким образом, в этой системе координат векторы неподвижны (рис. 4). Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Как построить комплексное число в виде вектора

Пусть, например, в точке разветвления цепи (рис. 5) общий ток Как построить комплексное число в виде вектора равен сумме токов Как построить комплексное число в виде вектора и Как построить комплексное число в виде вектора двух ветвей:

Как построить комплексное число в виде вектора

Как построить комплексное число в виде вектора.

Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Как построить комплексное число в виде вектораи Как построить комплексное число в виде вектора.

Результирующий ток также будет синусоидален:

Как построить комплексное число в виде вектора.

Определение амплитуды Как построить комплексное число в виде вектораи начальной фазы Как построить комплексное число в виде вектораэтого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

Как построить комплексное число в виде вектора

На рис. 6 изображены начальные положения векторов токов, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t =0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью w их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным Как построить комплексное число в виде вектора .

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Как построить комплексное число в виде вектора .

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения Как построить комплексное число в виде вектора и Как построить комплексное число в виде вектора из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения Как построить комплексное число в виде вектора путем формального учета угловой частоты: Как построить комплексное число в виде вектора .

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений
и токов комплексными числами

Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.

Как построить комплексное число в виде вектора

Каждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :

показательной Как построить комплексное число в виде вектора

тригонометрической Как построить комплексное число в виде вектора или

алгебраической Как построить комплексное число в виде вектораформах.

Например, ЭДС Как построить комплексное число в виде вектора , изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует комплексное число

Как построить комплексное число в виде вектора .

Фазовый угол Как построить комплексное число в виде вектора определяется по проекциям вектора на оси “+1” и “+j” системы координат, как

Как построить комплексное число в виде вектора .

В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:

Как построить комплексное число в виде вектора,(4)

Комплексное число Как построить комплексное число в виде вектора удобно представить в виде произведения двух комплексных чисел:

Как построить комплексное число в виде вектора,(5)

Параметр Как построить комплексное число в виде вектора , соответствующий положению вектора для t =0 (или на вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой: Как построить комплексное число в виде вектора , а параметр Как построить комплексное число в виде векторакомплексом мгновенного значения.

Параметр Как построить комплексное число в виде вектора является оператором поворота вектора на угол w t относительно начального положения вектора.

Вообще говоря, умножение вектора на оператор поворота Как построить комплексное число в виде вектораесть его поворот относительно первоначального положения на угол ± a .

Следовательно, мгновенное значение синусоидальной величины равно мнимой части без знака “j” произведения комплекса амплитуды Как построить комплексное число в виде вектора и оператора поворота Как построить комплексное число в виде вектора :

Как построить комплексное число в виде вектора .

Переход от одной формы записи синусоидальной величины к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

Как построить комплексное число в виде вектора,(6)

Если, например, комплексная амплитуда напряжения задана в виде комплексного числа в алгебраической форме:

Как построить комплексное число в виде вектора ,

— то для записи ее в показательной форме, необходимо найти начальную фазу Как построить комплексное число в виде вектора , т.е. угол, который образует вектор Как построить комплексное число в виде вектора с положительной полуосью +1:

Как построить комплексное число в виде вектора .

Тогда мгновенное значение напряжения:

Как построить комплексное число в виде вектора ,

где Как построить комплексное число в виде вектора .

При записи выражения для определенности было принято, что Как построить комплексное число в виде вектора , т.е. что изображающий вектор находится в первом или четвертом квадрантах. Если Как построить комплексное число в виде вектора , то при Как построить комплексное число в виде вектора (второй квадрант)

Как построить комплексное число в виде вектора,(7)

а при Как построить комплексное число в виде вектора (третий квадрант)

Как построить комплексное число в виде вектора(8)
Как построить комплексное число в виде вектора(9)

Если задано мгновенное значение тока в виде Как построить комплексное число в виде вектора , то комплексную амплитуду записывают сначала в показательной форме, а затем (при необходимости) по формуле Эйлера переходят к алгебраической форме:

Как построить комплексное число в виде вектора .

Следует указать, что при сложении и вычитании комплексов следует пользоваться алгебраической формой их записи, а при умножении и делении удобна показательная форма.

Итак, применение комплексных чисел позволяет перейти от геометрических операций над векторами к алгебраическим над комплексами. Так при определении комплексной амплитуды результирующего тока Как построить комплексное число в виде вектора по рис. 5 получим:

Как построить комплексное число в виде вектора
где Как построить комплексное число в виде вектора
;

Как построить комплексное число в виде вектора .

Действующее значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В соответствии с выражением (3) для действующего значения синусоидального тока запишем:

Как построить комплексное число в виде вектора .

Аналогичный результат можно получить для синусоидальных ЭДС и напряжений. Таким образом, действующие значения синусоидальных тока, ЭДС и напряжения меньше своих амплитудных значений в Как построить комплексное число в виде вектора раз:

Как построить комплексное число в виде вектора.(10)

Поскольку, как будет показано далее, энергетический расчет цепей переменного тока обычно проводится с использованием действующих значений величин, по аналогии с предыдущим введем понятие комплекса действующего значения

Как построить комплексное число в виде вектора .

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какой практический смысл имеет изображение синусоидальных величин с помощью векторов?

2. Какой практический смысл имеет представление синусоидальных величин с использованием комплексных чисел?

3. В чем заключаются преимущества изображения синусоидальных величин с помощью комплексов по сравнению с их векторным представлением?

4. Для заданных синусоидальных функций ЭДС и тока Как построить комплексное число в виде вектора записать соответствующие им комплексы амплитуд и действующих значений, а также комплексы мгновенных значений.

5. На рис. 5 Как построить комплексное число в виде вектора , а Как построить комплексное число в виде вектора . Определить Как построить комплексное число в виде вектора .

Ответ: Как построить комплексное число в виде вектора .

📸 Видео

1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскостиСкачать

1.2 Комплексные числа и их представление векторами на комплексной плоскости

Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать

Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числа

✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис ТрушинСкачать

✓ Комплексные числа. Введение | Ботай со мной #039 | Борис Трушин

Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательнуюСкачать

Перевод комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую, показательную

Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

4. Показательная форма комплексного числаСкачать

4. Показательная форма комплексного числа

Представление комплексных чисел синусоидальными величинамиСкачать

Представление комплексных чисел синусоидальными величинами

10 класс, 33 урок, Комплексные числа и координатная плоскостьСкачать

10 класс, 33 урок, Комплексные числа и координатная плоскость
Поделиться или сохранить к себе: