Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Корреляционная таблица

Пример 1 . По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X . Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y .

y/x152025303540
10022
12043103
140250710
160143
18011

Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
где x x , y — выборочные средние величин x и y, σx, σy — выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ 2 x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 — 27.961 2 = 30.31
σ 2 y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 — 136.893 2 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицуи Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
Определим коэффициент корреляции:
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 — 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
и уравнение x(y):
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Пример 2 . По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x . Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y . Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:

X / Y246810
154200
206330
300123
500001

Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ 2 x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 — 5.53 2 = 6.58
σ 2 y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 — 1.93 2 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 2.57 и σy = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 — 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
и вычисляя, получаем:
yx = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
и вычисляя, получаем:
xy = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.

Пример 3 . Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение

Пример . По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.

Пример 4 . Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4

Пример 5 . С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X — величина месячной прибыли в тыс. руб., Y — месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7

Пример 6 . Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение

Пример 7 . Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y — усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.

X / Y02712172227323742
03600000000
125108448200000
230506021550000
311133321323100
4055131372000
500121263210
60101002101
70011000100

Решение.
Скачать решение

Пример 8 . По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:

  1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
  2. Определить линии регрессии и построить их графики.

Скачать

Видео:Ковариационная матрицаСкачать

Ковариационная матрица

Ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора

В случае многомерной случайной величины (случайного вектора) характеристикой разброса ее составляющих и связей между ними является ковариационная матрица.

Ковариационная матрица определяется как математическое ожидание произведения центрированного случайного вектора на тот же, но транспонированный вектор:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

где Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Ковариационная матрица имеет вид

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

где по диагонали стоят дисперсии координат случайного вектора on=DXi, o22=DX2, окк = DXk, а остальные элементы представляют собой ковариации между координатами

Ковариационная матрица является симметрической матрицей, т.е. Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Для примера рассмотрим ковариационную матрицу двумерного вектора

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Аналогично получается ковариационная матрица для любого /^-мерного вектора.

Дисперсии координат можно представить в виде

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

где Gi,C2. 0? — средние квадратичные отклонения координат случайного вектора.

Коэффициентом корреляции называется, как известно, отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

После нормирования по последнему соотношению членов ковариационной матрицы получают корреляционную матрицу

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

которая является симметрической и неотрицательно определенной.

Многомерным аналогом дисперсии случайной величины является обобщенная дисперсия, под которой понимается величина определителя ковариационной матрицы

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Другой общей характеристикой степени разброса многомерной случайной величины является след ковариационной матрицы

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

где т — вектор-столбец математических ожиданий;

|Х| — определитель ковариационной матрицы X;

? -1 — обратная ковариационная матрица.

Матрица X -1 , обратная к матрице X размерности пх п, может быть получена различными способами. Одним из них является метод Жордана—Гаусса. В этом случае составляется матричное уравнение Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

где х — вектор-столбец переменных, число которых равно я; b — я-мерный вектор-столбец правых частей.

Умножим слева уравнение (6.21) на обратную матрицу ХГ 1 :

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Так как произведение обратной матрицы на данную дает единичную матрицу Е, то

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Если вместо b взять единичный вектор

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

то произведение X -1 х дает первый столбец обратной матрицы. Если же взять второй единичный вектор

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

то произведение Е 1 е2 дает первый столбец обратной матрицы и т.д. Таким образом, последовательно решая уравнения

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

методом Жордана—Гаусса, получаем все столбцы обратной матрицы.

Другой метод получения матрицы, обратной к матрице Е, связан с вычислением алгебраических дополнений AtJ.= (/= 1, 2. п; j = 1, 2, . п) к элементам данной матрицы Е, подстановкой их вместо элементов матрицы Е и транспортированием такой матрицы:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Обратная матрица получается после деления элементов В на определитель матрицы Е:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Важной особенностью получения обратной матрицы в данном случае является то, что ковариационная матрица Е является слабо обусловленной. Это приводит к тому, что при обращении таких матриц могут возникать достаточно серьезные ошибки. Все это требует обеспечения необходимой точности вычислительного процесса или использования специальных методов при вычислении таких матриц.

Пример. Написать выражение плотности вероятности для нормально распределенной двумерной случайной величины <Xv Х2)

при условии, что математические ожидания, дисперсии и ковариации этих величин имеют следующие значения:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Решение. Обратную ковариационную матрицу для матрицы (6.19) можно получить, используя следующее выражение обратной матрицы к матрице X:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

где А — определитель матрицы X.

Аи, Л12, А21, А22 — алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы X.

Тогда для матрицы ]г- ! получаем выражение

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Так как а12 = 01О2Р и °2i =a 2 a iP> а a i2 a 2i = cyfст|р, то Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу Значит,

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Функция плотности вероятности запишется в виде

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Подставив исходные данные, получим следующее выражение для функции плотности вероятности

Видео:Корреляция и ковариация двумерной случайной величиныСкачать

Корреляция и ковариация двумерной случайной величины

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

6.5.1 лПЧБТЙБГЙС. лПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛПТТЕМСГЙЙ

рХУФШ ЪБДБОП ЧЕТПСФОПУФОПЕ РТПУФТБОУФЧП ( W , F, P) Й ДЧЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η ОБ ОЕН.

пртедемеойе 6.5.1.1
лпчбтйбгйек ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ Й η ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМП, ПРТЕДЕМСЕНПЕ РП ЖПТНХМЕ: M((ξ — Mξ)(η — Mη)).

пвпъобюеойе: cov(ξ, η) = M((ξ — Mξ)(η — Mη))(6.5.1.1)

пЮЕЧЙДОП, ЮФП cov(ξ, η) НПЦОП ОБКФЙ ФПМШЛП Ч ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ УХЭЕУФЧХАФ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ПЦЙДБОЙС.

ъбнеюбойе. жПТНХМБ (6.5.1.1) Ч ТБУЮЕФБИ ЙУРПМШЪХЕФУС ТЕДЛП. пРЙТБСУШ ОБ УЧПКУФЧБ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС Й ДЙУРЕТУЙЙ, НПЦОП РПМХЮЙФШ ВПМЕЕ ХДПВОЩЕ ДМС ТБУЮЕФПЧ ЖПТНХМЩ.

M((ξ — Mξ)(η — Mη)) = M(ξη — ηMξ — ξMη + MξMη) =

= M(ξη) — MξMη — MξMη + MξMη = M(ξη) — MξMη. уМЕДПЧБФЕМШОП,

D(ξ + η) = Dξ + Dη + 2M(ξη) — 2MξMη = Dξ + Dη + 2cov(ξ, η) (уНПФТЙ 6.2.2).

D(ξ — η) = D(ξ + (-η)) = Dξ + D(-η) — 2M(ξ(-η)) — MξM(-η) =
= Dξ + D(-η) — 2(M(ξη) — MξMη) = Dξ + Dη — 2cov(ξ, η).

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

фептенб 6.5.1.1 (уЧПКУФЧБ ЛПЧБТЙБГЙЙ ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО)
1. еУМЙ ξ Й η — ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ, ФП cov(ξ, η) = 0.
2. cov(ξ, η) = cov(η, ξ).
3. cov(ξ, ξ) = Dξ.
4. cov(ξ, Cη) = Ccov(ξ, η),
cov(Cξ, η) = Ccov(ξ, η), » C п R.
5. cov(ξ1 + ξ2, η) = cov(ξ1, η) + cov(ξ2, η);
cov(ξ, η1 + η2) = cov(ξ, η1) + cov(ξ, η2).

уРТБЧЕДМЙЧПУФШ ХФЧЕТЦДЕОЙК 2-3 УМЕДХЕФ ЙЪ ЖПТНХМЩ (6.5.1.2). дМС ДПЛБЪБФЕМШУФЧБ ПУФБМШОЩИ ЧПУРПМШЪХЕНУС УППФЧЕФУФЧХАЭЙНЙ УЧПКУФЧБНЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЗП ПЦЙДБОЙС.

1) cov(ξ, η) = M(ξη) — MξMη = MξMη — MξMη = 0, ФБЛ ЛБЛ ДМС ОЕЪБЧЙУЙНЩИ η, ξ M(ξη) = MξMη.

4) cov(ξ, Cη) = M(ξCη) — MξM(Cη) = CM(ξη) — CMξMη = Ccov(ξ, η).

уРТБЧЕДМЙЧПУФШ ЧФПТПК ЖПТНХМЩ НПЦОП ДПЛБЪБФШ МЙВП БОБМПЗЙЮОП, МЙВП, ЙУРПМШЪХС УЧПКУФЧП 2.

уРТБЧЕДМЙЧПУФШ ЧФПТПК ЖПТНХМЩ НПЦОП ДПЛБЪБФШ МЙВП БОБМПЗЙЮОП, МЙВП ЙУРПМШЪХС УЧПКУФЧП 2.

умедуфчйе 6.5.1.1
1. cov(ξ, C) = cov(C, ξ) = 0, » C п R.
2. cov(ξ, Aξ + B) = cov(Aξ+B, ξ) = ADξ, » A, B п R.

1) рПУФПСООХА у НПЦОП ТБУУНБФТЙЧБФШ ЛБЛ УМХЮБКОХА ЧЕМЙЮЙОХ η, РТЙОЙНБАЭХА ПДОП ЪОБЮЕОЙЕ у У ЧЕТПСФОПУФША 1. пЮЕЧЙДОП, ЮФП Ч ЬФПН УМХЮБЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η — ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ Й, УМЕДПЧБФЕМШОП, cov(ξ, η) = 0.

2) cov(ξ, Aξ + B) = cov(ξ, Aξ) + cov(ξ, B) = Acov(ξ, ξ) + 0 = ADξ.

ъбнеюбойе. уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП ЙЪ cov(ξ, η) = 0 ОЕ УМЕДХЕФ ОЕЪБЧЙУЙНПУФЙ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ, η.

оБРТЙНЕТ, РХУФШ ξ — УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ ДЙУЛТЕФОПЗП ФЙРБ, ЙНЕАЭБС УМЕДХАЭЙК ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС:

xk-2-112
pk1/41/41/41/4

Mξ = (1/4)ћ(-2) + (1/4)ћ(-1) + (1/4)ћ2 + (1/4)ћ1 = 0.

тБУУНПФТЙН η = ξ 2 (η Й ξ Ч ФБЛПН УМХЮБЕ ЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ!) ъБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ η ЙНЕЕФ ЧЙД:

xk14
pk1/21/2

Mη = (1/2)ћ1 + (1/2)ћ4 = 5/2.

cov(ξ, η) = M(ξη) — MξMη = M(ξћξ 2 ) — 0ћ(5/2) = M(ξ 3 ).

уМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ ξ 3 ЙНЕЕФ ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС:

xk-8-118
pk1/41/41/41/4

Mξ 3 = (1/4)ћ(-8) + (1/4)ћ(-1) + (1/4)ћ1 + (1/4)ћ8 = 0. уМЕДПЧБФЕМШОП, cov (ξ, η) = 0, Б УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ СЧМСАФУС ЪБЧЙУЙНЩНЙ.

пртедемеойе 6.5.1.2
лПЬЖЖЙГЙЕОФПН лпттемсгйй ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ Й η ОБЪЩЧБЕФУС ЮЙУМП, ПРТЕДЕМСЕНПЕ РП ЖПТНХМЕ:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

пвпъобюеойе:Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу(6.5.1.5)

ъбнеюбойе. пЮЕЧЙДОП, ЮФП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛПТТЕМСГЙЙ ДЧХИ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ МЙЫШ Ч ФПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ УХЭЕУФЧХАФ УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ ПЦЙДБОЙС Й Dξ Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу0, Dη Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу0.

пРЙТБСУШ ОБ УЧПКУФЧБ ЛПЧБТЙБГЙЙ Й ДЙУРЕТУЙЙ (6.2.2), НПЦОП РПМХЮЙФШ ЕЭЕ ФТЙ ДПРПМОЙФЕМШОЩЕ ЖПТНХМЩ ДМС ЧЩЮЙУМЕОЙС ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ ЛПТТЕМСГЙЙ.

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

(уНПФТЙ ЖПТНХМХ 6.5.1.3). уМЕДПЧБФЕМШОП,

уПЧЕТЫЕООП БОБМПЗЙЮОП, ПРЙТБСУШ ОБ ЖПТНХМХ 6.5.1.4, НПЦОП ДПЛБЪБФШ, ЮФП:

фептенб 6.5.1.2 (уЧПКУФЧБ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ ЛПТТЕМСГЙЙ)
1. еУМЙ ξ Й η — ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ, ФП ρ(ξ, η) = 0.
2. ρ(ξ, η) = ρ(η, ξ).
3. ρ(Cξ, η) = ρ(ξ, Cη) = signC ρ(Cξ, η), » C п R (C Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу0).
4. |ρ(ξ, η)| ≤ 1.
5. |ρ(ξ, η)| = 1 щ $ A, B п R (A Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу0): η = Aξ + B.

уЧПКУФЧБ 1-2 УМЕДХАФ ЙЪ УЧПКУФЧ ЛПЧБТЙБГЙЙ.

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

4) фБЛ ЛБЛ ДЙУРЕТУЙС МАВПК УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ (ЕУМЙ ПОБ УХЭЕУФЧЕФ) — ЧЕМЙЮЙОБ ОЕПФТЙГБФЕМШОБС, ФП ЙЪ ЖПТНХМ (6.5.1.7 Й 6.5.1.8) УМЕДХЕФ:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

5) ( а ) (ОЕПВИПДЙНПУФШ)

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Б) ρ(ξ, η) = 1 а ЙЪ ЖПТНХМЩ 6.5.1.8 УМЕДХЕФ, ЮФП Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу.

ч ФБЛПН УМХЮБЕ, $ C п R: Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

фБЛЙН ПВТБЪПН, η = Aξ + B, ЗДЕ Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

ъБНЕФЙН, ЮФП Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу.

В) ρ(ξ, η) = -1. тБУУХЦДБС БОБМПЗЙЮОП Й ЙУРПМШЪХС ЖПТНХМХ 6.5.1.7, НПЦОП ДПЛБЪБФШ, ЮФП

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

( ш ) η = Aξ + B; A, B п R Й A Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу0. (дПУФБФПЮОПУФШ.)

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

умедуфчйе 6.5.1.2
ρ(ξ, ξ) = 1.

ъбнеюбойе. уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП ЙЪ ρ(ξ, η) = 0 ОЕ УМЕДХЕФ ОЕЪБЧЙУЙНПУФШ УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ Й η. (фБЛ ЛБЛ ρ(ξ, η) = 0 щ cov(ξ,η)=0; Б ЙЪ cov(ξ,η)=0 ОЕ УМЕДХЕФ, ЮФП ξ Й η ОЕЪБЧЙУЙНЩЕ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ).

пртедемеойе 6.5.1.3
еУМЙ ρ(ξ, η) = 0, ФП УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η ОБЪЩЧБАФУС оелпттемйтхенщнй.

ъбнеюбойе. еУМЙ ρ(ξ, η) Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу0, ФП УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ Й η СЧМСАФУС ЪБЧЙУЙНЩНЙ (РТЙ ρ(ξ, η) = 0 ПОЙ НПЗХФ ВЩФШ ЛБЛ ЪБЧЙУЙНЩНЙ, ФБЛ Й ОЕЪБЧЙУЙНЩНЙ).

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

еУМЙ ρ(ξ, η) Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу1, ФП ОБЙМХЮЫЕЕ МЙОЕКОПЕ РТЙВМЙЦЕОЙЕ ДМС η Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицуЙНЕЕФ ЧЙД:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

ьФП РТЙВМЙЦЕОЙЕ СЧМСЕФУС ОБЙМХЮЫЕН Ч УНЩУМЕ:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

рХУФШ ОБ ЧЕТПСФОПУФОПН РТПУФТБОУФЧЕ ( W , F, P) ЪБДБО УМХЮБКОЩК ЧЕЛФПТ (ξ1, ξ2, . , ξn).

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

фБЛ ЛБЛ kij = cov(ξi, ξj) = cov(ξj, ξi) = kji, » i, j, ФП НБФТЙГБ K — УЙННЕФТЙЮОБС НБФТЙГБ (ПФОПУЙФЕМШОП ЗМБЧОПК ДЙБЗПОБМЙ); kii = Dξi, i= 1, . , n.

пртедемеойе 6.5.1.5
пРТЕДЕМЙФЕМШ ЛПЧБТЙБГЙПООПК НБФТЙГЩ ОБЪЩЧБЕФУС пвпвэеоопк дйуретуйек УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ.

еУМЙ ξ1, ξ2, . , ξn РПРБТОП ОЕЪБЧЙУЙНЩ ЙМЙ cov(ξi, ξj) = 0, i Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицуj, ФП НБФТЙГБ K СЧМСЕФУС ДЙБЗПОБМШОПК::

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

фептенб 6.5.1.3
еУМЙ ЙЪЧЕУФОБ ЛПЧБТЙБГЙПООБС НБФТЙГБ л = (kij)n УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ1, ξ2, . , ξn) Й ηi = ci1ξ1 + ci2ξ2 + . + cinξn, i = 1, . , n; ФП ЕУФШ
Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу
ФП ЛПЧБТЙБГЙПООБС НБФТЙГБ H = (hij), hij = cov(ηi, ηj) УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (η1, η2, . , ηn) НПЦЕФ ВЩФШ ОБКДЕОБ РП ЖПТНХМЕ:
H = CћKћC T .

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

уМЕДПЧБФЕМШОП, ЛПТТТЕМСГЙПООБС НБФТЙГБ R СЧМСЕФУС УЙННЕФТЙЮОПК.

еУМЙ УМХЮБКОЩЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ξ1, ξ2, . , ξn РПРБТОП ОЕЪБЧЙУЙНЩ ЙМЙ ОЕЛПТТЕМЙТХЕНЩ, ФП ЛПТТЕМСГЙПООБС НБФТЙГБ R СЧМСЕФУС ЕДЙОЙЮОПК:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

ъбнеюбойе. уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП ЮФП ЪОБС ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ1, ξ2, . , ξn), НПЦОП ОБКФЙ ЮЙУМПЧЩЕ ИБТБЛФЕТЙУФЙЛЙ ЛПНРБОЕФ (ЕУМЙ ПОЙ УХЭЕУФЧХАФ).

оБРТЙНЕТ, ЕУМЙ ЧЕЛФПТ — УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ БВУПМАФОП ОЕРТЕТЧЩОПЗП ФЙРБ У РМПФОПУФША ТБУРТЕДЕМЕОЙС Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу, ФП

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

ъБРЙЫЙФЕ УБНПУФПСФЕМШОП УППФЧЕФУФЧХАЭЙЕ ЖПТНХМЩ ДМС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ ДЙУЛТЕФОПЗП ФЙРБ.

ъбдбюб 6.5.1.1 йЪЧЕУФОП, ЮФП Mξ = 1, Dξ = 2; η = 5ξ + 7. оБКФЙ cov(ξ, η).

cov(ξ, η) = cov(ξ, 5ξ + 7) = 5Dξ = 10.

ъбдбюб 6.5.1.2 йЪЧЕУФОП, ЮФП Mξ = 3, Dξ = 8. оБКФЙ ρ(ξ, η), ЕУМЙ η = — 15ξ + 2.

ъбдбюб 6.5.1.3 дБО ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ1, ξ2) ДЙУЛТЕФОПЗП ФЙРБ:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу567
00,200
0,10,10,150
0,20,050,150,1
0,30,050,10,1

оБКФЙ: ЛПЧБТЙБГЙПООХА Й ЛПТТЕМСГЙПООХА НБФТЙГЩ УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ1, ξ2).

1) рТЕЦДЕ ЧУЕЗП ОБКДЕН ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЛБЦДПК ЛПНРПОЕОФЩ (БМЗПТЙФН УНПФТЙ 4.4.2)

ξ1567
0,40,40,2

1 2 = 25ћ0,4 + 36ћ0,4 + 49ћ0,2 = 34,2;

ξ200,10,20,3
0,20,250,30,25

2 = 0ћ0,2 + 0,1ћ0,25 + 0,2ћ0,3 + 0,3ћ0,25 = 0,16;

2 2 = 0ћ0,1 + 0,01ћ0,25 + 0,04ћ0,3 + 0,09ћ0,25 = 0,037;

ъБНЕФЙН, ЮФП УМХЮБКОБС ЧЕМЙЮЙОБ ξ1ћξ2 РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙЕ ЪОБЮЕОЙС Ч ЪБЧЙУЙНПУФЙ ПФ ЪОБЮЕОЙК ЛПНРПОЕОФ:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу567
0000
0,10,50,60,7
0,211,21,4
0,31,51,82,1

уМЕДПЧБФЕМШОП, ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ ξ1ћξ2 ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ЧЙД:

xk00,50,60,711,21,41,51,82,1
pk0,20,10,1500,050,150,10,050,10,1

M(ξ1ξ2) = 0ћ0,2 + 0,1ћ0,5 + 0,6ћ0,15 + 0,7ћ0 + 0,05ћ1 + 0,15ћ1,2 +
+ 1,4ћ0,1 + 1,5ћ0,05 + 0,1ћ1,8 + 0,1ћ2,1 = 0,975.

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

12 = 0,56ћ0,0114 = 0,006384 а ρ12 = ρ21 = Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу0,588.

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

ъбдбюб 6.5.1.4 йЪЧЕУФЕО ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ:

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу01
-10,10,2
00,20,3
100,2

оБКФЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ Й ДЙУРЕТУЙА УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ q = 2ξ1 + ξ 2 2.

уМЕДПЧБФЕМШОП, РТЕЦДЕ ЧУЕЗП ПРТЕДЕМЙН ЪБЛПОЩ ТБУРТЕДЕМЕОЙС ξ1 Й ξ2.

ξ1xk01
pk0,30,7

ξ2xk-101
pk0,30,50,2

ξ2 2xk01
pk0,50,5

ξ1ξ2 2xk01
pk0,60,4

cov(ξ1, ξ2 2 ) = 0,4 — 0,7 ћ 0,5 = 0,05. фБЛЙН ПВТБЪПН,

M q = 2ћ0,7 + 0,5 = 1,9;

D q = 4ћ0,21 + 0,25 + 2ћ0,05 = 0,84 + 0,25 + 0,1 = 1,29.

ъбдбюб 6.5.1.5 йЪЧЕУФОБ РМПФОПУФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ, η):

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

оБКФЙ ЛПЧБТЙБГЙА УМХЮБКОЩИ ЧЕМЙЮЙО ξ, η.

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

Cov(ξ, η) = π/2 — 1 — π 2 /16.

(чУЕ ЧЩЮЙУМЕОЙС РТПЧЕТШФЕ!)

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС.

ъбдбюб 6.5.1.1(у) дБО ЪБЛПО ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ1, ξ2):

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу025
10,100,2
200,30
40,10,30

уПУФБЧЙФШ ЛПЧБТЙБГЙПООХА Й ЛПТТЕМСГЙПООХА НБФТЙГЩ.

ъбдбюб 6.5.1.2(у) ъБДБО УМХЮБКОЩК ЧЕЛФПТ (ξ, η). йЪЧЕУФОП, ЮФП Mξ = 0, Mη = 2, Dξ = 2, Dη = 1, ρ(ξ, η) = — Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу. оБКФЙ НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ Й ДЙУРЕТУЙА УМХЮБКОПК ЧЕМЙЮЙОЩ q = 2ξ — 3η.

ъбдбюб 6.5.1.3(у) йЪЧЕУФОБ РМПФОПУФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙС УМХЮБКОПЗП ЧЕЛФПТБ (ξ, η):

Дана ковариационная матрица случайного вектора составить корреляционную матрицу

D — ФТЕХЗПМШОЙЛ, ПЗТБОЙЮЕООЩК РТСНЩНЙ x + y = 1, x = 0, y = 0. оБКФЙ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЛПТТЕМСГЙЙ.

© гЕОФТ ДЙУФБОГЙПООПЗП ПВТБЪПЧБОЙС пзх, 2000-2002

💥 Видео

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величинСкачать

Теория вероятностей #19: ковариация, корреляция, зависимость двух случайных величин

Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

Случайный вектор двумерной случайной величины

Математика #1 | Корреляция и регрессияСкачать

Математика #1 | Корреляция и регрессия

Теория вероятностей #25: Ковариация и корреляция / ковариационная матрицаСкачать

Теория вероятностей #25: Ковариация и корреляция / ковариационная матрица

Оценка ковариационной матрицыСкачать

Оценка ковариационной матрицы

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.

Биноминальное распределениеСкачать

Биноминальное распределение

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределения

Ковариация. ТемаСкачать

Ковариация. Тема

Расчет корреляционных зависимостей в Microsoft ExcelСкачать

Расчет корреляционных зависимостей в Microsoft Excel

О корреляционной функции и её аналитическом вычисленииСкачать

О корреляционной функции и её аналитическом вычислении

8. Двумерные случайные векторы. КовариацияСкачать

8. Двумерные случайные векторы. Ковариация

Нахождение функции распределения для двумерного случайного вектора по плотностиСкачать

Нахождение функции распределения  для двумерного случайного вектора по плотности

Коэффициент корреляции. Дискретное распределениеСкачать

Коэффициент корреляции. Дискретное распределение

Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Функция распределения и плотность распределения

Теория вероятностей. Подготовка к контрольной. Ковариационные матрицыСкачать

Теория вероятностей. Подготовка к контрольной. Ковариационные матрицы

Расчет коэффициента корреляции в ExcelСкачать

Расчет коэффициента корреляции в Excel

Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы
Поделиться или сохранить к себе: