Отражение в зеркале вектор

Векторы удобны для работы с теми или иными величинами, обладающими «векторными» свойствами. Векторы позволяют задать такие величины, т.е. дать им численную характеристику. Но на проблеме описания величин потребности науки и практики никогда не исчерпываются. Любая теория, прежде всего исследует связи или зависимости между изучаемыми величинами. Для отражения связей между различными величинами в математике вводится понятие функции. Наиболее простой, досконально проработанной и исследованной во всех деталях, является теория функций числового аргумента. То, что координатный метод позволяет использовать все достижения теории функций для описания функциональных зависимостей между векторными величинами можно считать одним из главных его достоинств. Для того чтобы задать функциональную зависимость между двумя векторными величинами и , достаточно определить три функции трех числовых аргументов:

.

Имеющийся набор хорошо исследованных элементарных, и не очень элементарных и совсем не элементарных функций позволяет задать практически любую мыслимую зависимость между векторными величинами. Наиболее простой вид зависимости между векторами определяют линейные функции:

, где– действительные числа.

При всей своей простоте линейная зависимость обладает широкими выразительными возможностями. К тому же, если ограничить область исследования достаточно малой областью изменения величин, зависимость между ними почти всегда можно считать приближенно линейной.

Линейной является зависимость между дифференциалами координат векторов и :

.

Последнее обстоятельство особенно важно для математического анализа.

Особую роль линейные функции получили в последнее время благодаря широкой компьютеризации и порожденному ей стремительному развитию численных методов, которые, так или иначе, сводят любую задачу к решению больших систем линейных уравнений.

Подробно теория линейных функций или линейных преобразований, как ее часто называют, изучается в курсе линейной алгебры. Мы остановимся на этом предмете только для того, чтобы на отдельных примерах продемонстрировать те идеи, которые имеют отношение к нашему предмету.

Линейные функции часто записывают в виде операторов. Принципиальной разницы между понятием оператора и функции не существует. Разница в основном терминологическая. На языке функций мы можем сказать, что есть векторная функция векторного аргумента : . Используя понятие оператора, то же самое мы скажем так: «оператор F преобразует вектор в вектор : «. Вместе с тем каждый из подходов обладает своими особенностями. Когда мы говорим о функции, то мы под этим понимаем и саму функцию и ее значение. В записи же функции обычно перемешаны и аргументы и элементы, относящиеся непосредственно только к функции. «Операторный» язык, позволяет четко отделить саму функцию от ее аргумента и от ее значения. Оператор F можно представлять в виде некоторого рецепта, набора инструкций, компьютерной программы или даже некоего механизма, который поглощает все то, что стоит от него справа, и возвращает некий новый объект, который указывается, обычно, слева. Еще одной особенностью «операторного» языка является сходство его с матричной записью, что особенно полезно для линейных операторов.

Каждый линейный оператор может быть задан в виде линейных уравнений либо в матричной форме:

.

Но кроме этих двух, линейный оператор может быть задан и многими другими способами, например, при помощи такой инструкции: повернуть вектор, стоящий на входе на угол φ относительно оси x в направлении от оси y к оси z . Для выполнения этой инструкции нет необходимости прибегать к матричной записи, хотя она и может быть сделана. Поэтому, принято различать сам оператор, который выполняет некоторые действия с векторами, и его матрицу, как некоторый, но не единственный способ выражения этих действий.

Пусть линейный оператор, который преобразует некоторый вектор в вектор : . Пусть векторы заданы своими контравариантными координатами, тогда матрицу оператора , которая выполняет преобразование контравариантных координат вектора в контравариантные же координаты вектора будем обозначать . Запишем соответствующее преобразование в матричной форме: . Но векторы могут быть заданы и своими ковариантными координатами – выполним соответствующие преобразования:

;

.

Так как , то и, следовательно, матрица определяет то же самое преобразование, но через ковариантные координаты векторов.

Матрицу, выполняющую преобразование через ковариантные координаты будем обозначать , следовательно, выражение

определяет правило поднятия и опускания индексов для матрицы линейного преобразования. Аналогично можно записать, что

;

.

Мы видим, что с индексами элементов матрицы линейного преобразования можно производить операции по изменению их типа точно так же, как с индексами координат векторов. При этом мы получим четыре различные матрицы, которые при их правильном использовании, т.е. с координатами векторов соответствующего типа, приводят к одинаковому геометрическому результату.

Векторы также могут быть заданы в различных координатных системах. Пусть выражение определяет то же самое преобразование в новой координатной системе. Выразим координаты векторов в новой системе через их координаты в старой системе:

.

Умножим правую и левую части данного равенства на матрицу .

, следовательно:

.

Отсюда мы получаем связь между матрицами одного и того же преобразования в различных координатных системах:

.

Также можно доказать, что .

Если подходить к этому закону как к формальному преобразованию индексов, то нетрудно заметить полную идентичность этого преобразования с правилом преобразования индексов ковариантных и контравариантных координат векторов. Поэтому, элементы матриц , , и принято называть координатами одного и того же линейного преобразования или тензора различного типа. Отметим также, что законы преобразования координат и совпадают с законами преобразования координат метрического тензора и соответственно.

Прежде чем переходить к конкретным примерам линейных преобразований, получим простое правило, которое позволит нам в некоторых случаях легко вычислить их координаты.

Пусть один раз контравариантная и один раз ковариантная матрица координат некоторого линейного преобразования. Найдем результат ее действия на векторы, совпадающие с векторами базиса:

.

Символом мы обозначили результат воздействия оператора на вектор базиса . Для других векторов базиса мы получим аналогичные результаты: и . Следовательно:

.

Теперь мы можем сформулировать следующее правило .

Для того, чтобы найти матрицу координат линейного преобразования , необходимо:

1. «Подействовать» преобразованием на векторы базиса и найти результат этого действия.

2. Найти координаты преобразованных векторов базиса.

3. Составить матрицу из координат преобразованных векторов базиса как из столбцов.

Поставим задачу найти координаты линейного оператора зеркально отображающего произвольный вектор () относительно плоскости, проходящей через начало координат нормально к вектору единичной нормали n . Будем для простоты считать, что система координат декартова (рис. 47).

Рис. 47

В соответствии с полученным нами правилом, найдем векторы, которые получаются в результате действия преобразования на векторы базиса. Для этого разложим произвольный (для определенности возьмем вектор ) базисный вектор на два вектора и . При этом вектор направим по нормали n к поверхности зеркала (рис. 47), а вектор расположим в плоскости зеркала.

, при этом , а

.

При отражении в зеркале вектор не изменяется, а вектор изменяется на противоположный. Это замечание позволяет нам легко найти отражение базисного вектора в зеркале:

.

Для произвольного вектора:

.

Теперь мы можем записать преобразованные базисные векторы в координатной форме.

, , .

На последнем этапе мы строим матрицу преобразования из найденных столбцов.

Задача решена. Общий метод работает, но не всегда общий метод является самым простым и коротким. Попробуем решить задачу иначе. Пусть вектор является произвольным вектором. Найдем результат действия преобразования на него. При этом мы используем основную идею, найденную в предыдущем решении.

Рис. 48

Разложим вектор на два составляющих вектора таким образом, чтобы вектор лежал плоскости, а вектор был к ней ортогонален. При зеркальном отображении вектор преобразуется сам в себя, а вектор в ему противоположный (как и в предыдущем решении). Следовательно, зеркальное отображение вектор отобразит в вектор . Как и предыдущем доказательстве .

и, следовательно: . После несложных преобразований в индексной форме получаем:

.

Таким образом: . Это и есть общее выражение для координат оператора зеркального отображения в индексной форме. Нам кажется, что данный вывод короче и проще, впрочем, это дело вкуса.

В данном случае мы воспользовались преобразованиями в индексной форме, но если перейти к матричной форме записи, то мы получим тот же самый результат:

.

Следует заметить, что на этот раз мы не делали никаких предположений о базисных векторах, следовательно, формулу можно считать действительной для самого общего случая.

В декартовой системе координат мы можем воспользоваться более привычными обозначениями для проекций вектора единичной нормали n :

.

Для того, чтобы лучше понять смысл полученного выражения конкретизируем условие. Пусть

, а нормаль в декартовой системе координат.

и

.

Дадим графическую иллюстрацию полученному решению.

Рис. 49

Серьезной проблемой при решении задач на стереометрию оказывается сложность в выполнении пространственных чертежей. Данная задача хороша тем, что вектор n лежит в плоскости xoy . При этом вертикальная составляющая вектора лежит в зеркальной плоскости и при отражении не изменяется. Остается только выяснить, как изменяется составляющая , лежащая в плоскости xoy . Для этого достаточно изобразить только вид сверху, что мы и сделали на рис.49.

Видео:Дед не узнал своё отражение в зеркале и стал с ним разговаривать!Скачать

Отражение в зеркале вектор

Пойдем дальше. Вы видели, что в физике имеется масса примеров применимости правила правой и левой руки. В самом деле, когда мы изучали векторный анализ, то узнали о правиле правой руки, которым необходимо пользоваться, чтобы получить правильный момент количества движения и момент силы, магнитное поле и т. п. Например, сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна . Но представьте себе такое положение: пусть мы знаем , и . Как из этого узнать, где у нас правая сторона? Если вернуться назад и посмотреть, откуда произошли векторы, то увидим, что правило правой руки — просто соглашение, своего рода трюк. В самом начале такие величины, как угловая скорость и момент количества движения и другие, подобные им, в действительности вообще не были настоящими векторами! Все они каким-то образом связаны с определенными плоскостями, и только благодаря тому, что наше пространство трехмерно, эти величины можно связать с направлением, перпендикулярным данной плоскости. Мы же из двух возможных направлений выбрали правое.

Представьте себе, что какой-то озорной чертик, решив подшутить над физиками, пробрался во все лаборатории и всюду заменил слово «правое» на «левое». И в результате, где было написано правило правой руки, мы вынуждены были бы пользоваться правилом левой руки. Ну что ж, физики бы просто не заметили этого, ибо ни к какому изменению в физических законах это бы не привело, разумеется, если физические законы симметричны.

Покажем это на примере. Вы знаете, что существуют два сорта векторов. Имеются обыкновенные, «настоящие» векторы, подобные, например, отрезку расстояния в пространстве. Пусть в нашей аппаратуре что-то находится «здесь», а нечто другое — «там», тогда те же самые «что-то» будут присутствовать и в зеркально отраженной аппаратуре. Если мы в обоих случаях проведем векторы от «сюда» до «туда», то один вектор будет отражением другого (фиг. 52.2), причем направление стрелки вектора точно, как и все пространство, «выворачивается наизнанку». Такие векторы мы называем полярными.

Фиг. 52.2. Отрезок в пространстве и его зеркальное отражение.

Но второй сорт векторов, связанных с вращением, имеет совсем другую природу. Представьте себе нечто вращающееся в трехмерном пространстве (фиг. 52.3). Если посмотреть на это в зеркало, то вращение будет происходить так, как показано на рисунке, т. е. как зеркальное изображение первоначального вращения. Условимся теперь представлять зеркальное вращение с помощью того же самого правила. В результате мы получим «вектор», который в отличие от полярного вектора не изменяется при отражении и оказывается перевернутым по отношению к полярному вектору и геометрии всего пространства. Такой вектор мы называем аксиальным.

Фиг. 52.3. Вращающееся колесо и его зеркальное отражение.

Заметьте, что направление «вектора» угловой скорости не изменяется.

Если физический закон симметрии относительно отражения правилен, то уравнения должны быть устроены так, чтобы при изменении знака каждого аксиального вектора и каждого векторного произведения (что соответствует отражению) ничего не произошло. Например, когда мы пишем формулу для момента количества движения , то здесь все в порядке, потому что при переходе в левую систему координат мы изменяем знак , а знак и не изменяется. Кроме того, изменится и векторное произведение, поскольку мы должны правило правой руки заменить правилом левой руки. Возьмем другой пример. Известно, что сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна , но если мы от правой системы перейдем к левой, то, поскольку, как известно, и — полярные векторы, изменение знака из-за наличия векторного произведения должно компенсироваться изменением знака , а это означает, что должен быть аксиальным вектором. Другими словами, при таком отражении должен переходить в . Таким образом, если мы изменяем левые координаты на правые, то одновременно нужно северный полюс магнита изменить на южный.

Давайте посмотрим на примере, как это все получается. Пусть у нас имеются два магнита, похожих на изображенные на фиг. 52.4. Один из магнитов выглядит в точности так, как зеркальное отражение другого, т. е. витки его накручены в другую сторону, и все, что происходит внутри катушки, должно быть в точности обращено в другую сторону; ток течет, как это показано на рисунке. Теперь из законов магнетизма (которые вы хотя еще и не знаете официально, но, по-видимому, помните из школьного курса) получается, что магнитное поле направлено так, как это показано на рисунке. Там, где у первого магнита южный полюс, у другого магнита будет северный, ибо у него ток течет в другую сторону, а магнитное поле перевернуто. Таким образом, выходит, что при переходе от правой системы к левой мы действительно должны заменить северный полюс на южный!

Фиг. 52.4. Электромагнит и его зеркальное отражение.

Но северный и южный полюсы — это просто договоренность, и замена их еще ничего не означает. Давайте посмотрим на само явление. Предположим, что электрон движется от нас через магнитное поле перпендикулярно к плоскости страницы. Тогда, если воспользоваться формулой для силы (не забудьте, что электрон отрицательный!), мы получим, что в соответствии с этим физическим законом электрон должен отклоняться в указанном направлении. Таким образом, явление заключается вот в чем. Если в катушке в определенном направлении течет ток, то электрон как-то отклоняется. Это и есть физика, и неважно, как мы будем называть все по дороге.

А теперь проделаем тот же опыт с зеркально отраженным магнитом: пошлем электрон в соответствующем направлении. Теперь на него будет действовать обратная сила. Вычислив ее по тем же правилам, мы получим правильный результат: соответствующее движение будет зеркальным отражением предыдущего!

🎬 Видео

Сферические зеркала, построение изображения в сферическом зеркале. 8 класс.Скачать

Физика 9 класс (Урок№28 - Отражение света. Плоское зеркало.)Скачать

Отражение света от плоского зеркалаСкачать

Урок 200 (осн). Построение изображения в плоском зеркалеСкачать

ОТРАЖЕНИЕ В ЗЕРКАЛЕ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Отражение света от выпуклого зеркалаСкачать

Проверил лайфхак отражение видно в зеркалеСкачать

Жуткое отражение в зеркале (до конца).Скачать

Отражение в зеркале изменило девушку #shortsСкачать

Изображение в вогнутом зеркалеСкачать

Сферические зеркала, построение изображения в сферическом зеркале. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Отражение света от зеркалаСкачать

Отражение света, законы отражения, плоские зеркала. 8 класс.Скачать

Отражение в зеркалеСкачать

Таинственный момент: отражение в зеркале опережает движения смотрящегося в негоСкачать

Многократное отражение светаСкачать

Изображение предмета в плоском зеркалеСкачать

отражение в зеркалеСкачать