Как найти ас в треугольнике

Как найти стороны прямоугольного треугольника
Содержание
  1. Онлайн калькулятор
  2. Найти гипотенузу (c)
  3. Найти гипотенузу по двум катетам
  4. Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
  5. Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
  6. Найти гипотенузу по двум углам
  7. Найти катет
  8. Найти катет по гипотенузе и катету
  9. Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
  10. Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
  11. Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
  12. Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
  13. Все формулы для треугольника
  14. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  15. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  16. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  17. 4. Найти длину высоты треугольника
  18. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
  19. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  20. Теорема Пифагора
  21. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
  22. Решение прямоугольных треугольников
  23. Пример №1
  24. Пример №2
  25. Пример №3
  26. Пример №4
  27. Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника
  28. Пример №5
  29. Пример №6
  30. Пример №7
  31. Пример №8
  32. Пример №9
  33. Пример №10
  34. Пример №11
  35. Перпендикуляр и наклонная, их свойства
  36. Пример №12
  37. Пример №13
  38. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
  39. Пример №14
  40. Пример №15
  41. Пример №16
  42. Пример №17
  43. Вычисление прямоугольных треугольников
  44. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
  45. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу
  46. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам
  47. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
  48. Определение прямоугольных треугольников
  49. Синус, косинус и тангенс
  50. Пример №18
  51. Тригонометрические тождества
  52. Пример №19
  53. Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения
  54. Значения тригонометрических функций углов 30 45 60
  55. Решение прямоугольных треугольников
  56. Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника
  57. Пример №20
  58. Примеры решения прямоугольных треугольников
  59. Пример №21
  60. Пример №22
  61. Пример №23
  62. Пример №24
  63. Пример №25
  64. Пример №26
  65. Историческая справка
  66. Приложения
  67. Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
  68. Теорема (формула площади прямоугольника)
  69. Золотое сечение
  70. Пример №27
  71. Пример №28
  72. Пример №29
  73. Вычисление значений sin a, cos а и tg а
  74. Пример №31
  75. Как решать прямоугольные треугольники
  76. Пример №32
  77. Пример №33
  78. Пример №34
  79. Пример №35
  80. Пример №36
  81. Пример №37
  82. 📸 Видео

Видео:ОГЭ Р-2 номер 16Скачать

ОГЭ Р-2 номер 16

Онлайн калькулятор

Как найти ас в треугольнике

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Видео:ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИСкачать

ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Все формулы для треугольника

Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать

ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как найти ас в треугольнике

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Как найти ас в треугольнике

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Как найти ас в треугольнике

Видео:Геометрия ОГЭ задача Теорема синусовСкачать

Геометрия ОГЭ задача Теорема синусов

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Как найти ас в треугольнике

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Как найти ас в треугольнике

Формулы для катета, ( b ):

Как найти ас в треугольнике

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Как найти ас в треугольнике

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Формулы длины равных сторон , (a):

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Видео:ОГЭ. Геометрия. 1 часть. Теорема косинусов.Скачать

ОГЭ. Геометрия.  1 часть. Теорема косинусов.

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Как найти ас в треугольнике H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Как найти ас в треугольнике

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Как найти ас в треугольнике

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Как найти ас в треугольнике

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:№235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углыСкачать

№235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Как найти ас в треугольнике

Докажем, что Как найти ас в треугольнике

  • Поскольку Как найти ас в треугольникеОтсюда Как найти ас в треугольнике
  • Поскольку Как найти ас в треугольникеОтсюда Как найти ас в треугольнике
  • Поскольку Как найти ас в треугольникеОтсюда Как найти ас в треугольнике

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Как найти ас в треугольникето доказанные соотношения принимают вид:
Как найти ас в треугольнике
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Как найти ас в треугольникев котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Как найти ас в треугольникеЕсли обозначить Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Как найти ас в треугольникекак вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Как найти ас в треугольнике

Видео:Геометрия Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точкахСкачать

Геометрия Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Как найти ас в треугольникеДокажем, что Как найти ас в треугольнике
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Как найти ас в треугольникеСложив почленно эти равенства, получим:
Как найти ас в треугольнике

Далее имеем: Как найти ас в треугольнике

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Как найти ас в треугольнике

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Как найти ас в треугольнике

Из равенства Как найти ас в треугольникетакже следует, что Как найти ас в треугольникеотсюда Как найти ас в треугольникето есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Как найти ас в треугольнике

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Как найти ас в треугольникеНапомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Как найти ас в треугольнике
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Как найти ас в треугольникев котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Как найти ас в треугольнике
По определению Как найти ас в треугольникеотсюда Как найти ас в треугольникеВидим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Как найти ас в треугольникеЭту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Как найти ас в треугольнике

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Как найти ас в треугольнике

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Как найти ас в треугольнике
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольнике— тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Как найти ас в треугольникеСледовательно, получаем такие формулы: Как найти ас в треугольнике

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Как найти ас в треугольнике

По теореме Пифагора Как найти ас в треугольникеОбе части этого равенства делим на Как найти ас в треугольникеИмеем: Как найти ас в треугольникеУчитывая, что Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольникеполучим: Как найти ас в треугольнике

Принято записывать: Как найти ас в треугольнике

Отсюда имеем: Как найти ас в треугольнике
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольникеПоскольку Как найти ас в треугольникето получаем такие формулы:

Как найти ас в треугольнике

Мы уже знаем, что Как найти ас в треугольникеНайдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Как найти ас в треугольнике

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Как найти ас в треугольнике(рис. 183).

Как найти ас в треугольнике

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Как найти ас в треугольнике

Имеем: Как найти ас в треугольнике
Отсюда находим: Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Поскольку 60° = 90° — 30°, то получаем:
Как найти ас в треугольнике

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Как найти ас в треугольнике

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Как найти ас в треугольникекатеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Как найти ас в треугольнике

Отсюда Как найти ас в треугольнике

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Как найти ас в треугольникеОтсюда Как найти ас в треугольнике

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Как найти ас в треугольнике

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Как найти ас в треугольникеОтсюда Как найти ас в треугольнике

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Как найти ас в треугольникеОтсюда Как найти ас в треугольнике
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Как найти ас в треугольникеполучаем: Как найти ас в треугольнике
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Как найти ас в треугольнике— углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Как найти ас в треугольнике= 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Как найти ас в треугольнике
Ответ: Как найти ас в треугольнике

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Как найти ас в треугольнике

Вычисляем угол Как найти ас в треугольникес помощью микрокалькулятора: Как найти ас в треугольникеТогда Как найти ас в треугольнике
Как найти ас в треугольнике
Ответ: Как найти ас в треугольнике

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Как найти ас в треугольникеНайдите стороны АВ и АС, если Как найти ас в треугольнике

Решение:

Из треугольника Как найти ас в треугольникеполучаем:
Как найти ас в треугольнике

Из треугольника Как найти ас в треугольникеполучаем:Как найти ас в треугольнике
Ответ: Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Как найти ас в треугольникеНайдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Как найти ас в треугольнике

Проведем высоту BD.

Из треугольника Как найти ас в треугольникеполучаем: Как найти ас в треугольнике

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Как найти ас в треугольникето вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Как найти ас в треугольнике

Из треугольника Как найти ас в треугольникеполучаем: Как найти ас в треугольнике

Ответ: Как найти ас в треугольнике

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике— основное тригонометрическое тождество

Как найти ас в треугольнике

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Как найти ас в треугольнике-данный прямоугольный треугольник, у которого Как найти ас в треугольнике(рис. 172). Докажем, что

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

1) Проведем высоту Как найти ас в треугольнике
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Как найти ас в треугольникеполучим:

Как найти ас в треугольнике

4) Следовательно, Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Если в треугольнике Как найти ас в треугольникеобозначить Как найти ас в треугольнике(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Как найти ас в треугольнике

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Как найти ас в треугольнике

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Как найти ас в треугольникетогда Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Как найти ас в треугольникетогда Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаКак найти ас в треугольнике

Решение:

Рассмотрим квадрат Как найти ас в треугольникеу которого Как найти ас в треугольнике(рис. 174). Тогда

Как найти ас в треугольнике

Ответ. Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Как найти ас в треугольнике

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Как найти ас в треугольникесо стороной Как найти ас в треугольнике— его медиана (рис. 175).

Как найти ас в треугольнике

Так как Как найти ас в треугольнике— медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Как найти ас в треугольникеТогда

Как найти ас в треугольнике

Ответ: Как найти ас в треугольнике

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Как найти ас в треугольнике— данная трапеция, Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольнике(рис. 176).

Как найти ас в треугольнике

1) Проведем высоты Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике

2) Как найти ас в треугольнике(по катету и гипотенузе), поэтому

Как найти ас в треугольнике

3) Из Как найти ас в треугольникепо теореме Пифагора имеем:

Как найти ас в треугольнике

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Как найти ас в треугольникесм и Как найти ас в треугольникесм- катеты треугольника, тогда Как найти ас в треугольникесм — его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Как найти ас в треугольникеполучим уравнение: Как найти ас в треугольникеоткуда Как найти ас в треугольнике(см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Как найти ас в треугольникесправедливо равенство Как найти ас в треугольникето угол Как найти ас в треугольникеэтого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольникеДокажем, что Как найти ас в треугольнике(рис. 177).

Рассмотрим Как найти ас в треугольникеу которого Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольникеТогда по теореме Пифагора Как найти ас в треугольникеа следовательно, Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Но Как найти ас в треугольникепо условию, поэтому Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Таким образом, Как найти ас в треугольнике(по трем сторонам), откуда Как найти ас в треугольнике

Так как Как найти ас в треугольникето треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, — пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Как найти ас в треугольникето треугольник является прямоугольным.

2) Так как Как найти ас в треугольникето треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Как найти ас в треугольнике

Считается, что Пифагор — первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Как найти ас в треугольнике

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Как найти ас в треугольнике

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Как найти ас в треугольникеперпендикуляр, проведенный из точки Как найти ас в треугольникек прямой Как найти ас в треугольнике(рис. 185). Точку Как найти ас в треугольникеназывают основанием перпендикуляра Как найти ас в треугольникеПусть Как найти ас в треугольнике— произвольная точка прямой Как найти ас в треугольникеотличающаяся от Как найти ас в треугольникеОтрезок Как найти ас в треугольникеназывают наклонной, проведенной из точки Как найти ас в треугольникек прямой Как найти ас в треугольникеа точку Как найти ас в треугольникеоснованием наклонной. Отрезок Как найти ас в треугольникеназывают проекцией наклонной Как найти ас в треугольникена прямую Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Как найти ас в треугольнике-катет, Как найти ас в треугольнике— гипотенуза (рис. 185). Поэтому Как найти ас в треугольнике

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Как найти ас в треугольникек прямой Как найти ас в треугольникепроведены наклонные Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникеи перпендикуляр Как найти ас в треугольнике(рис. 186). Тогда Как найти ас в треугольнике(по катету и гипотенузе), поэтому Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Как найти ас в треугольнике(по двум катетам), поэтому Как найти ас в треугольнике(рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике— наклонные, Как найти ас в треугольнике(рис. 187). Тогда Как найти ас в треугольнике(из Как найти ас в треугольнике), Как найти ас в треугольнике(из Как найти ас в треугольнике). Но Как найти ас в треугольникепоэтому Как найти ас в треугольникеследовательно, Как найти ас в треугольнике

Свойство справедливо и в случае, когда точки Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникележат на прямой по одну сторону от точки Как найти ас в треугольнике

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике— наклонные, Как найти ас в треугольнике(рис. 187).

Как найти ас в треугольнике

Тогда Как найти ас в треугольнике(из Как найти ас в треугольнике),

Как найти ас в треугольнике(из Как найти ас в треугольнике). Но Как найти ас в треугольникепоэтому Как найти ас в треугольникеследовательно, Как найти ас в треугольнике

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции — 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

1) Из Как найти ас в треугольнике(см).

2) Из Как найти ас в треугольникепо свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Как найти ас в треугольнике

Поэтому Как найти ас в треугольнике

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Как найти ас в треугольникепрямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Как найти ас в треугольникеПо свойству 4: Как найти ас в треугольникеОбозначим Как найти ас в треугольникесм. Тогда Как найти ас в треугольникесм.

Из Как найти ас в треугольникепоэтому Как найти ас в треугольнике

Из Как найти ас в треугольникепоэтому Как найти ас в треугольнике

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Как найти ас в треугольникеоткуда Как найти ас в треугольникеСледовательно, Как найти ас в треугольникесм, Как найти ас в треугольнике(см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Как найти ас в треугольникес прямым углом Как найти ас в треугольнике(рис. 190). Для острого угла Как найти ас в треугольникекатет Как найти ас в треугольникеявляется противолежащим катетом, а катет Как найти ас в треугольнике— прилежащим катетом. Для острого угла Как найти ас в треугольникекатет Как найти ас в треугольникеявляется противолежащим, а катет Как найти ас в треугольнике— прилежащим.

Как найти ас в треугольнике

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Как найти ас в треугольникеобозначают так: Как найти ас в треугольникеСледовательно,

Как найти ас в треугольнике
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Как найти ас в треугольникеобозначают так: Как найти ас в треугольникеСледовательно,

Как найти ас в треугольнике

Так как катеты Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникеменьше гипотенузы Как найти ас в треугольникето синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Как найти ас в треугольникеобозначают так: Как найти ас в треугольникеСледовательно,

Как найти ас в треугольнике

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникеу которых Как найти ас в треугольнике(рис. 191). Тогда Как найти ас в треугольнике(по острому углу). Поэтому Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Из этого следует, что Как найти ас в треугольникеи поэтому Как найти ас в треугольнике

Аналогично Как найти ас в треугольникепоэтому Как найти ас в треугольнике

поэтому Как найти ас в треугольнике

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Как найти ас в треугольнике

3. Катет, противолежащий углу Как найти ас в треугольникеравен произведению второго катета на тангенс этого угла: Как найти ас в треугольнике
4. Катет, прилежащий к углу Как найти ас в треугольникеравен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Как найти ас в треугольнике

Значения Как найти ас в треугольникеможно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике(на некоторых калькуляторах Как найти ас в треугольникеПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольникеНайдите Как найти ас в треугольнике

Решение:

Как найти ас в треугольнике(рис. 190). Как найти ас в треугольнике(см).

Пример №15

В треугольнике Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольникеНайдите Как найти ас в треугольнике(с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Как найти ас в треугольнике(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Как найти ас в треугольникеСледовательно, Как найти ас в треугольнике

Ответ. Как найти ас в треугольнике2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Как найти ас в треугольникеили Как найти ас в треугольникенаходить угол Как найти ас в треугольникеДля вычислений используем клавиши калькулятора Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике

Пример №16

В треугольнике Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольнике

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Как найти ас в треугольнике(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Как найти ас в треугольникев градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Как найти ас в треугольникеТогда Как найти ас в треугольнике

Ответ. Как найти ас в треугольнике

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Как найти ас в треугольникеу которого Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике(рис. 192).

Как найти ас в треугольнике

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Как найти ас в треугольнике

По теореме Пифагора:

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Как найти ас в треугольникеу которого Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике(рис. 193). Тогда Как найти ас в треугольникеПо теореме Пифагора:

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникето есть Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Как найти ас в треугольнике

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Как найти ас в треугольнике— данный треугольник, Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольнике(рис. 194).

Как найти ас в треугольнике

Проведем к основанию Как найти ас в треугольникевысоту Как найти ас в треугольникеявляющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Как найти ас в треугольнике

Из Как найти ас в треугольнике

отсюда Как найти ас в треугольнике(см).

Ответ. Как найти ас в треугольникесм.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Как найти ас в треугольникеобозначение Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольнике(рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике(теорема Пифагора);

Как найти ас в треугольнике

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Как найти ас в треугольнике

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Как найти ас в треугольникеи острый угол Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Как найти ас в треугольнике

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Как найти ас в треугольникеи острый угол Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Как найти ас в треугольнике

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Как найти ас в треугольнике

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Как найти ас в треугольникеи гипотенуза Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Как найти ас в треугольнике

Пример:

Найдите высоту дерева Как найти ас в треугольникеоснование Как найти ас в треугольникекоторого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Как найти ас в треугольнике— основание дерева, точки Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникеи измеряем отрезок Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

1) В Как найти ас в треугольнике

2) В Как найти ас в треугольнике

3) Так как Как найти ас в треугольникеимеем:

Как найти ас в треугольнике

откуда Как найти ас в треугольнике

Ответ. Как найти ас в треугольнике

Видео:№1026. В треугольнике ABC АС = 12 см, ∠A= 75°, ∠C=60°. Найдите АВ и SABCСкачать

№1026. В треугольнике ABC АС = 12 см, ∠A= 75°, ∠C=60°. Найдите АВ и SABC

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Как найти ас в треугольникегипотенузой Как найти ас в треугольникеи острым углом Как найти ас в треугольнике(рис. 168).

Как найти ас в треугольнике

Определение

Синусом острого угла Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника (обозначается Как найти ас в треугольникеназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Как найти ас в треугольнике

Косинусом острого угла Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника (обозначается Как найти ас в треугольникеназывается отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Как найти ас в треугольнике

Тангенсом острого угла Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника (обозначается Как найти ас в треугольникеназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Как найти ас в треугольнике

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Как найти ас в треугольникепрямоугольного треугольника (обозначается Как найти ас в треугольникекоторый равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Как найти ас в треугольнике

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Как найти ас в треугольникеимеют равные острые углы Как найти ас в треугольнике(рис. 169).

Как найти ас в треугольнике

Эти треугольники подобны, отсюда Как найти ас в треугольникеили по основному свойству пропорции, Как найти ас в треугольнике

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Как найти ас в треугольникесоответственно. Имеем:

Как найти ас в треугольнике

т.е. синус угла Как найти ас в треугольникене зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Как найти ас в треугольникеравны, то Как найти ас в треугольникеИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике(рис. 170).

Как найти ас в треугольнике

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Как найти ас в треугольнике— наименьший угол треугольника Как найти ас в треугольникеПо определению Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Ответ: Как найти ас в треугольнике

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Как найти ас в треугольнике

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Как найти ас в треугольнике

Следствие

Для любого острого углаКак найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Как найти ас в треугольникет.е. Как найти ас в треугольнике

Аналогично доказывается, что Как найти ас в треугольнике

Отсюда следует, что Как найти ас в треугольнике

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Как найти ас в треугольникеТогда Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольнике

Ответ: Как найти ас в треугольнике

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Как найти ас в треугольникес гипотенузой Как найти ас в треугольнике(рис. 172).

Как найти ас в треугольнике

Если Как найти ас в треугольникеВыразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Как найти ас в треугольнике

Следствие

Для любого острого угла Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Как найти ас в треугольникеАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Как найти ас в треугольникеДля этого в равностороннем треугольнике Как найти ас в треугольникесо стороной Как найти ас в треугольникепроведем высоту Как найти ас в треугольникекоторая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Как найти ас в треугольнике

В треугольнике Как найти ас в треугольникеи по теореме Пифагора Как найти ас в треугольникеИмеем:

Как найти ас в треугольнике
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Как найти ас в треугольникерассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Как найти ас в треугольникес катетами Как найти ас в треугольнике(рис. 174).

Как найти ас в треугольнике

По теореме Пифагора Как найти ас в треугольникеИмеем:

Как найти ас в треугольнике

Представим значения тригонометрических функций углов Как найти ас в треугольникев виде таблицы.

Как найти ас в треугольнике

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Как найти ас в треугольникегипотенузой Как найти ас в треугольникеи острыми углами Как найти ас в треугольнике(рис. 175).

Как найти ас в треугольнике

Зная градусную меру угла Как найти ас в треугольникеи длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Как найти ас в треугольнике

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Как найти ас в треугольнике(соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Как найти ас в треугольнике

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Как найти ас в треугольникеНайдем катет Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Как найти ас в треугольникеи острому углу Как найти ас в треугольнике(см. рисунок).

Как найти ас в треугольнике

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольнике

т.е. Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольнике

т.е. Как найти ас в треугольнике

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Как найти ас в треугольникеи острому углу Как найти ас в треугольнике(см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Как найти ас в треугольникеи катету Как найти ас в треугольнике(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольникеоткуда Как найти ас в треугольнике

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Как найти ас в треугольнике

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Как найти ас в треугольнике(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольникеоткуда Как найти ас в треугольнике

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Как найти ас в треугольнике

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Как найти ас в треугольнике

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Как найти ас в треугольникеи измерим угол Как найти ас в треугольнике

Поскольку в прямоугольном треугольнике Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Как найти ас в треугольникевысоту Как найти ас в треугольникеприбора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Как найти ас в треугольнике

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Как найти ас в треугольнике

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Как найти ас в треугольнике(рис. 177), в которой Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Проведем высоты Как найти ас в треугольникеПоскольку Как найти ас в треугольнике(докажите это самостоятельно), то Как найти ас в треугольникеВ треугольнике Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольнике

т.е. Как найти ас в треугольнике

Ответ: Как найти ас в треугольнике

Синусом острого угла Как найти ас в треугольникеназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Косинусом острого угла Как найти ас в треугольникеназывается отношение прилежащего катета

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Тангенсом острого угла Как найти ас в треугольникеназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Котангенсом острого угла Как найти ас в треугольникеназывается отношение прилежащего катета к противолежащему:

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Тригонометрические тождества

Как найти ас в треугольнике

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Как найти ас в треугольникерассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Как найти ас в треугольникеДействительно, если радиус окружности равен единице, то Как найти ас в треугольникеизмеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Как найти ас в треугольнике

и косеканс Как найти ас в треугольнике

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Как найти ас в треугольникеможно разделить на Как найти ас в треугольникеравных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Как найти ас в треугольникепричем на отрезке Как найти ас в треугольникебудут лежать Как найти ас в треугольникеточек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Как найти ас в треугольникепо теореме Фалеса получим деление отрезков Как найти ас в треугольникесоответственно на Как найти ас в треугольникеравных отрезков. Следовательно, Как найти ас в треугольникечто и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Как найти ас в треугольникеневозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Как найти ас в треугольнике

Рассмотрим случай, когда Как найти ас в треугольнике(другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Как найти ас в треугольникеотрезок Как найти ас в треугольнике(рис. 181).

Как найти ас в треугольнике

Разобьем отрезок Как найти ас в треугольникена такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Как найти ас в треугольникепопала на отрезок Как найти ас в треугольникеПроведем через точки деления прямые, параллельные Как найти ас в треугольникеПусть прямая, проходящая через точку Как найти ас в треугольникепересекает луч Как найти ас в треугольникев точке Как найти ас в треугольникеТогда по доказанному Как найти ас в треугольникеУчитывая, что в этой пропорции Как найти ас в треугольникеимеем: Как найти ас в треугольнике

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Как найти ас в треугольникеСледовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Как найти ас в треугольникеРазделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Откуда Как найти ас в треугольникеТаким образом, доказано, что Как найти ас в треугольникет.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Как найти ас в треугольникекоторый делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Как найти ас в треугольникекв. ед.

Как найти ас в треугольнике

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Как найти ас в треугольнике— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Как найти ас в треугольникеимеют общую сторону Как найти ас в треугольнике(рис. 183,
Как найти ас в треугольнике

Разобьем сторону Как найти ас в треугольникеравных частей. Пусть на отрезке Как найти ас в треугольникележит Как найти ас в треугольникеточек деления, причем точка деления Как найти ас в треугольникеимеет номер Как найти ас в треугольникеа точка Как найти ас в треугольнике—номер Как найти ас в треугольникеТогда Как найти ас в треугольникеоткуда — Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Как найти ас в треугольникеОни разделят прямоугольник Как найти ас в треугольникеравных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Как найти ас в треугольникесодержится внутри прямоугольника Как найти ас в треугольникеа прямоугольник Как найти ас в треугольникесодержит прямоугольник Как найти ас в треугольнике

Следовательно, Как найти ас в треугольнике

Имеем: Как найти ас в треугольнике

Сравнивая выражения для Как найти ас в треугольникеубеждаемся, что оба эти отношения расположены между Как найти ас в треугольникет.е. отличаются не больше чем на Как найти ас в треугольникенатуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. Как найти ас в треугольникетакое натуральное число Как найти ас в треугольникечто Как найти ас в треугольникеПолученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Как найти ас в треугольникесо сторонами Как найти ас в треугольнике Как найти ас в треугольникесо сторонами Как найти ас в треугольникеи 1 и квадрат Как найти ас в треугольникесо стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Как найти ас в треугольнике

Поскольку Как найти ас в треугольникекв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Как найти ас в треугольнике

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Как найти ас в треугольникеточкой Как найти ас в треугольникепри котором Как найти ас в треугольнике(рис. 184). Пусть длина отрезка Как найти ас в треугольникеравна Как найти ас в треугольникеа длина отрезка Как найти ас в треугольникеравна Как найти ас в треугольникеТогда

Как найти ас в треугольникеОтсюда Как найти ас в треугольникеПоскольку Как найти ас в треугольникето геометрический смысл имеет только значение Как найти ас в треугольникеЗначит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Как найти ас в треугольникеКроме того, часто рассматривают и отношение Как найти ас в треугольникеЗаметим, что Как найти ас в треугольнике— первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Как найти ас в треугольнике

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Как найти ас в треугольнике(или Как найти ас в треугольнике

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Как найти ас в треугольникес помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Как найти ас в треугольникеи провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Как найти ас в треугольнике

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Как найти ас в треугольникеПоскольку по построению Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольникепо определению золотого сечения. Следовательно, Как найти ас в треугольникеУбедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Как найти ас в треугольникеРассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Как найти ас в треугольнике(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике Как найти ас в треугольникебиссектриса. Тогда Как найти ас в треугольникепо двум углам. Следовательно, Как найти ас в треугольникет. е. треугольник Как найти ас в треугольнике— золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Как найти ас в треугольникето такой треугольник подобен треугольнику Как найти ас в треугольникет. е. имеет углы Как найти ас в треугольнике

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Как найти ас в треугольнике(рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Как найти ас в треугольнике

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Как найти ас в треугольнике

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Как найти ас в треугольникеДля доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Как найти ас в треугольникеследовательно, треугольники Как найти ас в треугольникеявляются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Как найти ас в треугольнике(рис. 188, в). Полученный прямоугольник Как найти ас в треугольнике— золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Как найти ас в треугольнике
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Как найти ас в треугольникетогда Как найти ас в треугольникеНеограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Как найти ас в треугольнике

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Как найти ас в треугольникеприближенно может быть выражено дробями Как найти ас в треугольникетак называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Как найти ас в треугольникев правом — от Как найти ас в треугольникеМежду этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от Как найти ас в треугольнике(или косинусы углов от Как найти ас в треугольнике

2-й — тангенсы углов от Как найти ас в треугольнике(или котангенсы углов от Как найти ас в треугольнике

3-й — котангенсы углов от Как найти ас в треугольнике(или тангенсы углов от Как найти ас в треугольнике

4-й — косинусы углов от Как найти ас в треугольнике(или синусы углов от Как найти ас в треугольнике

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Как найти ас в треугольникеПоскольку Как найти ас в треугольникенайдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Как найти ас в треугольникев ней соответствует число 0,423. Следовательно, Как найти ас в треугольнике

2) Определим Как найти ас в треугольникеПоскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать: Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Как найти ас в треугольникеи Как найти ас в треугольнике. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Как найти ас в треугольнике. Следовательно, Как найти ас в треугольнике

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, то из формулы Как найти ас в треугольникеполучим следующие формулы:

Как найти ас в треугольнике

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см — прямоугольный, поскольку Как найти ас в треугольнике. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Как найти ас в треугольнике

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет Как найти ас в треугольникегипотенуза AD= 10 см.

Как найти ас в треугольнике

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Пусть ВС — перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Как найти ас в треугольнике

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Как найти ас в треугольнике(рис. 415), тогда Как найти ас в треугольникеили АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Как найти ас в треугольникеПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Как найти ас в треугольнике. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а — противолежащий углу а, катет b — прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • — отношение Как найти ас в треугольникеобозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • — отношение Как найти ас в треугольникеобозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • — отношение Как найти ас в треугольникеобозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Как найти ас в треугольнике

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Как найти ас в треугольнике

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Как найти ас в треугольнике

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Как найти ас в треугольнике-два прямоугольных треугольника, в которых Как найти ас в треугольнике(рис. 442). Тогда Как найти ас в треугольникепо двум углам (Как найти ас в треугольнике). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Как найти ас в треугольнике

Из этих равенств следует:

Как найти ас в треугольнике

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы — равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Как найти ас в треугольнике.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Как найти ас в треугольнике

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB — 90° — а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникеСравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° — а), cos а = sin (90° — а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° — а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Как найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC — равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Как найти ас в треугольнике

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Как найти ас в треугольникекак катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Как найти ас в треугольнике

ТогдаКак найти ас в треугольнике

Как найти ас в треугольнике

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Как найти ас в треугольнике

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Как найти ас в треугольнике

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус — увеличивается. Как найти ас в треугольнике

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Как найти ас в треугольнике

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Как найти ас в треугольникеКак вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Как найти ас в треугольнике0,8796 нашли Как найти ас в треугольнике28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Как найти ас в треугольнике28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом — от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов — «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние — больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Как найти ас в треугольнике0,559, cos67° Как найти ас в треугольнике0,391, sin85° Как найти ас в треугольнике0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Как найти ас в треугольнике0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Как найти ас в треугольнике38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом — значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Как найти ас в треугольнике0,344. Если tg Как найти ас в треугольнике0,869, то Как найти ас в треугольнике41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник — это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Как найти ас в треугольнике

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Как найти ас в треугольнике

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Как найти ас в треугольнике

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Как найти ас в треугольнике

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Как найти ас в треугольнике.

Тогда Как найти ас в треугольнике(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Как найти ас в треугольнике

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Как найти ас в треугольнике. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Как найти ас в треугольнике

Почленно вычитаем полученные равенства: Как найти ас в треугольнике

Отсюда Как найти ас в треугольнике

Следовательно, Как найти ас в треугольнике

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Как найти ас в треугольнике

Пусть результаты измерения следующие: Как найти ас в треугольнике

Тогда Как найти ас в треугольнике

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Как найти ас в треугольнике

Решение:

Провешиваем прямую Как найти ас в треугольникеи отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Как найти ас в треугольнике

Тогда АВ = Как найти ас в треугольнике

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Как найти ас в треугольнике

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Как найти ас в треугольнике, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Как найти ас в треугольникеТогда Как найти ас в треугольнике

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Как найти ас в треугольнике(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Как найти ас в треугольнике

Из прямоугольного треугольника ABD:

Как найти ас в треугольнике

Из прямоугольного треугольника Как найти ас в треугольнике

Из прямоугольного треугольника BDC:Как найти ас в треугольникеКак найти ас в треугольнике

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📸 Видео

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

В треугольнике отмечены середины M и N сторон BC и AC ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В треугольнике отмечены середины M и N сторон BC и AC ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №15.Скачать

Решаем геометрию ОГЭ по математике 2024! Задание №15.

ОГЭ. Геометрия. 1 часть. Теорема синусов.Скачать

ОГЭ. Геометрия.  1 часть. Теорема синусов.

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном ТреугольникеСкачать

ПРОБЛЕМНЫЕ ЗАДАЧИ #1 ЕГЭ 2024 с Высотой в Прямоугольном Треугольнике

№170. Из вершины В треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этойСкачать

№170. Из вершины В треугольника ABC, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этой

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?
Поделиться или сохранить к себе: