Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник. Найди периметр этого прямоугольника.

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображена фигура. Изобрази на рисунке прямоугольник площадью 20 см 2 так, чтобы он весь был частью данной фигуры.

Площадь прямоугольника должна быть равна 20 см 2 . Это может быть прямоугольник со сторонами 2 и 10 см, 4 и 5 см, 10 см и 2 см и т. д. На рисунке изображён один из вариантов:

Допускается любой иной чертёж, удовлетворяющий условию задачи.

Периметр прямоугольника равен: Периметр треугольника на клетчатой бумагесм.

Ниже на клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник. Ответ укажите в см 2 .

Найди площадь этого прямоугольника.

Ниже на клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник.

Изобрази на рисунке прямоугольник, который имеет площадь на 9 см 2 меньше исходного и весь является его частью.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, следовательно: Периметр треугольника на клетчатой бумагесм 2 .

Площадь искомого прямоугольника имеет площадь 27 — 9 = 18 см 2 . На рисунке представлен один из вариантов:

Допускается любой иной чертёж, удовлетворяющий условию задачи.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, следовательно: Периметр треугольника на клетчатой бумагесм 2 .

На клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник. Найди периметр этого прямоугольника. В ответе укажите число.

Ниже на клетчатом поле со стороной клетки 1 см изображён прямоугольник.

Изобрази на рисунке прямоугольник, который имеет площадь на 9 см 2 меньше исходного и весь является его частью.

Площадь прямоугольника равна произведению двух сторон, следовательно: Периметр треугольника на клетчатой бумагесм 2 .

Искомый прямоугольник имеет площадь 21 — 9 = 12 см 2 . На рисунке изображён один из вариантов:

Допускается любой иной чертёж, удовлетворяющий условию задачи.

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки Периметр треугольника на клетчатой бумаге изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Осталось умножить найденное значение синуса на

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Периметр треугольника на клетчатой бумаге Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

Периметр треугольника на клетчатой бумаге , где и — диагонали.

Получим: Периметр треугольника на клетчатой бумаге

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Периметр треугольника на клетчатой бумаге Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Периметр треугольника на клетчатой бумагеНа клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге1) a=2, b=5,

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Периметр треугольника на клетчатой бумагеНа клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

где a — сторона треугольника, ha — высота, проведённая к этой стороне.

Периметр треугольника на клетчатой бумагеa и ha вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Периметр треугольника на клетчатой бумаге

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

📽️ Видео

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.Скачать

Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см.

Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумагеСкачать

Формула Пика или Как найти площадь любой фигуры на клетчатой бумаге

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Вычисление площади треугольника.задача на клетчатой бумагеСкачать

Вычисление площади треугольника.задача на клетчатой бумаге

Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Площадь треугольника на клеткахСкачать

Площадь треугольника на клетках

ОГЭ 2019 Задание 19. Геометрия на клетчатой бумаге. Площади.Скачать

ОГЭ 2019 Задание 19. Геометрия на клетчатой бумаге. Площади.

Математика 2 класс. «Периметр треугольника, прямоугольника и квадрата»Скачать

Математика 2 класс. «Периметр треугольника, прямоугольника и квадрата»

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?

КАК НАЙТИ ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

КАК НАЙТИ ПЕРИМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Как найти периметр?Скачать

Как найти периметр?

Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?Скачать

Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Урок. Как найти периметр треугольника. Математика 2 класс. #учусьсамСкачать

Урок. Как найти периметр треугольника.  Математика 2 класс. #учусьсам

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профиль
Поделиться или сохранить к себе: