Определения и свойства четырехугольников 8 класс геометрия атанасян

Четырехугольник — фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков,последовательно их соединяющих; причем ни одна из трех данных точек не лежит на одной прямой, а отрезки, соединяющие их, не пересекаются.

Соседние вершины — вершины четырехугольника, являющиеся концами одной из его сторон.
Противолежащие вершины — несоседние вершины.
Соседние стороны — стороны выходящие из одной вершины. Противолежащие стороны — несоседние стороны.
Диагональ четырехугольника — отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника.
Периметр четырехугольника — сумма длин всех сторон.
Выпуклый четырехугoльник — четырехугольник, лежащий в одной полуплоскости относительно прямой,содержащей его сторону.
Внешний угол четырехугольника — угол,смежный с углом четырехугольника.

Свойства углов и сторон четырехугольника

Свойства углов
1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
2. Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Свойства сторон
1. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
2. Сумма диагоналей меньше его периметра.

Виды четырехугольников

Конспекты по четырехугольникам:

Это конспект по теме «Четырехугольники и его свойства». Выберите дальнейшие действия:

8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.

8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

По­вто­ре­ние тео­рии и ре­ше­ние задач

1. Определение, виды и свойства трапеции

Ранее мы уже по­зна­ко­ми­лись с та­ки­ми ви­да­ми че­ты­рех­уголь­ни­ков, как па­рал­ле­ло­грамм и тра­пе­ция, и их част­ны­ми слу­ча­я­ми – пря­мо­уголь­ни­ком, ром­бом и квад­ра­том. Мы изу­чи­ли их ос­нов­ные свой­ства и при­зна­ки. Се­год­ня мы по­вто­рим и обоб­щим все по­лу­чен­ные нами зна­ния по этой теме.

По­вто­рим ос­нов­ной тео­ре­ти­че­ский ма­те­ри­ал.

Тра­пе­ция – это че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны, а две дру­гие не па­рал­лель­ны (см. Рис. 1).

Вы­де­ля­ют два от­дель­ных типа тра­пе­ций: рав­но­бед­рен­ную и пря­мо­уголь­ную.

Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция – это тра­пе­ция, в ко­то­рой бо­ко­вые сто­ро­ны равны (см. Рис. 2).

Рис. 2. Рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция

Пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция – это тра­пе­ция, в ко­то­рой одна из бо­ко­вых сто­рон пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию (см. Рис. 3).

Рис. 3. Пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция

От­дель­но стоит вспом­нить такой важ­ный эле­мент тра­пе­ции, как ее сред­няя линия.

Сред­няя линия тра­пе­ции – это от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции (см. Рис. 4).

Рис. 4. Сред­няя линия тра­пе­ции

Ос­нов­ные свой­ства сред­ней линии тра­пе­ции:

1. – па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции;

2. – равна их по­лу­сум­ме.

2. Определение, свойства и признаки параллелограмма

Па­рал­ле­ло­грамм – че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны (см. Рис. 5).

Рис. 5. Па­рал­ле­ло­грамм

Ос­нов­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма:

Чтобы иметь воз­мож­ность при ре­ше­нии задач поль­зо­вать­ся ука­зан­ны­ми свой­ства­ми, нам необ­хо­ди­мо по­ни­мать, яв­ля­ет­ся ли ука­зан­ный че­ты­рех­уголь­ник па­рал­ле­ло­грам­мом или нет. Для этого необ­хо­ди­мо знать при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма.

Тео­ре­ма. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны (см. Рис. 6), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 6. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны (см. Рис. 7), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 7. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам (см. Рис. 8), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 8. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Те­перь по­вто­рим част­ные слу­чаи па­рал­ле­ло­грам­ма.

3. Определение, свойство и признак прямоугольника

Пря­мо­уголь­ни­ком на­зы­ва­ют па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го все углы пря­мые (см. Рис. 9).

Рис. 9. Пря­мо­уголь­ник

За­ме­ча­ние. Оче­вид­ным эк­ви­ва­лент­ным опре­де­ле­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка (ино­гда его име­ну­ют при­зна­ком пря­мо­уголь­ни­ка) можно на­звать сле­ду­ю­щее. Пря­мо­уголь­ник – это па­рал­ле­ло­грамм с одним углом . Это утвер­жде­ние прак­ти­че­ски оче­вид­но, и мы оста­вим его без до­ка­за­тель­ства, поль­зу­ясь далее как опре­де­ле­ни­ем.

Т.к. пря­мо­уголь­ник, как это видно из опре­де­ле­ния, яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, то ему при­су­щи все ранее опи­сан­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма, од­на­ко у него име­ют­ся и свои спе­ци­фи­че­ские свой­ства, ко­то­рые мы сей­час рас­смот­рим.

Тео­ре­ма. Свой­ство пря­мо­уголь­ни­ка. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны (см. Рис. 10).

.

Рис. 10. Свой­ство пря­мо­уголь­ни­ка

Тео­ре­ма. При­знак пря­мо­уголь­ни­ка. Если в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм – пря­мо­уголь­ник (см. Рис. 11).

Рис. 11. При­знак пря­мо­уголь­ни­ка

4. Определение и свойство ромба

Ромб – па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны равны (см. Рис. 12).

За­ме­ча­ние. Для опре­де­ле­ния ромба до­ста­точ­но ука­зы­вать даже более ко­рот­кое утвер­жде­ние, что это па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го равны две смеж­ные сто­ро­ны .

Ромб об­ла­да­ет всеми свой­ства­ми па­рал­ле­ло­грам­ма, т.к. яв­ля­ет­ся его част­ным слу­ча­ем, но имеет и свое спе­ци­фи­че­ское свой­ство.

Тео­ре­ма. Свой­ство ромба. Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и делят углы ромба по­по­лам (см. Рис. 13).

Рис. 13. Свой­ство ромба

5. Определение и свойства квадрата

Квад­рат – 1) пря­мо­уголь­ник, у ко­то­ро­го сто­ро­ны равны; 2) ромб, у ко­то­ро­го углы пря­мые (см. Рис. 14). Ука­зан­ные опре­де­ле­ния эк­ви­ва­лент­ны и при­ме­ня­ют­ся в любой удоб­ной форме.

Квад­ра­ту при­су­щи свой­ства тех фигур, част­ным слу­ча­ем ко­то­рых он яв­ля­ет­ся (па­рал­ле­ло­грамм, пря­мо­уголь­ник, ромб). Пе­ре­чис­лим их.

Ос­нов­ные свой­ства квад­ра­та (см. Рис. 15):

1. Все углы пря­мые.

2. Диа­го­на­ли равны.

3. Диа­го­на­ли пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

4. Точка пе­ре­се­че­ния делит диа­го­на­ли по­по­лам.

5. Диа­го­на­ли делят углы квад­ра­та по­по­лам.

Рис. 15. Свой­ства квад­ра­та

6. Задача на схожесть свойств трапеции и параллелограмма

Те­перь, когда мы пе­ре­чис­ли­ли и вспом­ни­ли ос­нов­ные свой­ства ос­нов­ных изу­чен­ных че­ты­рех­уголь­ни­ков, мы можем за­кре­пить эти зна­ния на при­ме­ре ре­ше­ния задач.

При­мер 1. (Обоб­щен­ная за­да­ча на тра­пе­цию и па­рал­ле­ло­грамм). Дана тра­пе­ция или па­рал­ле­ло­грамм (см. Рис. 16). бис­сек­три­сы углов при бо­ко­вой сто­роне тра­пе­ции (па­рал­ле­ло­грам­ма). Найти угол между бис­сек­три­са­ми .

Ре­ше­ние. Это при­мер за­да­чи, де­мон­стри­ру­ю­щий схо­жесть неко­то­рых свойств па­рал­ле­ло­грам­ма и тра­пе­ции, в нем не важно, какая кон­крет­но из этих двух фигур за­да­на. Изоб­ра­зим ри­су­нок.

– бис­сек­три­сы, они делят со­от­вет­ству­ю­щие углы по­по­лам, обо­зна­чим их и .

По свой­ству тра­пе­ции (па­рал­ле­ло­грам­ма) .

Рас­смот­рим : .

Ответ: .

7. Теорема Фалеса и задача на ее применение

Вспом­ним фор­му­ли­ров­ку тео­ре­мы Фа­ле­са.

Тео­ре­ма Фа­ле­са. Если па­рал­лель­ные пря­мые, ко­то­рые пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ны угла, от­се­ка­ют на одной его сто­роне рав­ные от­рез­ки, то они от­се­ка­ют рав­ные от­рез­ки и на дру­гой его сто­роне (см. Рис. 17).

Рис. 17. Тео­ре­ма Фа­ле­са

Рас­смот­рим за­да­чу на тра­пе­цию с при­ме­не­ни­ем тео­ре­мы Фа­ле­са.

При­мер 2. Бо­ко­вая сто­ро­на тра­пе­ции раз­де­ле­на на три рав­ные части, и из точек де­ле­ния про­ве­де­ны к дру­гой сто­роне от­рез­ки, па­рал­лель­ные ос­но­ва­ни­ям. Най­ди­те длину этих от­рез­ков, если ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 2 м и 5 м.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 18 со всеми эле­мен­та­ми, ко­то­рые при­го­дят­ся нам в про­цес­се ре­ше­ния. Из­вест­но, что . Найти длины .

Для того, чтобы вос­поль­зо­вать­ся тео­ре­мой Фа­ле­са от­но­си­тель­но угла , про­ве­дем пря­мые .

Сна­ча­ла рас­смот­рим па­рал­ле­ло­грамм , в нем по свой­ству .

Вер­нем­ся к про­ве­ден­ным па­рал­лель­ным пря­мым, по тео­ре­ме Фа­ле­са: . . По­сколь­ку от­ре­зок раз­де­лен на три рав­ные части, то .

Те­перь, если вни­ма­тель­но по­смот­реть на па­рал­ле­ло­грам­мы, об­ра­зо­ван­ные пе­ре­се­че­ни­я­ми линий с про­ве­ден­ны­ми нами пря­мы­ми , можно легко опре­де­лить длины от­рез­ков : , .

Ответ. .

При­мер 3. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции от­но­сят­ся как 2:3. Сред­няя линия равна 5 м. Най­ди­те ос­но­ва­ния.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 19 и ука­жем, что нам дано: . Найти и .

По­сколь­ку из­вест­но, что , то вы­ра­зим ос­но­ва­ния тра­пе­ции через услов­ные части : . За­пи­шем свой­ство сред­ней линии тра­пе­ции:

.

Ответ. .

8. Разные задачи на четырехугольники

При­мер 4. Через дан­ную точку внут­ри угла про­ве­ди­те пря­мую, от­ре­зок ко­то­рой, за­клю­чен­ный внут­ри этого угла, де­лил­ся бы дан­ной точ­кой по­по­лам.

Ре­ше­ние. Внут­ри угла с вер­ши­ной дана точка . Изоб­ра­зим это на Рис. 20 со всеми эле­мен­та­ми, ко­то­рые по­на­до­бят­ся нам для ре­ше­ния за­да­чи.

От­ло­жим от­ре­зок из точки через точку так, чтобы , затем про­ве­дем от­рез­ки , по­лу­чим точки пе­ре­се­че­ния со сто­ро­на­ми угла и со­от­вет­ствен­но. Со­еди­ним эти точки пря­мой, она и будет ис­ко­мой. До­ка­жем это.

По­стро­ен­ная фи­гу­ра яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, т.к. по по­стро­е­нию имеет па­рал­лель­ные про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны, от­рез­ки яв­ля­ют­ся диа­го­на­ля­ми па­рал­ле­ло­грам­ма, сле­до­ва­тель­но, по его свой­ству точ­кой пе­ре­се­че­ния () де­лят­ся по­по­лам и , что и тре­бо­ва­лось по усло­вию за­да­чи.

Ответ. Ис­ко­мая пря­мая – .

При­мер 5. В пря­мо­уголь­ни­ке точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей от­сто­ит от мень­шей сто­ро­ны на 4 см даль­ше, чем от боль­шей сто­ро­ны. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 56 см. Най­ди­те сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние. Изоб­ра­зим Рис. 21.

Опу­стим из точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пер­пен­ди­ку­ля­ры на сто­ро­ны, длины ко­то­рых и будут рас­сто­я­ни­я­ми от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей до сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка. Обо­зна­чим от­ре­зок , тогда по усло­вию . По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что . Под­ста­вим это в фор­му­лу пе­ри­мет­ра пря­мо­уголь­ни­ка:

.

Ответ: .

Презентация и конспект урока по геометрии»Четырехугольники и их свойства»
план-конспект занятия по геометрии (8 класс) по теме

Конспект урока погеометрии для 8 класса

Скачать:

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Четырехугольники и их свойства Дорогу осилит идущий, геометрию – думающий.

Требования к кандидатам презентация о себе наличие профессиональных качеств иметь при себе вопрос для комиссии, позволяющий выявить компетентность в данной сфере деятельности.

Кандидаты 1 2 3 4 5 6 7 8

А B C D O Параллелограмм Четырехугольник

По определению: противолежащие стороны параллелограмма параллельны. Свойства параллелограмма 2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 3. Противолежащие стороны параллелограмма равны. 4. Противолежащие углы параллелограмма равны.

Параллелограмм Четырехугольник В параллелограмме ABCD биссектриса угла А делит сторону BC на отрезки BK и KC . Найдите периметр параллелограмма, если известно, что AB =4 см и BK в 2 раза меньше KC .

Прямоугольник Четырехугольник о А B D C

По определению: все углы прямые Свойства прямоугольника 2. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 3. Противолежащие стороны прямоугольника равны. 4. Диагонали прямоугольника равны

Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2:7 Найдите углы между диагоналями данного прямоугольника. Прямоугольник Четырехугольник

Ромб Четырехугольник А B D C О

По определению: все стороны равны Свойства ромба 2. Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 3. Противолежащие углы ромба равны. 4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба образуют с его стороной углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите углы ромба. Ромб Четырехугольник

А B D C Квадрат Четырехугольник О

Свойства квадрата У квадрата все углы прямые. 2.У квадрата все стороны равны. 3. У квадрата диагонали равны. 4. Диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 5. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. 6. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

Квадрат Четырехугольник Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.

B А С D 1 м K E Дано: ABCD – Квадрат AB = 1 м. AC – диагональ AC – сторона квадрата ACKE Найдите диагональ квадрата ACKE .

Трапеция Четырехугольник А D C B

По определению: две стороны параллельны (основания), боковые стороны равны. Свойства равнобокой трапеции 2. Диагонали равнобокой трапеции равны. 3. Углы при основании равнобокой трапеции равны.

В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м., боковая сторона 1 м., угол между ними 60 0. Найдите меньшее основание. Трапеция Четырехугольник

А D C B K E 1 м 2,7 м ? 60 0 Дано: ABCD – р / б трапеция AB = 1 м AD = 2,7 м

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

конспект урока по геометрии в 8 классе по теме «четырехугольники»

Метод работы на уроке «Подсказка».Вы скажите, что опрос и подсказка — вещи несовместимые? А вот и нет! В своей практике, сталкиваясь с проблемой «списывания и подсказок», я решила об.

План-конспект урока по геометрии «Параллелограмм и его свойства» 8 класс. УМК Атанасян Л.С.

Тип урока. Изучение нового материала Урок составлен в соответствии с требофаниями ФГОС.

Презентация + план конспект урока по геометрии «Правильный многоугольник» в 9 классе.

Материал содержит презентацию и план — конспект урока по геометрии в 9 классе «Правильный многоугольник».

Конспект урока по геометрии 8 класс по теме «Четырехугольники»

Тип урока: изучение и первичное закрепление полученных знаний с элементами исследовательской деятельности обучающихся.

Конспект урока по геометрии 8 класс по теме «Четырехугольники»

Тип урока: изучение и первичное закрепление полученных знаний с элементами исследовательской деятельности обучающихся.

Конспект урока по геометрии 8 класс по теме «Четырехугольники»

Тип урока: изучение и первичное закрепление полученных знаний с элементами исследовательской деятельности обучающихся.