Четырехугольник — фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков,последовательно их соединяющих; причем ни одна из трех данных точек не лежит на одной прямой, а отрезки, соединяющие их, не пересекаются.
Соседние вершины — вершины четырехугольника, являющиеся концами одной из его сторон.
Противолежащие вершины — несоседние вершины.
Соседние стороны — стороны выходящие из одной вершины. Противолежащие стороны — несоседние стороны.
Диагональ четырехугольника — отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника.
Периметр четырехугольника — сумма длин всех сторон.
Выпуклый четырехугoльник — четырехугольник, лежащий в одной полуплоскости относительно прямой,содержащей его сторону.
Внешний угол четырехугольника — угол,смежный с углом четырехугольника.
- Свойства углов и сторон четырехугольника
- Виды четырехугольников
- 8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.
- 8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.
- Вопросы
- Поделись с друзьями
- Комментарии преподавателя
- 1. Определение, виды и свойства трапеции
- 2. Определение, свойства и признаки параллелограмма
- 3. Определение, свойство и признак прямоугольника
- 4. Определение и свойство ромба
- 5. Определение и свойства квадрата
- 6. Задача на схожесть свойств трапеции и параллелограмма
- 7. Теорема Фалеса и задача на ее применение
- 8. Разные задачи на четырехугольники
- Презентация и конспект урока по геометрии»Четырехугольники и их свойства» план-конспект занятия по геометрии (8 класс) по теме
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Подписи к слайдам:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- 🎦 Видео
Свойства углов и сторон четырехугольника
Свойства углов
1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
2. Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Свойства сторон
1. Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
2. Сумма диагоналей меньше его периметра.
Виды четырехугольников
Конспекты по четырехугольникам:
Это конспект по теме «Четырехугольники и его свойства». Выберите дальнейшие действия:
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.
8 класс. Геометрия. Четырехугольники. Прямоугольник, ромб и квадрат.
- Оглавление
- Занятия
- Обсуждение
- О курсе
Вопросы
Задай свой вопрос по этому материалу!
Поделись с друзьями
Комментарии преподавателя
Повторение теории и решение задач
Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
1. Определение, виды и свойства трапеции
Ранее мы уже познакомились с такими видами четырехугольников, как параллелограмм и трапеция, и их частными случаями – прямоугольником, ромбом и квадратом. Мы изучили их основные свойства и признаки. Сегодня мы повторим и обобщим все полученные нами знания по этой теме.
Повторим основной теоретический материал.
Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны (см. Рис. 1).
Выделяют два отдельных типа трапеций: равнобедренную и прямоугольную.
Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 2).
Рис. 2. Равнобедренная трапеция
Прямоугольная трапеция – это трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию (см. Рис. 3).
Рис. 3. Прямоугольная трапеция
Отдельно стоит вспомнить такой важный элемент трапеции, как ее средняя линия.
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (см. Рис. 4).
Рис. 4. Средняя линия трапеции
Основные свойства средней линии трапеции:
1. – параллельна основаниям трапеции;
2. – равна их полусумме.
Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать
2. Определение, свойства и признаки параллелограмма
Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 5).
Рис. 5. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 6), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 6. Первый признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 7), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 7. Второй признак параллелограмма
Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 8), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 8. Третий признак параллелограмма
Теперь повторим частные случаи параллелограмма.
Видео:ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС ЗА 15 МИНУТ / АТАНАСЯН / К ОГЭСкачать
3. Определение, свойство и признак прямоугольника
Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 9).
Рис. 9. Прямоугольник
Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом . Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.
Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.
Теорема. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны (см. Рис. 10).
.
Рис. 10. Свойство прямоугольника
Теорема. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник (см. Рис. 11).
Рис. 11. Признак прямоугольника
Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать
4. Определение и свойство ромба
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны (см. Рис. 12).
Замечание. Для определения ромба достаточно указывать даже более короткое утверждение, что это параллелограмм, у которого равны две смежные стороны .
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма, т.к. является его частным случаем, но имеет и свое специфическое свойство.
Теорема. Свойство ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам (см. Рис. 13).
Рис. 13. Свойство ромба
Видео:ВСЯ ТЕОРИЯ по ГЕОМЕТРИИ ЗА 8 КЛАСС с примерамиСкачать
5. Определение и свойства квадрата
Квадрат – 1) прямоугольник, у которого стороны равны; 2) ромб, у которого углы прямые (см. Рис. 14). Указанные определения эквивалентны и применяются в любой удобной форме.
Квадрату присущи свойства тех фигур, частным случаем которых он является (параллелограмм, прямоугольник, ромб). Перечислим их.
Основные свойства квадрата (см. Рис. 15):
1. Все углы прямые.
2. Диагонали равны.
3. Диагонали перпендикулярны.
4. Точка пересечения делит диагонали пополам.
5. Диагонали делят углы квадрата пополам.
Рис. 15. Свойства квадрата
Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать
6. Задача на схожесть свойств трапеции и параллелограмма
Теперь, когда мы перечислили и вспомнили основные свойства основных изученных четырехугольников, мы можем закрепить эти знания на примере решения задач.
Пример 1. (Обобщенная задача на трапецию и параллелограмм). Дана трапеция или параллелограмм (см. Рис. 16). биссектрисы углов при боковой стороне трапеции (параллелограмма). Найти угол между биссектрисами .
Решение. Это пример задачи, демонстрирующий схожесть некоторых свойств параллелограмма и трапеции, в нем не важно, какая конкретно из этих двух фигур задана. Изобразим рисунок.
– биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их и .
По свойству трапеции (параллелограмма) .
Рассмотрим : .
Ответ: .
Видео:Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать
7. Теорема Фалеса и задача на ее применение
Вспомним формулировку теоремы Фалеса.
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (см. Рис. 17).
Рис. 17. Теорема Фалеса
Рассмотрим задачу на трапецию с применением теоремы Фалеса.
Пример 2. Боковая сторона трапеции разделена на три равные части, и из точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основаниям. Найдите длину этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и 5 м.
Решение. Изобразим Рис. 18 со всеми элементами, которые пригодятся нам в процессе решения. Известно, что . Найти длины .
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Фалеса относительно угла , проведем прямые .
Сначала рассмотрим параллелограмм , в нем по свойству .
Вернемся к проведенным параллельным прямым, по теореме Фалеса: . . Поскольку отрезок разделен на три равные части, то .
Теперь, если внимательно посмотреть на параллелограммы, образованные пересечениями линий с проведенными нами прямыми , можно легко определить длины отрезков : , .
Ответ. .
Пример 3. Основания трапеции относятся как 2:3. Средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
Решение. Изобразим Рис. 19 и укажем, что нам дано: . Найти и .
Поскольку известно, что , то выразим основания трапеции через условные части : . Запишем свойство средней линии трапеции:
.
Ответ. .
Видео:Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.Скачать
8. Разные задачи на четырехугольники
Пример 4. Через данную точку внутри угла проведите прямую, отрезок которой, заключенный внутри этого угла, делился бы данной точкой пополам.
Решение. Внутри угла с вершиной дана точка . Изобразим это на Рис. 20 со всеми элементами, которые понадобятся нам для решения задачи.
Отложим отрезок из точки через точку так, чтобы , затем проведем отрезки , получим точки пересечения со сторонами угла и соответственно. Соединим эти точки прямой, она и будет искомой. Докажем это.
Построенная фигура является параллелограммом, т.к. по построению имеет параллельные противоположные стороны, отрезки являются диагоналями параллелограмма, следовательно, по его свойству точкой пересечения () делятся пополам и , что и требовалось по условию задачи.
Ответ. Искомая прямая – .
Пример 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение. Изобразим Рис. 21.
Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляры на стороны, длины которых и будут расстояниями от точки пересечения диагоналей до сторон прямоугольника. Обозначим отрезок , тогда по условию . Поскольку получаем, что . Подставим это в формулу периметра прямоугольника:
.
Ответ: .
Видео:Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать
Презентация и конспект урока по геометрии»Четырехугольники и их свойства»
план-конспект занятия по геометрии (8 класс) по теме
Конспект урока погеометрии для 8 класса
Видео:ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ТРАПЕЦИЯ 8 класс АтанасянСкачать
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
1.ppt | 1.6 МБ |
doc1.doc | 1.3 МБ |
Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах
Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.
Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ
Предварительный просмотр:
Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 классСкачать
Подписи к слайдам:
Четырехугольники и их свойства Дорогу осилит идущий, геометрию – думающий.
Требования к кандидатам презентация о себе наличие профессиональных качеств иметь при себе вопрос для комиссии, позволяющий выявить компетентность в данной сфере деятельности.
Кандидаты 1 2 3 4 5 6 7 8
А B C D O Параллелограмм Четырехугольник
По определению: противолежащие стороны параллелограмма параллельны. Свойства параллелограмма 2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 3. Противолежащие стороны параллелограмма равны. 4. Противолежащие углы параллелограмма равны.
Параллелограмм Четырехугольник В параллелограмме ABCD биссектриса угла А делит сторону BC на отрезки BK и KC . Найдите периметр параллелограмма, если известно, что AB =4 см и BK в 2 раза меньше KC .
Прямоугольник Четырехугольник о А B D C
По определению: все углы прямые Свойства прямоугольника 2. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 3. Противолежащие стороны прямоугольника равны. 4. Диагонали прямоугольника равны
Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 2:7 Найдите углы между диагоналями данного прямоугольника. Прямоугольник Четырехугольник
Ромб Четырехугольник А B D C О
По определению: все стороны равны Свойства ромба 2. Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам 3. Противолежащие углы ромба равны. 4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба образуют с его стороной углы, один из которых в 4 раза больше другого. Найдите углы ромба. Ромб Четырехугольник
А B D C Квадрат Четырехугольник О
Свойства квадрата У квадрата все углы прямые. 2.У квадрата все стороны равны. 3. У квадрата диагонали равны. 4. Диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 5. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. 6. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
Квадрат Четырехугольник Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего.
B А С D 1 м K E Дано: ABCD – Квадрат AB = 1 м. AC – диагональ AC – сторона квадрата ACKE Найдите диагональ квадрата ACKE .
Трапеция Четырехугольник А D C B
По определению: две стороны параллельны (основания), боковые стороны равны. Свойства равнобокой трапеции 2. Диагонали равнобокой трапеции равны. 3. Углы при основании равнобокой трапеции равны.
В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м., боковая сторона 1 м., угол между ними 60 0. Найдите меньшее основание. Трапеция Четырехугольник
А D C B K E 1 м 2,7 м ? 60 0 Дано: ABCD – р / б трапеция AB = 1 м AD = 2,7 м
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№2 - Параллелограмм.)Скачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
конспект урока по геометрии в 8 классе по теме «четырехугольники»
Метод работы на уроке «Подсказка».Вы скажите, что опрос и подсказка — вещи несовместимые? А вот и нет! В своей практике, сталкиваясь с проблемой «списывания и подсказок», я решила об.
План-конспект урока по геометрии «Параллелограмм и его свойства» 8 класс. УМК Атанасян Л.С.
Тип урока. Изучение нового материала Урок составлен в соответствии с требофаниями ФГОС.
Презентация + план конспект урока по геометрии «Правильный многоугольник» в 9 классе.
Материал содержит презентацию и план — конспект урока по геометрии в 9 классе «Правильный многоугольник».
Конспект урока по геометрии 8 класс по теме «Четырехугольники»
Тип урока: изучение и первичное закрепление полученных знаний с элементами исследовательской деятельности обучающихся.
Конспект урока по геометрии 8 класс по теме «Четырехугольники»
Тип урока: изучение и первичное закрепление полученных знаний с элементами исследовательской деятельности обучающихся.
Конспект урока по геометрии 8 класс по теме «Четырехугольники»
Тип урока: изучение и первичное закрепление полученных знаний с элементами исследовательской деятельности обучающихся.
🎦 Видео
Геометрия 8 класс за 1 час | Математика | УмскулСкачать
Геометрия 8 класс (Урок№1 - Многоугольники. Четырёхугольник.)Скачать
Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать
Параллелограмм. 8 класс.Скачать
ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать
8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать
Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать