Окружность в олимпиадных задачах

В работе представлен материал для учителей математики. Рассказывается о решении задач с помощью вспомогательной окружности. Рассматриваются решения задач различной сложности. Работа интересна в плане подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

Видео:Информатика. Разбор олимпиадных задач. Задача "Окружность"Скачать

Скачать:

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей №14 имени заслуженного учителя Российской Федерации А.М.Кузьмина»

Решение задач с помощью вспомогательной окружности6

Использование дополнительных построений — один из основных способов решения геометрических задач. С помощью дополнительного построения можно значительно упростить даже трудную задачу.

Порой использовать дополнительное построение в задаче не составит проблем , но в задачах повышенной сложности ,его непросто нарисовать: требуется опыт, смекалка и интуиция, чтобы понять что и где нужно провести.

Часто в ЕГЭ в части «В» встречаются планиметрические задачи, которые решить без использования дополнительных построений очень трудно. И в этом очень сильно помогает – вспомогательная окружность. Изучать окружность начинают в 8 классе и продолжают вплоть до 11, и нередко метод вспомогательной окружности используется в высшей математике ,что говорит о важности этого метода в геометрии. Построение вспомогательной окружности помогает установить связь между данными и неизвестными углами или

По определению, окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от точки (центр), и центр окружности лежит в той же плоскости, что и кривая.

Окружность называют вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри этого многоугольника, и касается всех его сторон.

Описанной окружностью многоугольника называют- окружность, содержащую все вершины многоугольника.

В геометрии существует множество теорем и аксиом связанных с окружностью, однако для того чтобы решить задачу с помощью окружность не обязательно знать их все: существует несколько основных утверждений с помощью которых можно решить практически любую задачу с проведением окружности.

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность
• В любой треугольник можно вписать окружность
• Если сумма противоположных углов в четырёхугольнике 180˚, то в четырёхугольник можно вписать окружность
• Если сумма двух противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон, то вокруг такого четырёхугольника можно описать окружность
• Если точки B и C расположены по одну сторону от прямой AD и ABD= ACD, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (рис.1)
• Если точки B и D расположены по разные стороны от прямой и притом ABC+ ADC=180˚, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (рис.2).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ОКРУЖНОСТИ

Задача 1: В прямоугольном треугольнике ABC на катете BC взята произвольная точка F, так что FK перпендикулярна AC. Доказать, что FAK= FBK.

Рассмотрим четырёхугольник ABFK B= FKA=90˚, значит в четырёхугольнике ABFK сумма противоположных углов равна 180˚, а это необходимое и достаточное условие для того, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность. Описав окружность, заметим что FAK и FBK опираются на одну дугу, следовательно они равны.

Задача 2: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AF,BS,CK, которые пересекаются в точке O. Доказать, что ABS= AFK

Так как AFB и CKB- прямые, то около четырёхугольника OFBK можно описать окружность, взяв BO за периметр. Построив окружность, можно заметить, что ABS= AFK, так как они опираются на одну и ту же дугу.

Задача 3: Доказать, что квадрат биссектрисы треугольник равен разности между произведением заключающих её сторон и произведением отрезков третьей стороны, на которые она делится биссектрисой.

Опишем около треугольника ABC окружность, и продолжим биссектрису BM до пересечения с окружностью в точке D. Обозначим стороны буквами для упрощения вычислений: AB=a, BC=b, MD=s, AM=e, MC=k, BM=l.

По условию ABD= CBD, и ADB= ACB, так как опираются на одну и ту же дугу, из этого следует, что ΔABD

ΔBCM(по 1 признаку), тогда справедливо равенство: ,отсюда следует , а так как e k=l s, то .

Задача 4: В четырёхугольнике ABCD: DCB=100˚, DCA=55˚, ADB=45˚. Чему равен DBA?

BCD= DCB- DCA=45˚, тогда BCD= ADB. Тогда вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность. И так как DCA и DBA опираются на одну и ту же дугу, то они равны и DBA=55˚.

Задача 5: В треугольнике ABC медиана BM делит B, так что MBC=45˚. Из точки M опущены перпендикуляры MS и MK на стороны AB и BC, MS=6, SK= . Найти площадь ΔSMK?

В четырёхугольнике MSBK MSB+ MKB=180˚ из этого следует что через вершины четырёхугольника MSBK можно описать окружность. Тогда MSB= MBK, так как эти углы опираются на дугу MK, и MSB=45˚ . И тогда площадь треугольника можно найти как половина произведения сторон на синус прилежащего угла. .

Задача 6: Нужно доказать, что 3 высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

1. Рассмотрим случай, когда треугольник остроугольный.

Проведём в треугольнике ABC две высоты- CK и AM, и прямую BH которая пересекает AC в точке F. Нам нужно доказать, что BFA=90˚.

Так как AKC= AMC=90˚, то точки A,K,M,C- лежат на окружности с диаметром AC.

BKH= BMH= (так как AK и AM перпендикуляры к AB и BC). MBH= HKM так как опираются на одну дугу. ΔCAM

ΔCBF(по 1 признаку): C-общий, MAC= FBC, из этого следует что BFA=90˚.

1. Если треугольник тупоугольный, к примеру B теперь стал тупым, то в этом случае точка пересечения высот будет находится за пределами треугольника. Рассуждения буду точно такими же, только грубо говоря точки B и H меняются местами.

• Для прямоугольного треугольника точка пересечения высот- вершина прямого угла.

Задача 7: Расстояние между основаниями двух высот AK и AF ромба ABCD вдвое меньше диагонали AC. Найти углы ромба.

Так как AKC= AFC, то вокруг четырёхугольника AKCF можно описать окружность, где AC- диаметр, а O- центр окружности. 2KF=AC, из этого следует, что KF=R (где R-радиус окружности). ΔKOF- равносторонний (OK=OF=KF=R), отсюда KOF=60˚. KOF и KAF опираются на одну дугу, где KOF- центральный, а KAF-вписанный, тогда KAF=30˚, C=150˚, B=30˚.

Задача 8: Дан угол в 60˚ с вершиной в точке A и точка K внутри угла. B и C- основания перпендикуляров, опущенных из точки K на стороны угла. KB=5, KC=4,найти AK.

ABK+ ACK=180˚, тогда вокруг четырёхугольника ABKC можно описать окружность, где AK является диаметром (т.к. ABK=90˚). Соединим точки B и C, получим BKC=180˚-60˚=120˚. BC можно найти по теореме косинусов из ΔKBC:

Задача 9: В трапеции ABCD основание BC, диагональ AC и боковая сторона CD равны k. Боковая сторона AB равна q. Найти диагональ BD.

Продолжим BC на расстояние k, так что BE=2k. Тогда окружность с радиусом k и центром в точке C проходит через точки D, A, B. Если BE- диаметр окружности, то ABCD- равнобедренная трапеция и AB=ED=q. BDE=90˚(так как опирается на диаметр). ,тогда

Проанализировав результаты своей работы я пришёл к выводу, что проведение вспомогательной окружности в задачах значительно упрощает её решение. Нередко в B и C частях ЕГЭ встречаются задачи, которые без проведения дополнительных построений решить довольно сложно, и ученики подолгу ломают голову над такими задачами, исписывая при этом не один лист, хотя с помощью окружности решение может занять две строчки.

1. И.Ф.Шарыгин . Геометрия Дрофа М.: 2007.
2. И.Ф.Шарыгин . Решение задач. Просвещение. М.: 2007.
3. И.Г. Габович, Алгоритмический подход к решению геометрических задач, М., «Просвещение», 1996г.
4. Р.Г. Готман: «Задачи по планиметрии и методы их решения».

Видео:Как решать олимпиадные задачи?Скачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок математики в 6-м классе по теме «Окружность. Круг. Длина окружности»

Урок математики в 6-м классе по теме «Окружность. Круг. Длина окружности» лучше проводить в виде практической работы.

Презентация «Длина окружности и длина дуги окружности»

Презентация для интерактивной доски по геометрии в 9 классе.

Урок по теме: «Окружность. Длина окружности».

Цель урока: повторить понятие окружности и круга; вычисление значения числа Пи; ввести понятие длины окружности и формул для вычисления длины окружности.

Презентация и конспект урока по математике в 6 классе «Окружность. Длина окружности»

Урок изучения нового материала. Цель урока формирование практико-ориентированной компетенции при выведении формул длины окружности и их применении при решении задач. Проблемная ситуация создает .

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности.

Цели и задачи:образовательные – добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда каждым учащимся, изучить возможности взаимного расположения п.

Метод вспомогательной окружности.

Метод вспомогательной окружности.

Метод вспомогательной окружности

Презентация содержит необходимые теоремы по теме и примеры использования данных теорем при решении задач.

Видео:Самая сложная задача из самой сложной олимпиады [3Blue1Brown]Скачать

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ОКРУЖНОСТИ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ГЕОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Видео:Олимпиадная задача пятиклассникаСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Морщинкина Юлия Дмитриевна, Сорокина Марина Валерьевна

Рассматривается вопрос необходимости и достаточности условий принадлежности четырех точек окружности . Приведены примеры заданий олимпиадного характера, в которых применяются различные критерии, такие как равноудаленность точек от центра, критерий вписанного четырехугольника , теорема, обратная равенству углов, опирающихся на одну хорду , свойства хорд , секущих и др.

Видео:Олимпиадная физика, кинематика: решение задачи на движение по окружности с ускорением | 9–11 классСкачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Морщинкина Юлия Дмитриевна, Сорокина Марина Валерьевна

Видео:Персидская олимпиадная задача по математикеСкачать

Текст научной работы на тему «ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ОКРУЖНОСТИ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ГЕОМЕТРИИ»

ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ОКРУЖНОСТИ В ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ ПО ГЕОМЕТРИИ

Ю. Д. Морщинкина1, М. В. Сорокина2

1’2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

1 juliamorwinkina@mail.ru 2 sorokina_m@list.ru

Аннотация. Рассматривается вопрос необходимости и достаточности условий принадлежности четырех точек окружности. Приведены примеры заданий олимпиадного характера, в которых применяются различные критерии, такие как равноудаленность точек от центра, критерий вписанного четырехугольника, теорема, обратная равенству углов, опирающихся на одну хорду, свойства хорд, секущих и др.

Ключевые слова: олимпиадная задача по геометрии, окружность, вписанный угол, вписанный четырехугольник, хорда, секущая

Для цитирования: Морщинкина Ю. Д., Сорокина М. В. Принадлежность четырех точек окружности в олимпиадных задачах по геометрии // Вестник Пензенского государственного университета. 2021. № 4. С. 55-62.

В последние годы в образовательном процессе уделяется все больше внимания работе с одаренными детьми. Олимпиады различного уровня прочно вошли в школьную жизнь, и предметная подготовка обучающихся должна постоянно совершенствоваться. Дети, имеющие способности и интерес к предмету, с большим желанием включаются в работу олимпиадного движения. Однако, в такой предметной области, как математика, продвижение по пути решения нестандартных задач сопряжено с огромной работой. В учебном процессе учителем должна быть продумана система подготовки таких детей, разработаны программы, формирующие целостную систему математического знания, а также некоторые универсальные приемы работы с нестандартными задачами. Олим-пиадные задачи по геометрии характеризуются, конечно, нестандартностью подхода к решению. Это проявляется в нескольких аспектах: умение переформулировать требование задачи; умение грамотно выполнить чертеж, умение анализировать задачную ситуацию и искать путь решения и др. Олимпиадная задача по геометрии — это, как правило, задача на доказательство. Поэтому необходимо умение строить логическую цепочку умозаключений. Многие участники олимпиад, успешно справляющиеся с заданиями логического и алгебраического характера, испытывают трудности при решении задач по геометрии. В работе мы хотим остановиться на вопросе решения задачи на доказательство принадлежности четырех (или более) точек окружности. Задания подобного рода часто встречаются и во Всероссийской олимпиаде школьников по математике, и в уров-невых олимпиадах.

В школьном курсе геометрии окружность изучается достаточно подробно: дается определение, рассматриваются свойства углов, вписанных в окружность, теоремы, относящиеся к свойствам касательных, секущих, хорд [1]. Доказываются теоремы о треугольниках и четырехугольниках, вписанных в окружность. Поэтому в большинстве своем

© Морщинкина Ю. Д., Сорокина М. В., 2021

задачи, касающиеся принадлежности четырех точек окружности, у учащихся ассоциируются с четырехугольником, вписанным в окружность. При подготовке к олимпиадам необходимо рассмотреть вопрос равносильных преобразований этого требования, чтобы обучающиеся могли свободно оперировать фактами, выбирая тот, который будет наиболее удобным в каждом конкретном случае. Рассмотрим некоторые возможные варианты доказательства принадлежности четырех точек окружности.

1. Равноудаленность четырех точек от некоторой точки плоскости.

Это требование непосредственно вытекает из определения окружности, как геометрического места точек, равноудаленных от данной. И если в задаче возможно отыскание точки, равноудаленной от трех данных точек, то доказательство может быть проведено на основе именно равноудаленности, т.е. нужно рассматривать равенство четырех отрезков (радиусов окружности). Приведем пример задания, решение которого можно рассматривать с учащимися 8-9 классов.

Задача 1. На плоскости даны две пересекающиеся окружности. Точка А — одна из двух точек пересечения. В каждой окружности проведен диаметр, параллельный касательной в точке А к другой окружности, причем эти диаметры не пересекаются (рис. 1). Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной окружности [2, № 108640].

Обозначим ш1 — окружность с центром в точке О и Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

HC AH HA CH AS CT

Из (9) и (10) следует: -=-. Значит, прямые АС и ST параллельны.

Четырехугольник HSKT — параллелограмм, следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Если ST о HK = D, то D — середина отрезка ST, HD — медиана треугольника HST.

Так ST\AC, то лАНС -aSHT, следовательно, прямая НК, пересекающая сторону ST в ее середине, проходит через середину стороны АС. Значит, прямая HK содержит точку M.

Мы показали, что точка K, лежащая на окружности ю, принадлежит биссектрисе угла B и отрезку HM, следовательно, она совпадает с точкой R, поэтому R ею, что и требовалось доказать.

Мы рассмотрели несколько способов доказательства принадлежности точек окружности. Следует отметить, что существуют и другие варианты, например, использование симметрий или доказательство того, что четыре точки образуют четырехугольник специального вида. Примеры приведенных заданий позволят развить геометрический кругозор учащихся и будут полезны при подготовке к олимпиадам.

1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. [и др.]. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для обще-образоват. организаций. 3-е изд. М. : Просвещение , 2015. 383 с.

2. Интернет-проект «Задачи». URL: http:// www.problems.ru. (дата обращения: 02.04.2021).

Информация об авторах Морщинкина Юлия Дмитриевна, студентка, Пензенский государственный университет.

Сорокина Марина Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математическое образование», Пензенский государственный университет.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Видео:✓ Олимпиада Ломоносов-2020 | Математика | #ТрушинLive #028 | Борис ТрушинСкачать

Авторские олимпиадные задачи репетитора по математике на круги Эйлера

По многочисленным просьбам продолжаю публикацию своих материалов, составленных с учетом различной специфики, в которые попадает репетитор по математике наиболее часто. Здесь Вы найдете необходимую дидактику на урок по теме «Круги Эйлера». Олимпиадные задачи по математике для 4 — 5 класса на Круги Эйлера особенно охотно включают во вступительные экзамены таких престижных заведений, как Курчатовская школа, Лицей вторая школа, 179-я школа и другие.

1) На научный конгресс прибыло 30 академиков. Из них 12 человек будут делать доклад по математике, а 18 человек по физике. Три человека не собираются делать доклады ни по одной из этих наук. Сколько академиков станут докладчиками одновременно и по математике и по физике? Ответ: 3

2) Все четвероклассники школы либо хотят в шахматную секцию, либо на танцы. Шахматистов 75 человек, а танцоров только 25. Ровно 2 человека не ходят ни на шахматы, ни на танцы. Сколько учащихся 4 классов посещают обе секции сразу, если во всех 4 классах учится 92 человека? Ответ: 10

3) Среди всех семей, чьи дети посещают Курчатовскую школу, имеется ровно 500 семей, в которых папа знает математику и 350 семей, в которых ее хорошо знает мама. В десяти семьях ни один из родителей математику не знает, а в двадцати – оба родителя ее знают. Сколько всего семей? Ответ: 840

4) 1 сентября на торжественную линейку пришли ученики 5 классов. В галстуках пришло 70 человек, в пиджаках — 50 человек, а 30 учеников пришли одновременно и в галстуках и в пиджаках. Кроме них 10 человек пришли без галстуков и без пиджаков. Сколько всего учеников 5 классов пришло на линейку? Ответ: 100

5) В классе 29 детей. Из них 8 человек играет в футбол, 5 человек играет одновременно в футбол и в теннис, а еще 5 человек ни во что не играют. Сколько детей играет в теннис? Ответ: 10

6) На детский праздник привезли 420 подарков. В 220 из них были игрушки, ровно в 50-ти одновременно игрушки и конфеты, а в 20-ти из них не было ни того, ни другого, а были наборы фломастеров. В скольких подарках имелись только конфеты? Ответ: 180

7) В лицее учится 72 ученика 6 классов. Из них 50 человек увлечены математикой, 40 ребят – информатикой, а 10 человек не увлечены ни тем, ни другим. Сколько учеников увлечены и математикой и информатикой сразу? Ответ: 28

8) В деревне в каждой семье есть козы или куры, причем в 22 дворах есть козы, а в 26 дворах – куры. В 16 дворах есть сразу и коровы и куры. Сколько в этой деревне дворов? Ответ: 32

9) В 4 классе 26 учеников. Из них английский учат 16 человек, немецкий – 13 человек, а 4 человека не учат ни тот язык, ни другой. Сколько четвероклассников изучают одновременно оба языка?
Ответ: 7

10) К репетитору по математике ходит 14 школьников. Из них олимпиадные задачи любят решать 6 учеников, обычные и олимпиадные – 2 человека, а 3 ученика вообще не любят решать задачки. Сколько у репетитора по математике тех учеников, которые любят решать обычные задачи? Ответ: 7

11) На марсе есть ровно 3 марсианских государства A, В и С с двумя спорными (общими) территориями D и E, Каждый марсианин живет в каком то одном из государстве, либо в двух сразу на спорных территориях. В государстве «А» живет 200 марсиан, в «В» — 300 марсиан, а в «С» — 400. Сколько марсиан живет на спорных территориях D и E, если всего на марсе живет 800 жителей? Ответ: 100

Репетитор по математике о восприятии ребенком кругов Эйлера

На самом деле терминология не совсем отражает реальность, ибо чаще всего на рисунках отображаются вовсе не круги, а области. Поэтому правильнее было бы назвать тему «области Эйлера». Но это мелочи.

Корни задач с кругами Эйлера уходят в теорию множеств. Конечно, оперировать соответствующей терминологией без определенной адаптации теоретико — множественных понятий к восприятию их ребенком 4 — 5 класса чревато последствиями. На помощь репетитору приходит все тот же рисунок. Однако недостаточно вычертить две пересекающиеся области, нужно точно подписать количество элементов каждой из них. Я всегда специально оговариваю, что числовое значение, вставленное во внутреннюю часть области показывает количество ее элементов до пограничной линии, то есть, например на нижеприведенном рисунке репетитор по математике отмечает числами 20 и 30 количество элементов в красном и синем кругах, не входящих в желтое пересечение.

Если в задаче известны значения полных кругов, включая желтую зону, то я бы рекомендовал репетиторам отображать их сбоку за пределами линий областей. Любая олимпиадная задача по математике на круги Эйлера должна быть изображена в виде рисунка и желательно в цвете. Иначе придется долго мучить ученика следующими пояснениями к ответам действий, на подобии следующих: «количество учеников, изучающих английский язык, но не изучающих немецкий». Лучший вариант звучит так: «левая часть синего круга».

Специфика задач на круги Эйлера состоит в разнице между количеством элементов объединения и суммой чисел, отвечающих за количество элементов каждого множества. Эту разницу репетиторам по математике стоит раскрыть в самом начале урока на простом примере пересчета числа точек. Я обычно отмечаю несколько таких, обвожу их, как показано на нижнем рисунке кругами разных цветов и задаю ученику направляющие вопросы:

«Сколько точек в зеленом круге?»
«Сколько в коричневом?
«Если эти количества сложить, мы все точки перечитаем?»
«Почему это количество не сходится с реальным числом точек в кругах?»

Обычно ребенок сразу же улавливает главное и говорит преподавателю: «У нас 3 точки лишний раз посчитались». И вот оно — счастье репетитора по математике — ученик схватил суть.

Желаю вам успехов в работе с объяснениями кругов Эйлера! Присылайте свои материалы и делитесь опытов с коллегами!
На ваш суд была представлена коллекция материалов, полезных для начальной подготовки в лицей «Вторая школа», 179 школу и ряд близких по уровню математических лицеев и классов.

С уважением, Александр Николаевич. Олимпиадные занятия для 4 -5 классов в Строгино (м.Щукинская).

🌟 Видео

Математика это не ИсламСкачать

1.3 | Рыцари и лжецы. Разные логические задачи | Олимпиадная математика | ЛекториумСкачать

Разбор олимпиадных задач по математикеСкачать

Супер жесть! Уравнение с олимпиадыСкачать

Олимпиадная задача, которую смогли решить единицыСкачать

Олимпиады: начало. Делимость и остатки. Олимпиадная математикаСкачать

Олимпиадная задача, которую смогли решить единицыСкачать

9 класс. Алгебра. Олимпиадные задания.Скачать

Пять лайфхаков, как сдавать олимпиадные задачи, если ты пишешь на Python / Григорий ШовкоплясСкачать

Как затащить олимпиады в 2024? (Математика)Скачать

Решаем олимпиадные задачи для 5-го классаСкачать

Разбор олимпиадных задач по математике 7 КлассСкачать