Чтобы четырехугольник был параллелограммом необходимо и достаточно

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ для выполнения какого-либо верного утвержде ния (предложения, суждения) — всякое условие, из которого следует это утвер ждение. Например, для делимости целого многозначного числа на 4 достаточным условием является окончание этого числа по крайней мере двумя нулями. Но это условие — равенство двух последних цифр целого числа нулю — не является необходимым условием для делимости целого числа на 4. Однако можно указать такое условие делимости цедрго многозначного числа на 4, которое будет и необходимым и достаточным; это условие состоит в том, что двузначное число, на которое оканчивается многозначное число, должно делиться на 4. Действительно, если двузначное число, на которое оканчивается многозначное число, делится на 4, то и все многозначное число делится на 4, и обратно — верно, если многозначное число делится на 4, то и двузначное число, на которое оно оканчивается, делится на 4.
Достаточное условие является одним из важнейших понятий математики и часто встречается в формулировках теорем наряду с необходимым условием. Достаточное условие называется также достаточным признаком для выполнения какого-либо верного утверждения. Для выполнения какого-либо утверждения можно указать не один, а несколько достаточных условий. Например, для того чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, достаточно одного из условий: 1) чтобы любые две его противоположные стороны были равны и параллельны друг другу; 2) чтобы в точке пересечения его диагонали делились пополам; 3) чтобы этот четырехугольник имел центр симметрии. См. также Необходимое условие, Критерий, Теорема.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Необходимые и достаточные условия

Понятие отношения следования между предложениями позволяет уточнить смысл слов «необходимо» и «достаточно», которые часто употребляются в математике.

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В – необходимое условие для А, а А – достаточное условие для В.

Другими словами, предикат В(х) логически следует из предиката А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) называют достаточным условием для В(х), а В(х) – необходимым условием для А(х).

условие необходимости: АВ

условие достаточности: ВА

Если же предложения А и В равносильны, то говорят, что А – необходимое условие для В, и наоборот.

Другими словами, если из предиката А(х) логически следует предикат В(х), а из предиката В(х) логически следует предикат А(х), т.е. А(х)В(х), то А(х) – необходимое и достаточное условие для В(х), а В(х) – необходимое и достаточное условие для А(х).

условие необходимости и достаточности:

АВ

В начальном курсе математики слова «необходимо» и «достаточно», как правило, не употребляются, но зато широко используются их синонимы – «нужно» и «можно».

Приведем пример. В первой коробке 6 карандашей, во второй – на 2 меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

Один из возможных путей поиска решения задачи может быть таким. Учитель спрашивает: можно ли сразу узнать, сколько карандашей (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на ее вопрос)?

Учащийся отвечает: нельзя, так как нужно знать, сколько карандашей во второй коробке (т.е. необходимо знать).

Учитель далее спрашивает: можно ли узнать количество карандашей во второй коробке? (т.е. достаточно ли данных в задаче, чтобы сразу ответить на этот вопрос)?

Ученик отвечает: можно.

Учитель спрашивает: что для этого нужно сделать? И т.д.

Правильное употребление слов «нужно» и «можно» – залог успеха в использовании слов «необходимо» и «достаточно» при дальнейшем изучении математики.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Вместо многоточия вставим термины «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, …, чтобы число х являлось делителем числа 5».

Решение: Введем обозначения: С(х) – «число х делитель числа 5», В(х) – «число х – делитель числа 15».

Для ответа на вопрос задачи нужно выяснить, каким условием является предикат С(х) для предиката В(х).

Для проверки достаточности предиката С(х) выясним, находятся ли С(х) и В(х) в отношении следования. Так как Т = , а Т = <1, 3, 5,15>, то Т Т и, следовательно, С(х)В(х). Истинность последнего высказывания означает, что С(х) является достаточным условием для В(х).

Проверим, является ли С(х) необходимым условием для В(х), выяснив, истинно ли высказывание В(х)С(х).

Так как найдется такое значение х (например, х = 3), при котором В(х) истинно, а С(х) ложно, то высказывание В(х)С(х) ложно и, следовательно, С(х) не является необходимым условием для В(х).

Таким образом, вместо многоточия можно вставить термин «достаточно»: «Для того чтобы число х являлось делителем числа 15, достаточно, чтобы х являлось делителем числа 5».

2. Дано предложение: «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны». Выясним, нельзя ли сформулировать это предложение по-другому.

Поскольку предложение «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» вытекает из предложения «Четырехугольник – ромб», то предложение «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо, чтобы его диагонали были взаимно перпендикулярны» можно сформулировать еще так:

1) Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

4) Чтобы диагонали четырехугольника были взаимно перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом.

3. Вставить слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в предложение «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, …, чтобы оно делилось на 2».

Решение: Пусть предложение А – «число делится на 6», В – «Число делится на 2». Тогда, для того чтобы выполнялось условие необходимости, из предложения А должно логически следовать предложение В, а чтобы выполнялось условие достаточности – предложение А должно логически следовать из В.

Действительно, любое число, которое делится на 6, делится на 2. Значит, выполняется условие необходимости. И не верно, что любое число, делящееся на 2, делится на 6 (например, 14 делится на 2, но не делится на 6).

Значит, условие достаточности не выполняется, а вместо многоточия нужно вставить термин «необходимо»: «Для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо, чтобы оно делилось на 2».

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

Презентация по математике «НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАТЕМАТИКЕ»

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Видео:№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

УРОК ПО ТЕМЕ: «НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МАТЕМАТИКЕ» Класс: 9, 10, 11. Учитель: Абузов Юрий Иванович. Стаж: 42 года. Категория: высшая. Школа: МБОУ СОШ п. Селекция, Кстовского района, Нижегородской области. Дата: январь 2015 года.

Некоторые комментарии. В программе по математике средней школы, где математики в 10-11 классах 4 часа в неделю, а в 5-9 классах 5 часов в неделю нет темы «Необходимые и достаточные условия». Тем не менее, в задачах и теоремах встречаются слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Определенные трудности испытывают и выпускники школ, когда на лекциях по математике в вузах слышат слова «необходимо и достаточно». Данная тема довольно сложная, вся трудность заключается в ее логическом смысле. Неплохо, если учитель в своей речи уже с пятого класса использует эти слова, не объясняя ученикам их логического смысла. В связи с этим полезно провести уроки на эту тему (на элективе, факультативе, кружке). Включить учащихся в деятельность по открытию необходимых и достаточных условий учитель может только ведя их за собой, показывая образец рассуждений.

Конспект урока. Тема урока. Необходимые и достаточные условия в математике. Тип урока. Урок изучения нового учебного материала. Цель урока. Учащиеся должны знать Необходимые и Достаточные условия и применять их при доказательстве теорем и решении задач.

Структура урока. Актуализация знаний. Введение Необходимых и Достаточных условий. Узнавание Необходимых и Достаточных условий в примерах. Решение задач на Необходимые и Достаточные условия. Подведение итогов. Выдача домашнего задания и его комментирование.

Актуализация. Каждая теорема содержит условие и заключение. Правда, эти части теоремы не всегда бывают отчетливо выделены. Например: диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Очень важно уметь выделять условия и заключения, т.е. представить теорему в виде: Если А (условие), то В (заключение). В нашем примере: Если четырехугольник ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. Выделите в следующих теоремах условие и заключение: Вертикальные углы равны В прямоугольнике диагонали равны Синусы равных углов равны Косинусы смежных углов отличаются только знаком Разность двух чисел, умноженная на их сумму, равна разности квадратов этих чисел Сумма смежных углов равна 180 градусов Параллелограмм имеет центр симметрии Повторить признаки и свойства параллелограмма.

Определение: В истинной теореме её заключение называют необходимым условием её условия. Сформулируем эту теорему, применяя слово «необходимо»: центральная симметрия необходима для параллелограмма наличие центра симметрии – необходимое условие параллелограмма. Далее идут упражнения на отыскание Необходимых Условий. Можно их приготовить на плакате, кодопленках, компьютере.

Найдите Необходимые Условия параллелограмма АВСД: Методика выполнения такая: составь теорему установи, истинна она или нет если истинна, то соответствующее заключение есть Необходимые Условия параллелограмма. Если теорема ложная, то заключение не является Необходимым Условием. М – центр симметрии СД = АВ ВД = АС ∠ А= ∠ В ∠ А= ∠ С Δ АВС= Δ АДС ∠ А= ∠ Д ∠ А+ ∠ Д=180° МА = МС, МВ = МД

Рассмотрим «Достаточные условия».

Формулировка Определение: В верной теореме её условие называется Достаточным Условием её заключения. Сформулируем эту теорему, используя слово «достаточно»: вертикальность углов достаточна для их равенства чтобы углы были равны, достаточно их вертикальности.

Свойства и признаки параллелограмма. Если четырёхугольник – параллелограмм, то Четырёхугольник – параллелограмм, если противоположные стороны попарно равны противоположные углы попарно равны диагонали точкой пересечения делятся пополам две противоположные стороны равны и параллельны

Теорема о диагоналях параллелограмма. Сформулируем теорему о диагоналях параллелограмма. Для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делились пополам. Часто вместо слов «необходимо и достаточно» употребляют другие, например, «тогда и только тогда», «в том и только в том случае».

8. Непрерывность есть … условие дифференцируемости. Ответ: Н 9. Дифференцируемость функции — … условие непрерывности. Ответ: Д 10. Для делимости суммы «а + в» на 3, … чтобы каждое слагаемое делилось на 3. Ответ: Д 11. Чтобы треугольник был прямоугольным, … чтобы квадрат большей стороны был бы равен сумме квадратов двух других его сторон. Ответ: Н и Д 12. Третий признак равенства треугольников есть … условие равенства треугольников. Ответ: Н и Д 13. Равенство производной в точке нулю или её не существование в точке есть … условие экстремума функции. Ответ: Н 14. Центр симметрии есть … условие параллелограмма. Ответ: Н и Д

Упражнения на доказательство

Подведение итогов урока. Выдача домашнего задания и его комментирование.

Рассмотрим решение некоторых заданий.

Заполнить пропуски словами: «необходимо, но недостаточно», «достаточно, но не необходимо», «необходимо и достаточно», «не необходимо и недостаточно». 1. Для того, чтобы треугольник был равнобедренным, … , чтобы одна из его высот была медианой Ответ: Н и Д 2. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, … , чтобы какие-нибудь два угла его составляли в сумме 180 градусов Ответ: Н, но не Д 3. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, … , чтобы он имел три прямых угла Ответ: Д, но не Н 4. Чтобы данная точка являлась центром вписанной в треугольник окружности, … , чтобы она лежала на одной из биссектрис углов треугольника Ответ: не Н и не Д 5. Для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны, … , чтобы их скалярное произведение было равно нулю Ответ: Н и Д 6. Чтобы один из углов треугольника был равен 30 градусов, … , чтобы длина одной из сторон была равна половине другой стороны Ответ: не Н и не Д 7. Чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, … , чтобы он был равнобедренной трапецией Ответ: Д, но не Н Алгоритм выполнения упражнений: Составь теорему Составь теорему, обратную данной Проверь их на истинность Выбери нужные слова Сформулируй ответ

📸 Видео

Доказательство первого признака параллелограммаСкачать

Параллелограмм. 8 класс.Скачать

Геометрия 8. Урок 2 - Параллелограмм. Свойства и признаки.Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Признаки параллелограмма. 8 класс.Скачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Можно ли так повернуть налево?/Три задачки для опытных водителейСкачать

90 школьников решают эту задачу неправильно. Сможешь решить с помощью теоремы Пифагора?Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Параллелограмм. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

✅ Площадь параллелограмма. Решаем задачу из ЕГЭСкачать

Признаки параллелограмма Доказательство признаков параллелограммаСкачать