Прямоугольник описан около окружности

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Прямоугольник описан около окружности

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Прямоугольник описан около окружности

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Прямоугольник описан около окружности
Прямоугольник описан около окружности.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Прямоугольник описан около окружности.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Прямоугольник описан около окружности. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Прямоугольник описан около окружностив (2), получим:

Прямоугольник описан около окружности

Ответ: Прямоугольник описан около окружности

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Прямоугольник описан около окружности

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Прямоугольник описан около окружности. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Прямоугольник описан около окружностив (4), получим:

Прямоугольник описан около окружности
Прямоугольник описан около окружности

Ответ: Прямоугольник описан около окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Прямоугольник описан около окружности(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Прямоугольник описан около окружности. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Прямоугольник описан около окружностив (5), получим:

Прямоугольник описан около окружности

Ответ: Прямоугольник описан около окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Прямоугольник описан около окружности(6)
Прямоугольник описан около окружности(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Прямоугольник описан около окружности(8)
Прямоугольник описан около окружности(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Прямоугольник описан около окружности(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Прямоугольник описан около окружностиПрямоугольник описан около окружности(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Прямоугольник описан около окружности(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Прямоугольник описан около окружности, а периметр равен Прямоугольник описан около окружности. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Прямоугольник описан около окружности, Прямоугольник описан около окружностив (11):

Прямоугольник описан около окружности

Подставляя значения Прямоугольник описан около окружностии Прямоугольник описан около окружностив первую формулу (12), получим:

Прямоугольник описан около окружности

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Прямоугольник описан около окружностии Прямоугольник описан около окружностив формулу, получим:

Прямоугольник описан около окружности

Ответ: Прямоугольник описан около окружности, Прямоугольник описан около окружности

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Видео:16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.

Радиус описанной окружности прямоугольника

Как известно, прямоугольником является четырехугольник с прямыми углами. Противоположные углы прямоугольника в сумме составляют 180°, соответственно, вокруг него можно описать одну окружность, при этом, вершины прямоугольника должны быть расположены на этой окружности. Центр прямоугольника и описанной вокруг него окружности размещен в месте пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны. Если известны стороны прямоугольника, можно рассчитать величину диагоналей по теореме Пифагора. Диагональ прямоугольника является в то же время и диаметром описанной окружности. R описанной окружности представляет половину диагонали прямоугольника и рассчитывается путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов его сторон деленный на 2 или как половина его диагонали:

Прямоугольник описан около окружностиПрямоугольник описан около окружности

d — диагональ;
a, b — величины сторон прямоугольника.

Если известны стороны прямоугольника или диагонали, можно быстро найти R описанной окружности с помощью калькулятора.

Видео:ЕГЭ математика 2023 Вариант 2 задача 1Скачать

ЕГЭ математика 2023  Вариант 2 задача 1

Радиус описанной окружности прямоугольника

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

Прямоугольник описан около окружности

a , b — стороны прямоугольника

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Прямоугольник описан около окружности

Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольника через стороны

📽️ Видео

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

Прямоугольник в окружностиСкачать

Прямоугольник в окружности

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Геометрия Если четырехугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащихСкачать

Геометрия Если четырехугольник является описанным около окружности, то суммы его противолежащих

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: