Что такое вырожденный четырехугольник (6 видео)

Содержание

Как реализовать проверку четырехугольника на вырожденность в Java?
Проект для НПК по математике учащегося 10 кл «Две теоремы косинусов для четырёхугольников»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Четырехугольники
теория по математике 📈 планиметрия
Выпуклый четырехугольник
Виды и свойства выпуклых четырехугольников
Прямоугольник
Квадрат
Параллелограмм
Трапеция
Виды трапеций
Средняя линия трапеции
📺 Видео

Видео:Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Как реализовать проверку четырехугольника на вырожденность в Java?

Есть Point, каждый point имеет x и y. Первая мысль — проверить, лежат ли точки на одной прямой, но возникают сложности, не совсем понимаю, как это сделать.

Вот метод для поиска пресечений отрезков.

Буду рад помощи

Вопрос задан 29 нояб.
117 просмотров

Четырехугольник вырожденный, если его площадь равна нулю.
Для четырехугольника это будет выполняться если все вершины лежат на одной прямой.

Чтобы выяснить, что вершины лежат на одной прямой можно воспользоваться скалярным произведением векторов,
построенных на вершинах. Скалярное произведение двух параллельных векторов равно единице, это и значит в нашем случае, что вершины лежат на одной прямой.

Например так:
vAB.x=b.X-a.X
vAB.y=b.Y-a.Y

Теперь находим скалярное произведение векторов vAB*vAС и vAB*vAD, если оба равны единице, то четырехугольник вырожденный.

Найти скалярное произведение от координат векторов можно так:
s(v1, v2) = (v1.x*v2.x+v1.y*v2.y)/(sqrt(v1.x*v1.x+v1.y*v1.y)*sqrt(v2.x*v2.x+v2.y*v2.y))

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

Проект для НПК по математике учащегося 10 кл «Две теоремы косинусов для четырёхугольников»

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Копьёвская средняя общеобразовательная школа

с углублённым изучением отдельных предметов»

Две теоремы косинусов для четырёхугольника

Давыдович Антон Юрьевич,

учащийся 10Б класса

Загородних Ольга Иосифовна,

п. Копьёво, 2014 г.

1. Теорема косинусов для четырехугольника №1……………………………….4

2. Теорема косинусов для четырехугольника №2……………………………….5

В практике не редко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике. Так, в геодезии часто приходиться иметь с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырехзвенных шарнирных механизмов и т. п. Из всего многообразия возникших здесь вопросов нами рассматриваются лишь две теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника естественно называют теоремами косинусов для четырехугольника. Эти теоремы интересны сами по себе, богаты вытекающими из ник следствиями и могут с успехом применяться при решении различных метрических задач.

Объект исследования: две теоремы косинусов для четырехугольника.

Предмет исследования: метрические соотношения в четырехугольнике.

Гипотеза: для четырехугольника существуют теоремы, которые по аналогии с соответствующими теоремами для треугольника, называются теоремами косинусов.

Цели исследования: изучение двух теорем косинусов для четырехугольника и некоторых следствий из второй теоремы.

Задачи исследования: изучить два доказательства первой теоремы, формулировку второй и доказательства некоторых следствий из второй теоремы.

1.Теорема косинусов для четырехугольника №1

Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

Учитывая, что KN 2 = а 2 , LN 2 = c 2 , после подстановки значений KL , KN , LN в равенство KL 2 = KN 2 + LN 2 – 2 KN ∙ LN cos μ, получаем

Подставим эти значения в выражение x 2 = l 2 + f 2 — b 2 – 2 ac cos μ , получим требуемое соотношение

Наиболее экономный вывод достигается средствами векторной алгебры.

Действительно, и, возведя в квадрат обе части этого равенства, получим:

Если скалярные произведения записать в виде произведения длин соответствующих векторов и косинусов углов между ними

то получим соотношение

2.Теорема косинусов для четырехугольника №2

Втора теорема косинусов (теорема Бретшнейдера, 1843 г.), редко встречается в русской и иностранной учебной литературе по элементарной геометрии.

Теорема 2. Квадрат произведения диагоналей простого четырехугольника равен сумме квадратов произведений его противоположных сторон без удвоенного произведения всех четырех сторон четырехугольника и косинуса суммы двух его противолежащих углов.

Четырехугольник называют простым , если: а) из каждой его вершины выходит две стороны; б) стороны не имеют внутренних общих точек; в) ни одна из вершин не является внутренней точкой стороны. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то такой четырехугольник называют непростым. В школе изучают свойства только простых четырехугольников.

Эта теорема называется теоремой косинусов для четырехугольника потому, что она аналогична теореме косинусов для треугольника, стороны которого пропорциональны произведениям lf, ac , bd , где a , b , c , d – последовательные стороны данного четырехугольника, l и f — его диагонали. Существование такого треугольника легко может быть установлено.

3. Следствия из теоремы №2

1. Если сумма какой- либо пары противолежащих углов равна 90˚, то квадрат произведения диагоналей равен сумме квадратов произведений противолежащих сторон четырехугольника.

Действительно, если сумма углов А и С равна 90 ˚ (или же 270˚), то ( lf ) 2 = ( ac ) 2 + + ( bd ) 2 . Это соотношение представляет собой аналог теоремы Пифагора и в известном смысле может быть названа теоремой Пифагора для четырехугольника.

2. В параллелограмме с острым углом, равным 45˚, квадрат произведения диагоналей равен сумме четвертых степеней неравных сторон.

Это следствие вытекает из предыдущего при а = с и b = d .

3. Расстояние от вершины С прямого угла прямоугольного треугольника АВС
до произвольной точки D его гипотенузы выражается формулой CD 2 = (а 2 m 2 + b 2 n 2 )/с 2 , где a и b – катеты, m и n – отрезки гипотенузы АВ треугольника АВС.

4. Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

Во вписанном четырехугольнике сумма углов А и С равна 180˚, значит,

5. Расстояние BD между вершиной в треугольнике АВС и произвольной точкой D стороны АС определяется равенством

BD 2 = (AB 2 ∙ DC + BC 2 ∙ AD – AC ∙ AD ∙ DC).

Это соотношение известно как теорема Стюарта.

Рассмотрим вырожденный четырехугольник ABCD c углом CDA равным 180˚; диагонали его равны BD и AC = DA + DC .

Вырожденным четырехугольником называют четырехугольник ABCD , у которого вершина D лежит между вершинами А и С. Фактически здесь четырехугольник АВСВ «выродился» в треугольник с обозначенной на его стороне АС точкой D .

(BC ∙ AC) 2 = (AB ∙ DC) 2 + (BC ∙ AD) 2 – 2AB ∙ BC ∙ DC ∙ AD cos (∟B + 180˚).

Но cos (∟B + 180˚) = -cos∟B = — (AB 2 + BC 2 – AC 2 ) : (2AB ∙ BC), поэтому

BD 2 ∙ AC 2 = AB 2 ∙ DC 2 + DC 2 ∙ AD 2 + CD ∙ DA ∙ (AB 2 + BC 2 – AC 2 ), или

BD 2 ∙ AC 2 = AB 2 ∙ DC ∙ (DC + AD) + DC 2 ∙ AD ∙ (AD + CD) — CD ∙ AD ∙ AC 2 , то есть BD 2 = (AB 2 ∙ DC + BC 2 ∙ AD – BC 2 ∙ AC ∙ AD ∙ DC).

6. Если па плоскости даны четыре точки A , B , C , D , то определяемые ими шесть отрезков удовлетворяют неравенству

AB ∙ CD ≤ AC ∙ BD + AD + BC,

при чем знак равенства имеет место только в двух случаях: когда данные точки лежат на одной окружности или же эти точки лежат на одной прямой и, кроме того, пара точек А и В разделяет пару точек С и D .

В самом деле, учитывая, что

AB 2 ∙ CD 2 ≤ AC 2 ∙ BD 2 + AD 2 ∙ BC 2 + 2 AC ∙ BD ∙ AD ∙ BC ,

AB ∙ CD ≤ AC ∙ BD + AD + BC.

Если имеет место знак равенства, то ∟ B + ∟ D = 180˚ и данные четыре точки лежат на одной окружности или же на одной прямой.

Видео:Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Четырехугольники

теория по математике 📈 планиметрия

Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, последовательно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости (то есть все его стороны расположены только с одной стороны прямой, прямая НЕ разбивает фигуру) относительно прямой, содержащей любую его сторону. На рисунке показан выпуклый четырехугольник АВСD.

Определение

Диагональ четырехугольника – отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины. На рисунке 2 диагоналями являются отрезки АС и BD.

Видео:Вписанный четырёхугольник | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

Виды и свойства выпуклых четырехугольников

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.

Прямоугольник

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые.

На рисунке видно, что углы А, В, C и D прямые, то есть равны 90 градусов. Свойства прямоугольника, его периметр и площадь

Противоположные стороны прямоугольника равны (АВ=CD, ВС=АD).
Диагонали прямоугольника равны (АС=ВD).
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон: Р=(а + b) × 2, где а и b соседние (смежные) стороны прямоугольника
Площадь прямоугольника – это произведение длин соседних (смежных) сторон, формула для нахождения площади прямоугольника:

S=ab, где a и b соседние стороны прямоугольника.

Квадрат

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

Диагонали квадрата равны (BD=AC).
Диагонали квадрата пересекаются под углом 90 градусов.
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC).
Периметр квадрата – это сумма длин всех сторон. Так как все стороны квадрата равны, то его можно найти по формуле Р=4×а, где а — длина стороны квадрата.
Площадь квадрата – это произведение длин соседних сторон, формула для нахождения площади прямоугольника S=a 2 , где a — длина стороны квадрата.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны – боковыми сторонами трапеции.

Виды трапеций

Трапеция называется прямоугольной, если у нее боковая сторона перпендикулярна основаниям. Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла.

углы А и С равны по 90 градусов

Средняя линия трапеции

Сделаем чертеж параллелограмма и покажем на нем биссектрисы углов, которые пересекаются в точке N.

Угол ANB равен углу NАD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей AN. А по условию углы BАN и NАD равны (AN биссектриса). Следовательно, углы BАN и BNА равны. Значит, треугольник ABN является равнобедренным, у него АВ= BN.

Аналогично, через равенство углов CND, ADN и CDN доказывается, что треугольник CND является равнобедренным, у него CN=DC.

По условию задачи мы имеем параллелограмм, а по свойству параллелограмма – противолежащие стороны равны, т.е. АВ=СD, значит, АВ=BN=NC=CD. Таким образом, мы доказали, что BN=NC, т.е. N – середина ВС.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30 0 и 135 0 , а СD =17

Сделаем чертеж, выполнив на нём дополнительные построения – высоты АМ и СН, которые равны как расстояния между параллельными сторонами трапеции.

Рассмотрим треугольник CНD, где CD=17, угол Н=90 0 , следовательно, треугольник прямоугольный. Найдем величину угла DCН, 135 0 – 90 0 =45 0 (так как провели высоту CН). Отсюда следует, что угол D=45 0 , так как треугольник прямоугольный. Значит, треугольник является равнобедренным (углы D и DCН равны по 45 градусов).

Найдем катеты CН и DН по теореме Пифагора, как катет равнобедренного треугольника по формуле с=а √ 2 , где с=17. Следовательно, CН = 17 √ 2 . . = 17 √ 2 2 . . .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ, где угол В равен 30 градусов, а катет АМ= CН= 17 √ 2 2 . . . Зная, что катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, найдем АВ (она будет в два раза больше катета). АВ=2 × 17 √ 2 2 . . =17 √ 2

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Основания трапеции равны 7 и 11, а высота равна 7. Найти площадь этой трапеции.

Для нахождения площади трапеции в справочном материале есть формула

S = a + b 2 . . h , для которой у нас известны и основания, и высота. Подставим в неё эти значения и вычислим: S = 7 + 11 2 . . ∙ 7 = 18 2 . . ∙ 7 = 9 ∙ 7 = 63

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S= d 1 d 2 s i n a 2 . . , где d 1 и d 2 длины диагоналей четырехугольника, а – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 1 , если d 2 =16, sin a= 2 5 . . , a S=12,8

Для выполнения данного задания надо подставить все известные данные в формулу:

12,8= d 1 × 16 × 2 5 . . 2 . .

В правой части можно сократить 16 и 2 на 2: 12,8= d 1 × 8 × 2 5 . . 1 . .

Теперь умножим 8 на дробь 2 5 . . , получим 3,2: 12,8= d 1 × 3 , 2

Найдем неизвестный множитель, разделив 12,8 на 3,2: d 1 =12,8:3,2=4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На плане изображен дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зеленая, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м, а чуть подальше – жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6). Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырех цифр без пробелов, запятых и других символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Для решения 1 задачи работаем с текстом и планом одновременно:

при входе на участок слева от ворот находится гараж (слева от входа находится объект под номером 2), итак, гараж — 2. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв.м (справа объект под номером 1), сарай – номер 1. А чуть подальше – жилой дом, следовательно, жилой дом – объект под номером 7. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки, на плане они обозначены цифрой 3. Также на участке есть баня, к которой ведет дорожка, выложенная плиткой, на плане видим, что к объекту под номером 4 ведет дорожка, значит баня – 4. Огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6), в огороде расположена теплица – объект 5.

Итак, получили следующее:

1 – сарай; 2 – гараж; 3 – яблоневые посадки; 4 – баня; 5 – теплица; 6 – огород; 7 – жилой дом.

Заполняем нашу таблицу:

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры	3	5	1	7

Записываем ответ: 3517

Задание №2

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Для начала надо определить, как обозначены дорожки, которые надо выложить плиткой, на плане. На плане они показаны серым цветом (мы их обведём голубым цветом).

Теперь ищем в условии задачи, что сказано про плитки и дорожки: «Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м х 1м».

Сосчитаем, сколько клеточек (плиток) на плане, получаем 65. Зная по условию задачи 1, что плитки продаются в упаковках по 6 штук, разделим 65 на 6. Заметим, что 65 на 6 не делится, получается приблизительно 10,8…Учитывая, что упаковки не делятся, округляем до большего целого числа, нам понадобится 11 упаковок.

Задание №3

Найдите расстояние от жилого дома до теплицы (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Из задания 1 знаем, что жилой дом обозначен на плане цифрой 7, а теплица цифрой 5. Следовательно, на плане находим эти объекты и расстояние между двумя ближайшими точками по прямой (обозначим это голубым цветом). Видим, что это расстояние – 2 клетки. На плане показано, что длина стороны одной клетки равна 2 метра, значит, расстояние между двумя этими объектами равно 4 метра.

Задание №4

Найдите площадь, которую занимает гараж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Найдем на плане гараж, это объект под номером 2. Гараж имеет прямоугольную форму, следовательно, нам надо найти площадь прямоугольника. Для этого надо найти длину и ширину. На плане показано, что длина стороны 1 клетки равна 2 метра, значит, длина гаража равна 8 м (4 клетки), а ширина — 6 м (3 клетки).

Зная ширину и длину, находим площадь гаража: 6х8=48 кв.м

Задание №5

Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв.м., а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски и стоимость доставки заказа даны в таблице.

Номер магазина	Расход краски	Масса краски в одной банке	Стоимость одной банки краски	Стоимость доставки заказа
1	0,25 кг/кв.м	6 кг	3000 руб.	500 руб.
2	0,4 кг/кв.м	5 кг	1900 руб.	800 руб.

Во сколько рублей обойдется наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Решение

Определим, сколько килограммов краски понадобится для покраски забора площадью 232 кв.м:

1 магазин: 232х0,25=58 кг

2 магазин: 232х0,4=92,8 кг

Вычислим количество банок краски, которое надо купить, зная массу краски в 1 банке:

1 магазин: 58:6=9,7…; так как банки продаются целиком, то надо 10 банок (округляем до наибольшего целого числа)

2 магазин: 92,8:5=18,56; значит надо 19 банок.

Вычислим стоимость краски в каждом магазине плюс доставка:

1 магазин: 10х3000+500=30500 руб.

2 магазин: 19х1900+800=36900 руб.

Из решения задачи видно, что в 1 магазине купить краску выгоднее. Следовательно, наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой будет стоить 30500 рублей.

Ответ: см. решение

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить