Четырехугольник является параллелограммом если каждая диагональ делит его на два равных

О чем эта статья:

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
   
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
   
3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
   Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
   

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
   
2. Противоположные углы параллелограмма равны.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
   
3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
   ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
   
4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
   ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
   
5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
   ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
   
6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
   

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
   • CO = AO
   • BO = DO

   

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB || CD
• AB = CD

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

1. AC — общая сторона;
2. По условию AB = CD;
3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

• AB = CD
• BC = AD

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

• AC — общая сторона;
• AB = CD по условию;
• BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

• CO = OA;
• DO = BO;
• углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Параллелограммы

Свойства и признаки параллелограмма

Свойства и признаки прямоугольника

Свойства и признаки ромба

Свойства и признаки квадрата

Свойства и признаки параллелограмма

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Параллелограмм		Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны
Определение	Диагонали параллелограмма		Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины
Определение	Высота параллелограмма		Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение
Свойство	Равенство противолежащих сторон		Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны
Признак			Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом
Признак	Равенство и параллельность двух противолежащих сторон		Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом
Свойство	Диагонали точкой пересечения делятся пополам		Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам
Признак			Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом
Свойство	Суммы углов, прилежащих к сторонам		Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180°
Признак			Если у четырёхугольника сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180° , то четырёхугольник является параллелограммом
Свойство	Равенство противолежащих углов		Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны
Признак			Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом
Свойство	Два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник		Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника
Признак			Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом
Свойство	Четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник		Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника)
Признак			Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом

Определение: параллелограмм
	Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны
Определение: диагонали параллелограмма
	Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины
Определение: высота параллелограмма
	Высотой параллелограмма называютперпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение
Свойство: равенство противолежащих сторон
	Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны
Признак: равенство противолежащих сторон
	Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом
Признак: равенство и параллельность двух противолежащих сторон
	Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом
Свойство: диагонали точкой пересечения делятся пополам
	Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам
Признак: диагонали точкой пересечения делятся пополам
	Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом
Свойство: суммы углов, прилежащих к сторонам
	Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180°
Признак: суммы углов, прилежащих к сторонам
	Если у четырёхугольника сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180° , то четырёхугольник является параллелограммом
Свойство: равенство противолежащих углов
	Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны
Признак: равенство противолежащих углов
	Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом
Свойство: два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник
	Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника
Признак: два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник
	Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом
Свойство: четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник
	Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника)
Признак: четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник
	Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом

Параллелограмм

Определение: Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Диагонали параллелограмма

Определение: Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины

Высота параллелограмма

Определение: Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение

Равенство противолежащих сторон

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны.

Признак: Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом.

Равенство и параллельность двух противолежащих сторон

Признак: Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Признак: Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом.

Суммы углов, прилежащих к сторонам

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180° .

Признак: Если у четырёхугольника сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180° , то четырёхугольник является параллелограммом.

Равенство противолежащих углов

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны.

Признак: Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом.

Два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника.

Признак: Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом.

Четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник

Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

Признак: Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом.

Свойства и признаки прямоугольника

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Прямоугольник		Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые
Свойство	Равенство диагоналей		Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны
Признак			Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником

Определение: прямоугольник
	Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые
Свойство: равенство диагоналей
	Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны
Признак: равенство диагоналей
	Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником

Прямоугольник

Определение: Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.

Равенство диагоналей

Свойство: Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны.

Признак: Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Свойства и признаки ромба

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Ромб		Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны
Свойство	Биссектрисы углов диагонали		Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали является биссектрисами углов
Признак			Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом
Свойство	Перпендикулярность диагоналей		Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны
Признак			Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом

Определение: ромб
	Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны
Свойство: биссектрисы углов и диагонали
	Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали являются биссектрисами углов
Признак: биссектрисы углов и диагонали
	Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом
Свойство: перпендикулярность диагоналей
	Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны
Признак: перпендикулярность диагоналей
	Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом

Ромб

Определение: Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны

Биссектрисы углов и диагонали

Признак: Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом

Перпендикулярность диагоналей

Свойство: Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны

Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом

Свойства и признаки квадрата

Тип утверждения	Фигура	Рисунок	Формулировка
Определение	Квадрат		Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны
Свойство	Перпендикулярность и равенство диагоналей		Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны
Признак			Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом
Свойство	Перпендикулярность диагоналей		Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны
Признак			Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом
Свойство	Равенство диагоналей		Если ромб является квадратом, то его диагонали равны
Признак			Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом

Определение: квадрат
	Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны
Свойство: перпендикулярность и равенство диагоналей
	Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны
Признак: перпендикулярность и равенство диагоналей
	Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом
Свойство: перпендикулярность диагоналей
	Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны
Признак: перпендикулярность диагоналей
	Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом
Свойство: равенство диагоналей
	Если ромб является квадратом, то его диагонали равны
Признак: равенство диагоналей
	Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом

Квадрат

Определение: Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны

Перпендикулярность и равенство диагоналей

Свойство: Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны

Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом

Перпендикулярность диагоналей

Свойство: Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны

Признак: Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом

Равенство диагоналей

Свойство: Если ромб является квадратом, то его диагонали равны

Признак: Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Действительно, углы и параллелограмма (рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых и и секущей Поэтому Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Так как то Аналогично Поэтому параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Доказательство:

Диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника и (рис. 17). -их общая сторона, и (как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых и и и секущей Тогда (по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, и (как соответственные элементы равных треугольников). Так как то

4. Периметр параллелограмма

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть — точка пересечения диагоналей и параллелограмма (рис. 18). (как противолежащие стороны параллелограмма), (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых и и секущих и соответственно). Следовательно, (по стороне и двум прилежащим углам). Тогда (как соответственные стороны равных треугольников).

Пример:

Дано: параллелограмм, — биссектриса угла (рис. 19). Найдите:

Решение:

1)

2) (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых и и секущей

3) (по условию), тогда Тогда — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника),

4)

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 — высота параллелограмма,

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 и — высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам и

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике и (рис. 22). Проведем диагональ Рассмотрим и (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей — общая сторона, (по условию). Следовательно, (по двум сторонам и углу между ними). Тогда (как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых и секущей Поэтому (по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому -параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике и (рис. 22). Проведем диагональ Тогда (по трем сторонам). Поэтому и следовательно, (по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Следовательно, — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике диагонали и пересекаются в точке и (рис. 23). (как вертикальные). Поэтому (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Аналогично доказываем, что Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что — параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме (рис. 16). Так как то т. е. откуда Но и — внутренние накрест лежащие углы для прямых и и секущей Поэтому

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Следовательно, — параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Докажите, что — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть — данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим и — их общая сторона, (по условию). Тогда, (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Но тогда в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» — греческого происхождения; «диа» означает «через», а «гониос» — «угол», что можно понимать как отрезок, соединяющий вершины углов.

Следует отметить, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, соединяющего противолежащие вершины четырехугольника, в частности прямоугольника, употреблял другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои рассуждения основывали на вписанных в окружность прямоугольниках. В Средние века для названия упомянутого отрезка использовали оба термина. Лишь в XVIII в. термин «диагональ» стал общепринятым.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия Аналитическая геометрия Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Площадь параллелограмма
• Прямоугольник и его свойства
• Ромб и его свойства, определение и примеры
• Квадрат и его свойства
• Свойство точек биссектрисы угла
• Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
• Четырехугольник и его элементы
• Четырехугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео