Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Укажите номера верных утверждений.

1) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.

2) Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.

3) Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию» — верно, по свойству равнобедренного треугольника.

2) «Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника» — неверно; верным будет утверждение: «Диагонали любого ромба делят его на 4 равных треугольника».

3) «Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса» — верно по определению внешних и внутренних точек круга.

Содержание
  1. Параллелограмм: свойства и признаки
  2. Определение параллелограмма
  3. Свойства параллелограмма
  4. Признаки параллелограмма
  5. Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения
  6. Определение параллелограмма
  7. Свойства параллелограмма
  8. Пример №1
  9. Пример №2
  10. Признаки параллелограмма
  11. Пример №3
  12. Необходимые и достаточные условия
  13. Виды параллелограммов
  14. Прямоугольник
  15. Квадрат
  16. Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения
  17. Трапеция
  18. Частные случаи трапеций
  19. Пример №4
  20. Построение параллелограммов и трапеций
  21. Пример №5
  22. Пример №6
  23. Теорема Фалеса
  24. Пример №7
  25. Средняя линия треугольника
  26. Средняя линия трапеции
  27. Пример №8
  28. Вписанные углы
  29. Градусная мера дуги
  30. Вписанный угол
  31. Пример №9
  32. Следствия теоремы о вписанном угле
  33. Пример №10
  34. Вписанные четырехугольники
  35. Описанные четырехугольники
  36. Пример №11
  37. Геометрические софизмы
  38. Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности
  39. Пример №12
  40. Пример №13
  41. Замечательные точки треугольника
  42. Точка пересечения медиан
  43. Пример №14
  44. Точка пересечения высот
  45. Справочный материал по параллелограмму
  46. 🎦 Видео

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Параллелограмм: свойства и признаки

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

О чем эта статья:

Видео:Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.Скачать

Диагонали четырехугольника равны 4 и 5.

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Миникурс по геометрии. ЧетырехугольникиСкачать

Миникурс по геометрии. Четырехугольники

Параллелограмм — его свойства, признаки и определение с примерами решения

Содержание:

С четырехугольником вы уже знакомились на уроках математики. Дадим строгое определение этой фигуры.

Определение четырехугольника:

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех отрезков, которые их последовательно соединяют (сторон четырехугольника). При этом никакие три его вершины не лежат на одной прямой и никакие две стороны не пересекаются.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

На рисунке 1 изображен четырехугольник с вершинами Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Говорят, что две вершины четырехугольника являются соседними вершинами, если они соединены одной стороной; вершины, которые не являются соседними, называют противолежащими вершинами. Аналогично стороны четырехугольника, имеющие общую вершину, являются соседними сторонами, а стороны, не имеющие общих точек,— противолежащими сторонами. На рисунке 1 стороны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— соседние для стороны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа сторона Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— противолежащая стороне Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникавершины Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— соседние с вершиной Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа вершина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— противолежащая вершине Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник обозначают, последовательно указывая все его вершины, причем буквы, которые стоят рядом, должны обозначать соседние вершины. Например, четырехугольник на рисунке 1 можно обозначить Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаили Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникано нельзя обозначать Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Определение

Диагональю четырехугольника называется отрезок, соединяющий две противолежащие вершины.

В четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 2) диагоналями являются отрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледует отметить, что любой четырехугольник имеет диагональ, которая делит его на два треугольника.

Определение

Периметром четырехугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр четырехугольника (как и треугольника) обозначают буквой Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Любой четырехугольник ограничивает конечную часть плоскости, которую называют внутренней областью этого четырехугольника (на рис. 3, а, б она закрашена).

На рисунке 3 изображены два четырехугольника и проведены прямые, на которых лежат стороны этих четырехугольников. В четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаэти прямые не проходят через внутреннюю область — такой четырехугольник является выпуклым (рис. 3, а). В четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямые Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапроходят через внутреннюю область — этот четырехугольник является невыпуклым (рис. 3, б).

Определение

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Действительно, четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана рисунке 3, а лежит по одну сторону от любой из прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВ школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

выпуклые четырехугольники (другие случаи будут оговорены отдельно).

Определение

Углом (внутренним углом) выпуклого четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапри вершине Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника называется угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Угол, смежный с внутренним углом четырехугольника при данной вершине, называют внешним углом четырехугольника при данной вершине.

Углы, вершины которых являются соседними, называют соседними углами, а углы, вершины которых являются противолежащими,— противолежащими углами четырехугольника.

Теорема (о сумме углов четырехугольника)

Сумма углов четырехугольника равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

В данном четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапроведем диагональ, которая делит его на два треугольника (рис. 4). Поскольку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасумма углов четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравна сумме всех углов треугольников Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато есть равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТеорема доказана.

Пример:

Углы четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасоседние с углом Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравны, а противолежащий угол в два раза больше угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(см. рис. 1). Найдите угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаесли Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Решение:

Углами, соседними с углом Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляются углы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа углом, противолежащим к Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо условию задачи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПоскольку сумма углов четырехугольника равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЕсли градусная мера угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато градусная мера угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо условию равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаОтсюда имеем: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ответ: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Определение параллелограмма

Рассмотрим на плоскости две параллельные прямые, пересеченные двумя другими параллельными прямыми (рис. 7).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

В результате такого пересечения образуется четырехугольник, который имеет специальное название — параллелограмм.

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

На рисунке 7 изображен параллелограмм Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникав котором Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Пример:

На рисунке 8 Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаДокажите, что четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Решение:

Из равенства треугольников Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаследует равенство углов: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаУглы 1 и 2 являются внутренними накрест лежащими при прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаАналогично углы 3 и 4 являются внутренними накрест лежащими при прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо признаку параллельности прямых имеем: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапротиволежащие стороны попарно параллельны, т.е. Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм по определению.

Как и в треугольнике, в параллелограмме можно провести высоты (рис. 9).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Определение

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный из точки одной стороны к прямой, которая содержит противолежащую сторону.

Очевидно, что к одной стороне параллелограмма можно провести бесконечно много высот (рис. 9, а),— все они будут равны как расстояния между параллельными прямыми, а из одной вершины параллелограмма можно провести две высоты к разным сторонам (рис. 9, б). Часто, говоря «высота параллелограмма», имеют в виду ее длину.

Свойства параллелограмма

Непосредственно из определения параллелограмма следует, что любые два его соседних угла являются внутренними односторонними при параллельных прямых, которые содержат противолежащие стороны. Это означает, что сумма двух соседних углов параллелограмма равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Докажем еще несколько важных свойств сторон, углов и диагоналей параллелограмма.

Теорема (свойства параллелограмма)

В параллелограмме:

  1. противолежащие стороны равны;
  2. противолежащие углы равны;
  3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Свойства 1 и 2 иллюстрирует рисунок 10, а, а свойство 3 — рисунок 10, б.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведем в параллелограмме Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадиагональ Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 11) и рассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

У них сторона Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— общая, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо второму признаку равенства треугольников. Отсюда, в частности, следует, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаА поскольку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, свойства 1 и 2 доказаны.

Для доказательства свойства 3 проведем в параллелограмме Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадиагонали Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакоторые пересекаются в точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 12).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Рассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаУ них Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо доказанному, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо второму признаку. Отсюда следует, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат. е. точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляется серединой каждой из диагоналей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТеорема доказана полностью.

Пример №1

Сумма двух углов параллелограмма равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаНайдите углы параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПоскольку сумма двух соседних углов параллелограмма равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато данные углы могут быть только противолежащими. Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда по свойству углов параллелограмма Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСумма всех углов параллелограмма равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапоэтому Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ответ: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Пример №2

В параллелограмме Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникабиссектриса угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаделит сторону Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапополам. Найдите периметр параллелограмма, если Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Решение:

Пусть в параллелограмме Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникабиссектриса угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапересекает сторону Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникав точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 13). Заметим, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапоскольку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— биссектриса угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаОтсюда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. по признаку равнобедренного треугольника треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— равнобедренный с основанием Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольниказначит, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо условию Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ответ: 36 см.

Признаки параллелограмма

Теоремы о признаках параллелограмма

Для того чтобы использовать свойства параллелограмма, во многих случаях необходимо сначала убедиться, что данный четырехугольник действительно является параллелограммом. Это можно доказать либо по определению (см. задачу в п. 2.1), либо по признакам — условиям, гарантирующим, что данный четырехугольник — параллелограмм. Докажем признаки параллелограмма, которые чаще всего применяются на практике.

Теорема (признаки параллелограмма)

  1. Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  2. Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
  3. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1) Пусть в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 15).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведем диагональ Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи рассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаОни имеют общую сторону Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо условию, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Из равенства этих треугольников следует равенство углов 3 и 4. Но эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда по признаку параллельности прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТаким образом, в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапротиволежащие стороны попарно параллельны, откуда следует, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм по определению.

2) Пусть в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 16).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Снова проведем диагональ Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи рассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВ этом случае они равны по третьему признаку: сторона Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— общая, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо условию. Из равенства треугольников следует равенство углов 1 и 2, которые являются внутренними накрест лежащими при прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо признаку параллельности прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникастороны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапараллельны и равны, и по только что доказанному признаку 1 Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадиагонали пересекаются в точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 17). Рассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЭти треугольники равны по первому признаку: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак вертикальные, а Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо условию. Следовательно, равны и соответствующие стороны и углы этих треугольников: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм по признаку 1.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема доказана полностью.

Пример №3

В параллелограмме Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаточки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середины сторон Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасоответственно (рис. 18). Докажите, что четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника—параллелограмм.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Решение:

Рассмотрим четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСтороны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапараллельны, т.к. лежат на прямых, содержащих противолежащие стороны параллелограмма Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаКроме того, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак половины равных сторон Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапараллелограмма Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТаким образом, в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадве стороны параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм.

Попробуйте самостоятельно найти другие способы решения этой задачи, основанные на применении других признаков и определения параллелограмма.

Необходимые и достаточные условия

Каждый из признаков параллелограмма указывает на определенную особенность, наличия которой в четырехугольнике достаточно для того, чтобы утверждать, что он является параллелограммом. Вообще в математике признаки иначе называют достаточными условиями. Например, перпендикулярность двух прямых третьей — достаточное условие параллельности данных двух прямых.

В отличие от признаков, свойства параллелограмма указывают на ту особенность, которую обязательно имеет любой параллелограмм. Свойства иначе называют необходимыми условиями. Поясним такое название примером: равенство двух углов необходимо для того, чтобы углы были вертикальными, ведь если этого равенства нет, вертикальными такие углы быть не могут.

В случае верности теоремы «Если Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаутверждение Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляется достаточным условием для утверждения Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа утверждение Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— необходимым условием для утверждения Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСхематически это можно представить так:

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Таким образом, необходимые условия (свойства) параллелограмма следуют из того, что данный четырехугольник — параллелограмм; из достаточных условий (признаков) следует то, что данный четырехугольник — параллелограмм.

Сравнивая свойства и признаки параллелограмма, нетрудно заметить, что одно и то же условие (например, попарное равенство противолежащих сторон) является и свойством, и признаком параллелограмма. В таком случае говорят, что условие является необходимым и достаточным. Необходимое и достаточное условие иначе называют критерием. Например, равенство двух углов треугольника — критерий равнобедренного треугольника.

Немало примеров необходимых и достаточных условий можно найти в других науках и в повседневной жизни. Все мы знаем, что воздух — необходимое условие для жизни человека, но не достаточное (человеку для жизни нужно еще много чего, среди прочего — пища). Выигрыш в лотерею — достаточное условие для материального обогащения человека, но оно не является необходимым — ведь улучшить свое финансовое положение можно и другим способом. Попробуйте самостоятельно найти несколько примеров необходимых и достаточных условий.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Виды параллелограммов

Прямоугольник

Определение

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

На рисунке 28 изображен прямоугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, он имеет все свойства параллелограмма: противолежащие стороны прямоугольника параллельны и равны, противолежащие углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д. Однако прямоугольник имеет некоторые особые свойства. Докажем одно из них.

Теорема (свойство прямоугольника)

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникас диагоналями Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 29). Треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямоугольные и равны по двум катетам Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— общий, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак противолежащие стороны прямоугольника). Отсюда следует равенство гипотенуз этих треугольников, т. е. Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникачто и требовалось доказать.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Имеет место и обратное утверждение (признак прямоугольника): если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Докажите это утверждение самостоятельно. Таким образом, можно утверждать, что равенство диагоналей параллелограмма — необходимое и достаточное условие (критерий) прямоугольника.

Опорная задача

Если все углы четырехугольника прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник. Докажите.

Решение:

Пусть в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(см. рис. 28). Углы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляются внутренними односторонними при прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПоскольку сумма этих углов составляет Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато по признаку параллельности прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаАналогично доказываем параллельность сторон Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, по определению параллелограмма Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм. А поскольку все углы этого параллелограмма прямые, то Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— прямоугольник по определению.

Определение

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 30 изображен ромб Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Он обладает всеми свойствами параллелограмма, а также некоторыми дополнительными свойствами, которые мы сейчас докажем.

Теорема (свойства ромба)

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

Эти свойства ромба иллюстрируются рисунком 31.

Пусть диагонали ромба Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапересекаются в точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 32). Поскольку стороны ромба равны, то треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравнобедренный с основанием Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа по свойству диагоналей параллелограмма точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— медиана равнобедренного треугольника, которая одновременно является его высотой и биссектрисой. Это означает, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. диагонали ромба перпендикулярны, иЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— биссектриса угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Аналогично доказываем, что диагонали ромба являются биссектрисами и других его углов. Теорема доказана.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Опорная задача

Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — ромб. Докажите.

Решение:

Очевидно, что в четырехугольнике, все стороны которого равны, попарно равными являются и противолежащие стороны. Следовательно, по признаку параллелограмма такой четырехугольник — параллелограмм, а по определению ромба параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Решая задачи, помещенные в конце этого параграфа, вы докажете другие признаки прямоугольника и ромба.

Квадрат

На рисунке 33 изображен еще один вид параллелограмма — квадрат.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Определение

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Иначе можно сказать, что квадрат — это прямоугольник, который является ромбом. Действительно, поскольку квадрат является прямоугольником и ромбом и, конечно же, произвольным параллелограммом, то:

  1. все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны;
  2. все углы квадрата прямые;
  3. диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и делятся точкой пересечения пополам.

Связь между отдельными видами параллелограммов. Равносильные утверждения

Исходя из определений произвольного параллелограмма и его отдельных видов, мы можем схематически отобразить связь между ними (рис. 34).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

На схеме представлены множества параллелограммов, прямоугольников и ромбов. Такой способ наглядного представления множеств называют диаграммами Эйлера — Венна. Диаграмма Эйлера — Венна для параллелограммов демонстрирует, что множества прямоугольников и ромбов являются частями (подмножествами) множества параллелограммов, а множество квадратов — общей частью (пересечением) множеств прямоугольников и ромбов. Диаграммы Эйлера — Венна часто используют для подтверждения или проверки правильности логических рассуждений.

Подытоживая материал этого параграфа, обратим также внимание на то, что возможно и другое определение квадрата: квадратом называется ромб с прямыми углами. В самом деле, оба приведенных определения описывают одну и ту же фигуру. Такие определения называют равносильными. Вообще два утверждения называются равносильными, если они или оба выполняются, или оба не выполняются. Например, равносильными являются утверждения «В треугольнике две стороны равны» и «В треугольнике два угла равны», ведь оба они верны, если рассматривается равнобедренный треугольник, и оба ложны, если речь идет о разностороннем треугольнике.

Равносильность двух утверждений также означает, что любое из них является необходимым и достаточным условием для другого. В самом деле, рассмотрим равносильные утверждения «Диагонали параллелограмма равны» и «Параллелограмм имеет прямые углы». Из того, что диагонали параллелограмма равны, следует, что он является прямоугольником, т.е. имеет прямые углы, и наоборот: параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником, т.е. имеет равные диагонали. На этом примере легко проследить логические шаги перехода от признаков фигуры к ее определению и далее — к свойствам. Такой переход довольно часто приходится выполнять в процессе решения задач.

Трапеция

Как известно, любой параллелограмм имеет две пары параллельных сторон. Рассмотрим теперь четырехугольник, который имеет только одну пару параллельных сторон.

Определение

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. На рисунке 37 в трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникастороны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляются основаниями, а Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— боковыми сторонами.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними при параллельных прямых, на которых лежат основания трапеции. По теореме о свойстве параллельных прямых из этого следует, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаНа рисунке 37 Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Определение

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Очевидно, что в трапеции можно провести бесконечно много высот (рис. 38),— все они равны как расстояния между параллельными прямыми.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Чаще всего в процессе решения задач высоты проводят из вершин углов при меньшем основании трапеции.

Частные случаи трапеций

Как среди треугольников и параллелограммов, так и среди трапеций выделяются отдельные виды, обладающие дополнительными свойствами.

Определение

Прямоугольной трапецией называется трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

На рисунке 39 изображена прямоугольная трапеция. У нее два прямых угла при меньшей боковой стороне. Эта сторона одновременно является и высотой трапеции.

Определение

Равнобедренной трапецией называется трапеция, в которой боковые стороны равны.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

На рисунке 40 изображена равнобедренная трапеция Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникас боковыми сторонами Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаИногда равнобедренную трапецию также называют равнобокой или равнобочной.

У равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Докажем это в следующей теореме.

Теорема (свойство равнобедренной трапеции)

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— данная трапеция, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Перед началом доказательства заметим, что этой теоремой утверждается равенство углов при каждом из двух оснований трапеции, т. е. необходимо доказать, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведем высоты Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаиз вершин тупых углов и рассмотрим прямоугольные треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 41). У них Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак боковые стороны равнобедренной трапеции, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак расстояния между параллельными прямыми Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо гипотенузе и катету. Отсюда следует, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаУглы трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникатакже равны, поскольку они дополняют равные углы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Имеет место также обратное утверждение (признак равнобедренной трапеции):

  • если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Докажите этот факт самостоятельно.

Пример №4

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникав которой Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 42). По условию задачи треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравнобедренный с основанием Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникас другой стороны, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПусть градусная мера угла 1 равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникатогда в данной трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПоскольку сумма углов, прилежащих к боковой стороне, составляет Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаимеем: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ответ: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Построение параллелограммов и трапеций

Задачи на построение параллелограммов и трапеций часто решают методом вспомогательного треугольника. Напомним, что для этого необходимо выделить в искомой фигуре треугольник, который можно построить по имеющимся данным. Построив его, получаем две или три вершины искомого четырехугольника, а остальные вершины находим по данным задачи.

Пример №5

Постройте параллелограмм по двум диагоналям и углу между ними.

Решение:

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— данные диагонали параллелограмма, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— угол между ними. Анализ

Пусть параллелограмм Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапостроен (рис. 43).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаможно построить по двум сторонам и углу между ними Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Таким образом, мы получим вершины Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаискомого параллелограмма.

Вершины Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаможно получить, «удвоив» отрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Построение

1. Разделим отрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапополам.

2. Построим треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо двум сторонам и углу между ними.

3. На лучах Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаотложим отрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

4. Последовательно соединим точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм, поскольку по построению его диагонали Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаточкой пересечения делятся пополам. В этом параллелограмме Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(по построению),

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Исследование

Задача имеет единственное решение при любых значениях Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

В некоторых случаях для построения вспомогательного треугольника на рисунке-эскизе необходимо провести дополнительные линии.

Пример №6

Постройте трапецию по четырем сторонам.

Решение:

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— основания искомой трапеции, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— ее боковые стороны.

Анализ

Пусть искомая трапеция Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапостроена (рис. 44).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведем через вершину Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямую Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапараллельную Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм по определению, следовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаКроме того, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаследовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВспомогательный треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаможно построить по трем сторонам. После этого для получения вершин Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольниканадо отложить на луче Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи на луче с началом в точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапараллельном Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаотрезки длиной Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Построение

1. Построим отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

2. Построим треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо трем сторонам Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

3. Построим луч, проходящий через точку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи параллельный Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПри этом построенный луч и луч Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадолжны лежать по одну сторону от прямой Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

4. На луче Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаот точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаотложим отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана луче с началом Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

5. Соединим точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

По построению Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаследовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм по признаку. Отсюда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаКроме того, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— искомая трапеция.

Исследование

Задача имеет единственное решение, если числа Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаудовлетворяют неравенству треугольника.

Теорема Фалеса

Для дальнейшего изучения свойств трапеции докажем важную теорему.

Теорема (Фалеса)

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне.

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон данного угла, а Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 46).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведем через точку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямую Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапараллельную Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 47).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограммы по определению. Тогда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа поскольку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Рассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаУ них Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо доказанному, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак вертикальные, a Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо второму признаку, откуда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Заметим, что в условии данной теоремы вместо сторон угла можно рассматривать две произвольные прямые, поэтому теорема Фалеса может формулироваться и следующим образом: параллельные прямые, которые пересекают две данные прямые и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Пример №7

Разделите данный отрезок на Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравных частей.

Решение:

Решим задачу для Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. разделим данный отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана три равные части (рис. 48).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Для этого проведем из точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапроизвольный луч, не дополнительный к лучу Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи отложим на нем равные отрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПроведем прямую Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи параллельные ей прямые через точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо теореме Фалеса эти прямые делят отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана три равные части. Аналогично можно разделить произвольный отрезок на любое количество равных частей.

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса помогает исследовать еще одну важную линию в треугольнике.

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 49, а отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВ любом треугольнике можно провести три средние линии (рис. 49, б).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема (свойство средней линии треугольника)

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 50). Докажем сначала, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПроведем через точку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямую, параллельную Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо теореме Фалеса она пересечет отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникав его середине, т.е. будет содержать отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведем теперь среднюю линию Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо только что доказанному она будет параллельна стороне Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникас попарно параллельными сторонами по определению является параллелограммом, откуда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаА поскольку точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Опорная задача (теорема Вариньона) Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Докажите.

Решение:

Пусть точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середины сторон четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 51). Проведем диагональ Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаОтрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средние линии треугольников Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасоответственно. По свойству средней линии треугольника они параллельны стороне Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи равны ее половине, т.е. параллельны и равны между собой. Тогда по признаку параллелограмма четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Средняя линия трапеции

Определение

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

На рисунке 52 отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема (свойство средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникас основаниями Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 53).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведем прямую Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи отметим точку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— точку пересечения прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаРассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаУ них Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапоскольку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак вертикальные, a Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо второму признаку, откуда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда по определению Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо свойству средней линии треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапоэтому Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаКроме того, из доказанного равенства треугольников следует, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаоткуда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо свойству средней линии треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Пример №8

Через точки, делящие боковую сторону трапеции на три равные части, проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите длины отрезков этих прямых, заключенных внутри трапеции, если ее основания равны 2 м и 5 м.

Решение:

Пусть в трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 54).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

По теореме Фалеса параллельные прямые, которые проходят через точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаотсекают на боковой стороне Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравные отрезки, т.е. Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда по определению Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия трапеции Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо свойству средней линии трапеции имеем систему:

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
Ответ: 3 м и 4 м.

Вписанные углы

Градусная мера дуги

В седьмом классе изучение свойств треугольников завершалось рассмотрением описанной и вписанной окружностей. Но перед тем как рассмотреть описанную и вписанную окружности для четырехугольника, нам необходимо остановиться на дополнительных свойствах углов.

До сих пор мы изучали только те углы, градусная мера которых не превышала Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаРасширим понятие угла и введем в рассмотрение вместе с самим углом части, на которые он делит плоскость.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

На рисунке 58 угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаделит плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. Их градусные меры равны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Используем понятие плоского угла для определения центрального угла в окружности.

Определение

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности.

На рисунке 59, а, б стороны угла с вершиной в центре окружности Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапересекают данную окружность в точках Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПри этом образуются две дуги, одна из которых меньше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникарис. 59, а), а другая — больше полуокружности (на ней обозначена промежуточная точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникарис. 59, б).

Для того чтобы уточнить, какой из двух плоских углов со сторонами Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникамы рассматриваем как центральный, мы будем указывать дугу окружности, которая соответствует данному центральному углу (т.е. содержится внутри него).

На рисунке 59, а центральному углу Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаобозначенному дужкой, соответствует дуга Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа на рисунке 59, б — дуга Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВ случае, когда лучи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадополнительные, соответствующая дуга Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляется полуокружностью (рис. 59, в).

Определение

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Градусную меру дуги, как и саму дугу, обозначают так: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаНапример, на рисунке 59, в Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат. е. градусная мера полуокружности составляет Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаОчевидно, что градусная мера дуги всей окружности составляет Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Концы хорды Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаделят окружность на две дуги — Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 59, г). Говорят, что эти дуги стягиваются хордой Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Вписанный угол

Определение

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

На рисунке 60 изображен вписанный угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЕго вершина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникалежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаДуга Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(на рисунке она выделена) лежит внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаопирается на дугу Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема (о вписанном угле)

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть в окружности с центром Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникавписанный угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаопирается на дугу Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаДокажем, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаРассмотрим три случая расположения центра окружности относительно данного вписанного угла (рис. 61).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

1) Пусть центр окружности лежит на одной из сторон данного угла (рис. 61, а). В этом случае центральный угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляется внешним углом при вершине Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравнобедренного треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо теореме о внешнем угле треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаА поскольку углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника, то Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

т.е. Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

2) Пусть центр окружности лежит внутри угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 61, б). Луч Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаделит угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана два угла. По только что доказанному Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаследовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

3) Аналогично в случае, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 60, б),

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Только что доказанную теорему можно сформулировать иначе.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Пример №9

Найдите угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаесли Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 62).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Решение:

Для того чтобы найти угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольниканеобходимо найти градусную меру дуги Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана которую он опирается. Но непосредственно по данным задачи мы можем найти только градусную меру дуги Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана которую опирается угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаиз теоремы о вписанном угле Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЗаметим, что дуги Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникавместе составляют полуокружность, т.е. Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаследовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда по теореме о вписанном угле Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ответ: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Следствия теоремы о вписанном угле

По количеству и значимости следствий теорема о вписанном угле является одной из «богатейших» геометрических теорем. Сформулируем наиболее важные из этих следствий.

Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Действительно, по теореме о вписанном угле градусная мера каждого из вписанных углов на рисунке 63 равна половине дуги Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,— прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность.

Действительно, поскольку градусная мера полуокружности равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакоторый опирается на полуокружность, равен Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 64). Обоснование обратного утверждения проведите самостоятельно.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Следствие 3

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Первое из приведенных утверждений вытекает из следствия 2. Если в треугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаугол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямой (рис. 65, а), то дуга Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана которую опирается этот угол, является полуокружностью.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Тогда гипотенуза Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— диаметр описанной окружности, т.е. середина гипотенузы — центр окружности. Утверждение о длине медианы следует из равенства радиусов:

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Отметим еще один интересный факт: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника с общей боковой стороной. Из этого, в частности, следует, что углы, на которые медиана делит прямой угол, равны острым углам треугольника (рис. 65, б).

В качестве примера применения следствий теоремы о вписанном угле приведем другое решение задачи, которую мы рассмотрели в п. 7.2.

Пример №10

Найдите угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаесли Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(см. рис. 62).

Решение:

Проведем хорду Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 66).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Поскольку вписанный угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаопирается на полуокружность, то по следствию 2 Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЗначит, треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямоугольный, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникатогда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо следствию 1 углы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравны, поскольку оба они опираются на дугу Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ответ: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Вписанные четырехугольники

Определение

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.

Четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана рисунке 72 является вписанным в окружность. Иначе говорят, что окружность описана около четырехугольника.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Как известно, около любого треугольника можно описать окружность. Для четырехугольника это можно сделать не всегда. Докажем свойство и признак вписанного четырехугольника.

Теорема (овписанном четырехугольнике)

  1. Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равнаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(свойство вписанного четырехугольника).
  2. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равнаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато около него можно описать окружность (признак вписанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникавписан в окружность (рис. 72). По теореме о вписанном угле Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Следовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Аналогично доказываем, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаОпишем окружность около треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи докажем от противного, что вершина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникане может лежать ни внутри этой окружности, ни вне ее. Пусть точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникалежит внутри окружности, а точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— точка пересечения луча Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникас дугой Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 73).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Тогда четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— вписанный. По условию Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаа по только что доказанному свойству вписанного четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаНо угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникачетырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— внешний угол треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи по теореме о внешнем угле треугольника он должен быть больше угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, мы пришли к противоречию, т.е. точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникане может лежать внутри окружности. Аналогично можно доказать, что точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникане может лежать вне окружности. Тогда точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникалежит на окружности, т.е. около четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаможно описать окружность.

Следствие 1

Около любого прямоугольника можно описать окружность.

Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником

Прямоугольник, вписанный в окружность, изображен на рисунке 74.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Центр описанной окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника (см. задачу 255).

Следствие 2

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Равнобедренная трапеция, вписанная в окружность, изображена на рисунке 75.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Описанные четырехугольники

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникана рисунке 76 является описанным около окружности. Иначе говорят, что окружность вписана в четырехугольник.

Оказывается, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Докажем соответствующие свойство и признак.

Теорема (об описанном четырехугольнике)

  1. В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны (свойство описанного четырехугольника).
  2. Если в четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность (признак описанного четырехугольника).

1) Свойство. Пусть стороны четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакасаются вписанной окружности в точках Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 76).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

По свойству отрезков касательных Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаС учетом обозначений на рисунке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

2) Признак. Пусть в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникас наименьшей стороной Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПоскольку по теореме о биссектрисе угла точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(точка пересечения биссектрис углов Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравноудалена от сторон Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато можно построить окружность с центром Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакоторая касается этих трех сторон (рис. 77, а). Докажем от противного, что эта окружность касается также стороны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Предположим, что это не так. Тогда прямая Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникалибо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей окружности. Рассмотрим первый случай (рис. 77, б). Проведем через точку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакасательную к окружности, которая пересекает сторону Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникав точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда по свойству описанного четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаНо по условию Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВычитая из второго равенства первое, имеем: Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникачто противоречит неравенству треугольника для треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Таким образом, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что прямая Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникане может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат. е. четырехугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаописанный. Теорема доказана.

Замечание. Напомним, что в данной теореме рассматриваются только выпуклые четырехугольники.

Следствие

В любой ромб можно вписать окружность. Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Ромб, описанный около окружности, изображен на рисунке 78. Центр вписанной окружности является точкой пересечения диагоналей ромба (см. задачу 265, а).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Пример №11

В равнобедренную трапецию с боковой стороной 6 см вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— данная равнобедренная трапеция с основаниями Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо свойству описанного четырехугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСредняя линия трапеции равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. равна 6 см.

Ответ: 6 см

Геометрические софизмы

Многим из вас, наверное, известна древнегреческая история об Ахиллесе, который никак не может догнать черепаху. История математики знает немало примеров того, как ложные утверждения и ошибочные результаты выдавались за истинные, а их опровержение давало толчок настоящим математическим открытиям. Но даже ошибки и неудачи могут принести пользу математикам. Эти ошибки остались в учебниках и пособиях в виде софизмов — заведомо ложных утверждений, доказательства которых на первый взгляд кажутся правильными, но на самом деле таковыми не являются. Поиск и анализ ошибок, содержащихся в этих доказательствах, часто позволяют определить причины ошибок в решении других задач. Поэтому в процессе изучения геометрии софизмы иногда даже более поучительны и полезны, чем «безошибочные» задачи и доказательства.

Рассмотрим пример геометрического софизма, связанного с четырехугольниками, вписанными в окружность.

Окружность имеет два центра.

Обозначим на сторонах произвольного угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаточки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи проведем через эти точки перпендикуляры к сторонам Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасоответственно (рис. 79).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Эти перпендикуляры должны пересекаться (ведь если бы они были параллельны, то параллельными были бы и стороны данного угла — обоснуйте это самостоятельно). Обозначим точку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— точку пересечения перпендикуляров.

Через точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникане лежащие на одной прямой, проведем окружность (это можно сделать, поскольку окружность, описанная около треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасуществует и является единственной). Обозначим точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— точки пересечения этой окружности со сторонами угла Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПрямые углы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляются вписанными в окружность. Значит, по следствию теоремы о вписанных углах, отрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляются диаметрами окружности, которые имеют общий конец Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникано не совпадают. Тогда их середины Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаявляются двумя разными центрами одной окружности, т.е. окружность имеет два центра.

Ошибка этого «доказательства» заключается в неправильности построений на рисунке 79. В четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. он вписан в окружность. Это означает, что в ходе построений окружность, проведенная через точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаобязательно пройдет через точку Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВ таком случае отрезки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасовпадут с отрезком Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасередина которого и является единственным центром построенной окружности.

Среди задач к этому и следующим параграфам вы найдете и другие примеры геометрических софизмов и сможете самостоятельно потренироваться в их опровержении. Надеемся, что опыт, который вы при этом приобретете, поможет в дальнейшем избежать подобных ошибок при решении задач.

Четырехугольник и окружность в задачах. Метод вспомогательной окружности

При решении задач об окружностях и четырехугольниках иногда следует использовать специальные подходы. Один из них заключается в рассмотрении вписанного треугольника, вершины которого являются вершинами данного вписанного четырехугольника.

Пример №12

Найдите периметр равнобедренной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне и образует с основанием угол Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаесли радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8 см.

Решение:

Пусть дана вписанная трапеция Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 80).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Заметим, что окружность, описанная около трапеции, описана также и около прямоугольного треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольниказначит, ее центром является середина гипотенузы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаВ треугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак катет, противолежащий углу Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПоскольку в прямоугольном треугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато углы при большем основании трапеции равны Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи секущей Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, в треугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадва угла равны, т.е. он является равнобедренным с основанием Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаоткуда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаТогда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ответ: 40 см.

Особенно интересным и нестандартным является применение окружности (как описанной, так и вписанной) при решении задач, в условиях которых окружность вообще не упоминается.

Пример №13

Из точки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникалежащей на катете Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапрямоугольного треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапроведен перпендикуляр Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникак гипотенузе Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 81). Докажите, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Решение:

В четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольниказначит, около него можно описать окружность. В этой окружности вписанные углы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникабудут опираться на одну и ту же дугу, и по следствию теоремы о вписанном угле Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Метод решения задач с помощью дополнительного построения описанной или вписанной окружности называют методом вспомогательной окружности.

Замечательные точки треугольника

Точка пересечения медиан

В седьмом классе в ходе изучения вписанной и описанной окружностей треугольника рассматривались две его замечательные точки — точка пересечения биссектрис (иначе ее называют инцентром треугольника) и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Рассмотрим еще две замечательные точки треугольника.

Теорема (о точке пересечения медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника.

Пусть в треугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапроведены медианы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 85).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Докажем, что они пересекаются в некоторой точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапричем Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— точка пересечения медиан Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаточки Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середины отрезков Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникасоответственно. Отрезок Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи по свойству средней линии треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаКроме того, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— средняя линия треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи по тому же свойству Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЗначит, в четырехугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникадве стороны параллельны и равны. Таким образом, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограмм, и его диагонали Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаточкой пересечения делятся пополам. Следовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаделит медианы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникав отношении 2:1.

Аналогично доказываем, что и третья медиана Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаточкой пересечения с каждой из медиан Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаделится в отношении 2 :1. А поскольку такая точка деления для каждой из медиан единственная, то, следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке.

Точку пересечения медиан треугольника иначе называют центроидом или центром масс треугольника. В уместности такого названия вы можете убедиться, проведя эксперимент: вырежьте из картона треугольник произвольной формы, проведите в нем медианы и попробуйте удержать его в равновесии, положив на иглу или острый карандаш в точке пересечения медиан (рис. 86).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Пример №14

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть в треугольнике Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникамедианы Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравны и пересекаются в точке Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 87).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Рассмотрим треугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПоскольку точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаделит каждую из равных медиан Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаи Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникав отношении Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаКроме того, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакак вертикальные. Значит, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникапо первому признаку. Отсюда следует, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Но по определению медианы эти отрезки — половины сторон Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникат.е. треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаравнобедренный.

Точка пересечения высот

Теорема (о точке пересечения высот треугольника)

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Пусть Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— высоты треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника(рис. 88).

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противолежащим сторонам, получим треугольник Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникастороны которого перпендикулярны высотам треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаПо построению четырехугольники Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— параллелограммы, откуда Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаСледовательно, точка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середина отрезка Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаАналогично доказываем, что Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника— середина Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Таким образом, высоты Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникалежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникакоторые пересекаются в одной точке по следствию теоремы об окружности, описанной около треугольника.

Точку пересечения высот (или их продолжений) иначе называют ортоцентром треугольника.

Таким образом, замечательными точками треугольника являются:

  • точка пересечения биссектрис — центр окружности, вписанной в треугольник;
  • точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам — центр окружности, описанной около треугольника;
  • точка пересечения медиан — делит каждую из медиан в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника;
  • точка пересечения высот (или их продолжений).

ИТОГОВЫЙ ОБЗОР ГЛАВЫ I

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема о сумме углов четырехугольника.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Сумма углов четырехугольника равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Справочный материал по параллелограмму

Параллелограммом называется четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Признаки параллелограмма

Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник- параллелограм.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникаЧетырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм

Виды параллелограммов

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Прямоугольником называется параллелограм у которого все углы прямые

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Диагонали прямоугольника равны

Признак прямоугольника

Если все углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является прямоугольником

Свойства ромба

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам

Признак ромба

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
Если все стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник является ромбом

Свойства квадрата

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Все стороны квадрата равны, а противолежащие стороны параллельны

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Все углы квадрата прямые

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, делят углы квадрата пополам и точкой пересечения делятся пополам

Трапеция

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобедренной

В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Признак равнобедренной

Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция равнобедренная

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема Фалеса

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Параллельные прямые, которые пересекают стороны угла и отсекают на одной из них равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне

Средние линии треугольника и трапеции

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны
Свойство средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме

Углы в окружности

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре окружности

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность

Теорема о вписанном угле Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Следствия теоремы о вписанном угле

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой, и наоборот: любой прямой вписанный угол опирается на полуокружность

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы

Вписанные четырехугольники

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности

Признак вписанного четырехугольника

Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольникато около него можно описать окружность

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Около любого прямоугольника можно описать окружность
Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Свойство вписанного четырехугольника

  • Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
  • Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником
  • Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

Описанные четырехугольники

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности

Признак описанного четырехугольника

Если в выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

В любой ромб можно вписать окружность
Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Свойство описанного четырехугольника

  • В описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
  • Если в параллелограмм вписана окружность, то он является ромбом

Замечательные точки треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника
Теорема о точке пересечения медиан треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, начиная от вершины треугольника

Четырехугольник диагонали которого делят его на 4 равных треугольника

Теорема о точке пересечения высот треугольника Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

Большая часть теоретических положений, связанных с четырехугольником, была известна еще в Древней Греции. Например, параллелограмм упоминается в работах Евклида под названием «параллельно-линейная площадь». Основные свойства четырехугольников были установлены на практике и только со временем доказаны теоретически.

Одним из творцов идеи геометрического доказательства по праву признан древнегреческий ученый Фалес Милетский (ок. 625-547 гг. до н. э.). Его считали первым среди прославленных «семи мудрецов» Эллады. Механик и астроном, философ и общественный деятель, Фалес значительно обогатил науку своего времени. Именно он познакомил греков с достижениями египтян в геометрии и астрономии. По свидетельству историка Геродота, Фалес предсказал затмение Солнца, которое произошло 28 мая 585 г. до н. э. Он дал первые представления об электричестве и магнетизме. Достижения Фалеса в геометрии не ограничиваются теоремой, названной его именем. Считается, что Фалес открыл теорему о вертикальных углах, доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, первым описал окружность около прямоугольного треугольника и обосновал, что угол, который опирается на полуокружность, прямой. Фалесу приписывают и доказательство второго признака равенства треугольников, на основании которого он создал дальномер для определения расстояния до кораблей на море.
В молодые годы Фалес побывал в Египте. Согласно легенде, он удивил египетских жрецов, измерив высоту пирамиды Хеопса с помощью подобия треугольников (о подобии треугольников — в следующей главе).

Изучая замечательные точки треугольника, нельзя не вспомнить имена еще нескольких ученых.

Теорему о пересечении высот треугольника доказал в XV в. немецкий математик Региомонтан (1436-1476) — в его честь эту теорему иногда называют задачей Региомонтана.

Выдающийся немецкий ученый Леонард Эйлер (1707-1783), который установил связь между замечательными точками треугольника, является уникальной исторической фигурой. Геометрия и механика, оптика и баллистика, астрономия и теория музыки, математическая физика и судостроение — вот далеко не полный перечень тех областей науки, которые он обогатил своими открытиями. Перу Эйлера принадлежит более 800 научных работ, причем, по статистическим подсчетам, он делал в среднем одно изобретение в неделю! Человек чрезвычайной широты интересов, Эйлер был академиком Берлинской, Петербургской и многих других академий наук, он существенным образом повлиял на развитие мировой науки. Недаром французский математик Пьер Лаплас, рассуждая об ученых своего поколения, утверждал, что Эйлер — «учитель всех нас».

Среди украинских математиков весомый вклад в исследование свойств четырехугольников внес Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862). Этот выдающийся ученый, профессор Харьковского университета, получил мировое признание благодаря работам по математической физике, математическому анализу, аналитической механике. Талантливый педагог и методист, Остроградский создал «Учебник по элементарной геометрии», который, в частности, содержал ряд интересных и сложных задач на построение вписанных и описанных четырех. М. В. Остроградский угольников и вычисление их площадей.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Решение прямоугольных треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачиСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс: Четырехугольники | Видеоурок с теорией и решением задачи

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 классСкачать

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ. ТРАПЕЦИЯ. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ. Контрольная № 2 Геометрия 8 класс

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольникаСкачать

Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат на серединах сторон другого четырехугольника

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадьСкачать

№478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь

Геометрия 8 Класс Урок 4 Удвоение медианыСкачать

Геометрия 8 Класс Урок 4 Удвоение медианы

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)Скачать

Математика 5 класс (Урок№29 - Четырёхугольники.)

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!

Четырёхугольник и его элементы – 8 класс геометрияСкачать

Четырёхугольник и его элементы – 8 класс геометрия

ЧетырехугольникиСкачать

Четырехугольники

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1Скачать

8 класс. Геометрия. Четырехугольник: вершины, стороны, диагонали. Свойства параллелограмма. Урок #1
Поделиться или сохранить к себе: